2009 Öss Matematik Soruları

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 14 Haziran 2009 Matematik II Soruları ve Çözümleri 1. x pozitif gerçel sayısı için x − 2 x − 2 = 0 olduğuna göre, x ifadesinin değeri ( x − 2)² kaçtır? A) 1 2 B) 1 4 C) 3 4 D) 1 6 E) 5 6 Çözüm 1 x−2 x −2=0 ⇒ x−2=2 x x x x 1 ifadesinde (x – 2) yerine 2 x yazılırsa, = = elde edilir. ( x − 2)² 4x 4 (2 x )² 2. x, y, z ve t sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, 3x = 5 y olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? z 3 =5 t A) x + y = z + t B) x − y = z − t C) x − z = t + y D) xy = zt Çözüm 2 I. Yol 3x = 5 y ⇒ log(3x) = log(5y) ⇒ x.log3 = y.log5 ⇒ x log 5 = y log 3 3z = 5t ⇒ log(3z) = log(5t) ⇒ z.log3 = t.log5 ⇒ z log 5 = t log 3 x log 5 z = = y log 3 t ⇒ x z = y t ⇒ x.t = y.z elde edilir. E) xt = yz II. Yol x 3 =5 y ⇒ x 1 y y (3 ) = (5 ) 1 y ⇒ x y 3 =5 x y z 3 = 3t z 3 =5 t ⇒ z 1 t t (3 ) = (5 ) 1 t Tabanlar eşit olduğuna göre, ⇒ x z = y t z t 3 =5 ⇒ x.t = y.z elde edilir. 3. (1 − x + x²)10 = a0 + a1.x + a2.x² + • • • + a20.x20 olduğuna göre, çift indisli katsayıların toplamı olan a0 + a2 + a4 + a6 + • • • + a20 kaçtır? A) 210 + 1 B) 310 − 1 C) 410 − 1 D) 310 + 1 2 E) 410 + 1 2 Çözüm 3 (1 − x + x²)10 = a0 + a1.x + a2.x² + • • • + a20.x20 x = 1 için , (1 − 1 + 1²)10 = a0 + a1.1 + a2.1² + • • • + a20.120 ⇒ 1 = a0 + a1 + a2 + • • • + a20 x = −1 için , (1 − (−1) + (−1)²)10 = a0 + a1.( −1) + a2.( −1)² + • • • + a20.( −1)20 ⇒ 310 = a0 − a1 + a2 − • • • + a20 1 = a0 + a1 + a2 + • • • + a20 310 = a0 − a1 + a2 − • • • + a20 1 + 310 = 2.a0 + 2.a2 + • • • + 2.a20 ⇒ a0 + a2 + a4 + a6 + • • • + a20 = 310 + 1 2 4. I. x 2 + 1 bir rasyonel sayıysa x de rasyoneldir. II. x bir rasyonel sayıysa x de rasyoneldir. x +1 III. Hem x² hem de x³ bir rasyonel sayıysa x de rasyoneldir. Yukarıda verilen gerçel sayılarla ilgili üç önermeden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III Çözüm 4 I. x 2 + 1 bir rasyonel sayıysa x de rasyoneldir. x 2 +1= II. a b ⇒ a = b.x 2 + b ⇒ x= a−b b. 2 ∉ rasyonel sayı x bir rasyonel sayıysa x de rasyoneldir. x +1 x a = ∈ rasyonel sayı x +1 b ⇒ ax + a = bx ⇒ x= a ∈ rasyonel sayı b−a III. Hem x² hem de x³ bir rasyonel sayıysa x de rasyoneldir. a x² = ( )² ∈ rasyonel sayı b a x³ = ( )³ ∈ rasyonel sayı b x³ = x².x a a a ⇒ ( )³ = ( )².( ) ⇒ b b b x= Buna göre , II. ve III. önermeler doğrudur. a ∈ rasyonel sayı b 5. x² − 2x − 4 = 0 denkleminin kökleri m1 ve m2 dir. Buna göre, aşağıdaki denklemlerden hangisinin kökleri A) 2x² − x + 4 = 0 B) 2x² + x +1 = 0 D) 4x² + 3x − 4 = 0 E) 8x² − 3x + 4 = 0 1 1 ve dir? m1 m2 C) 4x² + 2x − 1 = 0 Çözüm 5 ⇒ m1.m2 = x² − 2x − 4 = 0 −4 = −4 1 ⇒ m1 + m2 = Kökleri 1 1 ve olan denklem ax² + bx + c = 0 olsun. m1 m2 1 1 c . = a m1 m2 ⇒ 1 1 −b + = m1 m2 a ax² + bx + c = 0 1 c = −4 a ⇒ A) m2 + m1 − b = m1 .m2 a ⇒ a.(x² + ⇒ a.(4x² + 2x – 1) = 0 6. z = − ( − 2) =2 1 ⇒ b c x+ )=0 a a 2 −b = −4 a ⇒ a.(x² + ⇒ b 1 = a 2 1 −1 x + ( )) = 0 2 4 ⇒ 4x² + 2x – 1 = 0 elde edilir. cos 75° + i. sin 75° karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? cos15° + i. sin 15° 3+i 2 B) 3 −i 2 C) 1 D) 1 − i. 3 2 E) 1 + i. 3 2 Çözüm 6 I. Yol z= cos 75° + i. sin 75° cos 75 + i. sin 75 = cos15° + i. sin 15° sin 75 + i. cos 75 = cos 75 + i. sin 75 sin 75 − i. cos 75 (cos 75 + i. sin 75).(sin 75 − i. cos 75) .( )= sin 75 + i. cos 75 sin 75 − i. cos 75 (sin 75 + i. cos 75).(sin 75 − i. cos 75) = cos 75. sin 75 − i. cos 75. cos 75 + i. sin 75. sin 75 + i. sin 75.(−i. cos 75) sin ²75 + cos ²75 = cos 75. sin 75 − i. cos 75. cos 75 + i. sin 75. sin 75 − i ². sin 75. cos 75 1 = cos75.sin75 – i.cos²75 + i.sin²75 + sin75.cos75 = 2.sin75.cos75 – i.(cos²75 – sin²75) = sin2.75 – i.cos2.75 = sin150 – i.cos150 = sin30 + i.cos30 = 1 3 1 + i. 3 + i. = 2 2 2 II. Yol z= cos 75° + i. sin 75° cis 75° = = cis(75 – 15) = cis60 cos15° + i. sin 15° cis15° ⇒ cis60 = cos60 + i.sin60 = 1 3 1 + i. 3 + i. = 2 2 2 Not : sinx = cos(90 – x) (a – b).(a + b) = a² – b² sin2x = 2.sinx.cosx sin150 = sin30 = cos2x = cos²x – sin²x sin²x + cos²x = 1 1 = cos60 2 cos150 = – cos30 = i² = –1 − 3 = – sin60 2 Not : Karmaşık sayının kutupsal (trigonometrik) biçimi z = r.(cosθ + i.sinθ) = r.cisθ ⇒ z1 r1 r = .[cos(θ1 − θ 2 ) + i. sin(θ1 − θ 2 )] = 1 .cis(θ1 − θ 2 ) z 2 r2 r2 7. Yukarıda logax fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f(f( A) −3 1 )) değeri kaçtır? 27 B) −1 C) 1 D) 2 E) 3 Çözüm 7 I. Yol f(x) = logax f( 1 ⇒ f( ) = 1 3 ⇒ 1 = loga 1 3 ⇒ a= 1 1 1 1 1 = log 1 = log 1 ( )³ = 3. log 1 = 3 ) = log 1 3 27 27 3³ 3 3 3 3 3 f(f( 1 )) = f(3) = log 1 3 = log 3−1 3 = − log 3 3 = −1 27 3 1 3 ⇒ ⇒ f(f( f( 1 )=3 27 1 )) = −1 27 II. Yol f(x) = logax f( 1 ⇒ f( ) = 1 3 ⇒ 1 = log a 1 3 ⇒ log a 3 −1 = 1 ⇒ − log a 3 = 1 1 1 1 1 1 ) = log a = log a = log a ( )³ = 3. log a = 3. log a 3 −1 = 3.1 = 3 ⇒ 27 27 3³ 3 3 f(f( 1 )) = f(3) = log a 3 = −1 27 ⇒ f(f( 1 )) = −1 27 f( 1 )=3 27 8. Şekildeki gibi bir d doğrusunun noktaları kümesi üzerinde � işlemi, [AB] doğru parçasının orta noktası, A ≠ B ise A�B= A noktası, A = B ise biçiminde tanımlanıyor. Bu işlemle ilgili olarak I. Değişme özeliği vardır. II. Birleşme özeliği vardır. III. Etkisiz (Birim) elemanı vardır. yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I , II ve III Çözüm 8 I. Değişme özeliği vardır. A+ B =B�A 2 A≠B ⇒ A�B= A=B ⇒ A�B=A=B=B�A II. Birleşme özeliği vardır. A≠B ⇒ A�(B�C)=A�( B+C )= 2 A+ B+C 2A + B + C 2 = 2 4 A+ B +C A+ B A + B + 2C 2 ⇒ (A�B)�C= �C= = 2 2 4 2A + B + C A + B + 2C ≠ 4 4 ⇒ A�(B�C)≠(A�B)�C Buna göre, Birleşme özelliği yoktur. III. Etkisiz (Birim) elemanı vardır. A�E=E�A=A ⇒ E, etkisiz eleman A≠E A+ E =A 2 ⇒ A�E= ⇒ 2A = A + E ⇒ A=E olduğuna göre, etkisiz (birim) elemanı yoktur. 9. 2 ve 162 arasına uygun olan 3 tam sayı yerleştirilerek 5 sayıdan oluşan bir geometrik dizi oluşturuluyor. Bu üç sayının toplamı kaçtır? A) 78 B) 80 C) 82 D) 86 E) 90 Çözüm 9 a1 = 2 a2 = a1.r a3 = a2.r = a1.r² a4 = a3.r = a1.r³ a5 = a4.r = a1.r4 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ⇔ a5 = 162 ⇒ ⇒ 2.r4 = 162 a1 , a1.r , a1.r² , a1.r³ , a1.r4 ⇒ r4 = 81 = 34 ⇒ r=3 ⇒ 2 , 2.3 , 2.3² , 2.3³ , 2.34 ⇒ 2 , 6 , 18 , 54 , 162 a2 + a3 + a4 = 6 + 18 + 54 = 78 elde edilir. Not : Geometrik dizi Ardışık iki terimin oranı aynı olan dizilere geometrik dizi denir. r ∈ R olmak üzere her n ∈ N+ için a n +1 = r ise (an) bir geometrik dizidir. an “r” ye dizinin ortak çarpanı denir. Bir geometrik dizinin ilk terimi : a1 , ortak çarpanı : r ise bu dizinin terimleri, a1 , a2 , a3 , a4 , . . . . . , an , . . . . . ⇒ a1 , a1.r , a1.r² , a1.r³ , . . . . . , a1.rn-1 , . . . . . Bir geometrik dizinin genel terimi : an = a1.rn-1 dir. 10. an = (3n – 2).sin( A) −3 2 B) 2 3 1 ) ile verilen dizi için lim a n kaçtır? n →∞ n C) −1 D) 0 E) 3 Çözüm 10 I. Yol n= 1 dönüşümü yapılırsa, n → ∞ iken x → 0 x 1 1 sin x 3 − 2x lim(3. − 2). sin( ) = lim( ). sin( x) = lim(3 − 2 x) . lim = 3.1 = 3 x →0 x →0 x →0 x →0 1 x x x x II. Yol 1 2 1 3n − 2 1 3n − 2 an = (3n – 2).sin( ) = (n.(3 – )).sin( ) = n.( ).sin( ) = ( ).( n n n n n n 3n − 2 an = ( ).( n 11. lim+ x →1 1 sin( ) n ) ⇒ 1 n 3n − 2 lim a n = lim [( ).( n →∞ n →∞ n 1 sin( ) n )] = 3.1 = 3 1 n 1 − x² limitinin değeri kaçtır? 1− x A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 E) 2 Çözüm 11 x → 1+ lim+ x →1 ⇒ x>1 ⇒ 0 > 1 – x [(1 – x) < 0] 1 − x² (1 − x).(1 + x) = lim+ = lim+ [ − (1 + x)] = −(1 + 1) = −2 x → 1 x →1 1− x − (1 − x) 1 sin( ) n ) 1 n 12. Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu için [−5 , 5] aralığında f(x) − 2 = 1 eşitliğini sağlayan kaç tane x değeri vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Çözüm 12 f(x) − 2 = 1 ⇒ f(x) − 2 = 1 ⇒ f(x) = 3 ⇒ f(x) − 2 = −1 ⇒ f(x) = 1 ⇒ f(x) = 3 , f(x) = −3 ⇒ f(x) = 1 , f(x) = −1 f(x) = 3 için, 1 değer f(x) = −3 için, 1 değer f(x) = 1 için, 3 değer f(x) = −1 için, 1 değer toplam 6 tane x değeri vardır. 13. f(x) = [1 + (x + x²)³]4 olduğuna göre, f ’(x) türev fonksiyonunun x = 1 deki değeri kaçtır? A) 23 • 35 B) 23 • 37 C) 24 • 36 D) 24 • 38 E) 25 • 310 Çözüm 13 f(x) = [1 + (x + x²)³]4 ⇒ f ’(x) = 4.[1 + (x + x²)³]³.[3.(x + x²)²].[1 + 2x] f ’(1) = 4.[1 + (1 + 1²)³]³.[3.(1 + 1²)²].[1 + 2.1] f ’(1) = 4.[1 + 8]³.[3.4].3 = 4.9³.3.4.3 = 2².36.3².2² ⇒ f ’(1) = 24.38 14. Yukarıdaki şekilde, f(x) fonksiyonunun bir parçasının grafiği ve T(−3 , c) noktasındaki teğet doğrusu verilmiştir. k(x) = ln(f(x)) olduğuna göre, k’(x) türev fonksiyonunun x = −3 teki değeri kaçtır? A) −1 2 B) −1 5 C) −2 5 D) 2 3 E) 3 5 Çözüm 14 xoy eksenini (0 , 1) ve (2 , 0) noktalarında kesen doğru denklemi , y −1 x − 0 = 1− 0 0 − 2 ⇒ y–1= −x 2 ⇒ y= −x +1 2 T(–3 , c) noktası doğru üzerinde olduğuna göre, c = T(–3 , c) = T(–3 , − (−3) +1 2 5 ) 2 k(x) = ln(f(x)) ⇒ k’(x) = x = −3 için , k’(−3) = f(−3) = c ⇒ eğim = m = f ' ( x) f ( x) f ' (−3) f (−3) ⇒ f(−3) = 5 2 f ’(−3) = m (doğrunun eğimi) ⇒ f ’(−3) = −1 2 −1 f ' (−3) −1 2 −1 = 2 = ( ). = ⇒ k’(−3) = elde edilir. 5 f (−3) 2 5 5 2 −1 2 ⇒ c= 5 2 Not : Đki noktası bilinen doğrunun eğimi A(x1 , y1) ve B(x2 , y2) ⇒ m= y1 − y 2 x1 − x 2 Not : Đki noktası bilinen doğru denklemi A(x1 , y1) ve B(x2 , y2) y − y1 x − x1 = y1 − y 2 x1 − x 2 ⇒ Not : Doğrunun eksen parçaları türünden denklemi (a , 0) ve (0 , b) noktalarından geçen doğrunun denklemi = Not : u = g(x) fonksiyonunun bir x noktasındaki türevi u’ olsun. y = lnu ⇒ y’ = u' u ⇒ y’ = g ' ( x) g ( x) 1 15. ∫ ( x + 1).e x dx integralinin değeri kaçtır? 0 A) e B) e − 1 C) e − 2 D) 2e − 1 E) 2e − 3 x y + =1 a b Çözüm 15 1 ∫ ( x + 1).e x dx (Kısmi (parçalı) integrasyon yöntemi uygulanırsa,) 0 ⇒ (x + 1)’ = (u)’ x+1=u ex.dx = dv ⇒ ∫ ex.dx = ∫ ⇒ dx = du ⇒ ex = v dv 1 1 ∫ ( x + 1).e x dx = [(x + 1).e − ∫ e dx ] x 0 1 x x x 1 x = [(x + 1).e − e ] x x = [x.e + e – e ] 0 0 1 x = (x.e ) 0 0 = 1.e1 – 0.e0 = e bulunur. Not : Kısmi (parçalı) integrasyon yöntemi Đki fonksiyonun çarpımının integralinin hesaplanmasında genelde, kısmi integrasyon yöntemi kullanılır. u(x) ve v(x) türevlenebilir fonksiyonlar ise çarpımın türevi formülüne göre, (u.v)’ = u’.v + v’.u yazarız. Her iki tarafı dx ile çarpıp integrallersek, Belirsiz integralin tanımından, ∫ (u.v)’dx = ∫ u’.v dx + ∫ ∫ (u .v)' dx = u .v yazılabilir. Bunu dikkate alarak, u.v = ∫ u.v' dx + ∫ v.u ' dx formülünü elde ederiz. u’ = du dx ⇒ u' dx = du , v’ = u.v = ∫ u dv + ∫ v du ⇒ dv dx ⇒ v' dx = dv olduğundan, ∫ u dv = u.v - ∫ v du elde edilir. v’.u dx bulunur. 16. Şekildeki parabol ile doğru arasında kalan taralı bölgenin alanı kaç birim karedir? A) 3 2 B) 5 2 C) 4 3 D) 7 3 E) 9 4 Çözüm 16 I. Yol Parabol ve doğru denklemlerinin, ortak çözümünden kesim noktaları hesaplanırsa, y = 4 – x² 4 – x² = 4 – 2x ⇒ x² – 2x = 0 ⇒ x.(x – 2) = 0 ⇒ x=0 , x=2 y = 4 – 2x − x³ x² taralı bölgenin alanı = ∫ [(4 − x ²) − (4 − 2 x)] dx = ∫ [− x ² + 2 x] dx = [ + 2. ] 3 2 0 0 2 ⇒ = − x³ [ + x ²] 3 2 = [( 0 2 − 2³ −8 4 +4= + 2² ) – (0)] = elde edilir. 3 3 3 2 0 II. Yol Üçgenin alanı için, y = 4 – 2x ⇒ x = 0 için, y = 4 ⇒ y = 0 için, x = 2 Parabolün alanı için, y = 4 – x² ⇒ x = 0 için, y = 4 ⇒ y = 0 için, x = ± 2 Parabolün, xoy ekseninin I. Bölgesinde kalan kısmının alanı için , ⇒ x=0 , x=2 2 taralı bölgenin alanı = ∫ (4 − x ²) dx – alan(üçgen) 0 x³ = (4 x − ) 3 2 – 0 2 .4 2³ 16 4 = (8 − ) – 4 = –4= 2 3 3 3 17. Yukarıda verilen taralı bölgelerin alanları sırasıyla a , b ve c birim karedir. 9 Buna göre, ∫ 7 f ( x) dx − ∫ f ( x) dx değeri kaçtır? 0 A) 2a + b 0 B) 2a + c C) 2b + c D) 2c + b E) 2a + 2b + c Çözüm 17 9 ∫ f ( x) dx = a + b + c 0 7 ∫ f ( x) dx = a – b 0 9 ∫ 7 f ( x) dx − ∫ f ( x) dx = (a + b + c) – (a – b) = a + b + c – a + b = 2b + c 0 0  1 1 −1  18.  1 − 1 1  1 2 3    x  5       .  y  = 3   z  2  Yukarıda matris gösterimi verilen doğrusal denklem sisteminin çözümünde x kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Çözüm 18  1 1 −1   1 −1 1  1 2 3    x  5       .  y  = 3   z  2  ⇒ 1.x + 1.y + (–1).z = 5 ⇒ x+y–z=5 2x = 8 (taraf tarafa topla) ⇒ 1.x + (–1).y + 1.z = 3 ⇒ 1.x + 2.y + 3.z = 2 ⇒ x–y+z=3 ⇒ x + 2y + 3z = 2 ⇒ x=4 19. DC = 1 .AC 4 m(DBC) = x Şekildeki ABC üçgeni bir eşkenar üçgen olduğuna göre, tanx kaçtır? A) 3 10 3 7 B) C) 3 3 5 D) 3 3 E) 2 3 3 Çözüm 19 ABC üçgeni bir eşkenar üçgen olduğuna göre, DBC üçgeninde BC kenarına ait yükseklik çizilirse, DH ⊥ BC m(DCB) = 60 , m(DHC) = 90 ⇒ m(HDC) = 30 olur. HC = a olsun. ⇒ DC = 2a , DH = 3 a olur. DC = 2a ⇒ AC = 4.DC = 8a AC = BC = AB = 8a BC = 8a , HC = a tanx = DH BH ⇒ ⇒ BH = 8a – a = 7a ⇒ tanx = 3.a 3 = 7.a 7 Not : Dik üçgen özellikleri Bir dar açının ölçüsü 30° olan dik üçgende, 30° karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına , 3 katına eşittir. 2 60° karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün 20. O noktası yarım çemberin merkezi AB = 3 cm AC = 1 cm m(AOC) = x Yukarıdaki verilere göre, sinx kaçtır? A) 2 3 B) 3 4 C) 3 5 D) 4 9 E) 3 10 Çözüm 20 I. Yol Çapı gören çevre açı 90 derece olduğundan, m(BAC) = 90 BAC dik üçgeninde, BC² = 3² + 1² m(AOC) = x (merkez açı) ⇒ sinx = 2.sin x x .cos 2 2 m(ABC) = ⇒ sinx = 2. 1 10 . ⇒ BC = 10 x (çevre açı) 2 3 10 = 6 3 = 10 5 ⇒ sinx = 3 5 II. Yol Çapı gören çevre açı 90 derece olduğundan, m(BAC) = 90 BAC dik üçgeninde, BC² = 3² + 1² ⇒ BC = 10 BAC üçgeninde BC kenarına ait yükseklik çizilirse, AH ⊥ BC Öklid bağıntısına göre, AC² = CH.CB ⇒ 1² = CH. 10 ⇒ CH = AHC dik üçgeninde, AC² = AH² + HC² (pisagor) 1² = AH² + ( BC = 10 1 10 )² ⇒ AH = 3 10 10 2 ⇒ BO = OC = OA = 3 AHO üçgeninde, sinx = AH AO ⇒ sinx = 6 3 10 = = 10 5 10 2 ⇒ sinx = Not : Öklid bağıntıları I ) h² = p.k II ) c² = p.a b² = k.a III ) 1 1 1 = + h ² b² c ² 3 5 1 10 III. Yol Çapı gören çevre açı 90 derece olduğundan, m(BAC) = 90 BAC dik üçgeninde, BC² = 3² + 1² ⇒ BC = 10 BO = OC = OA = alan (BAC) = 3 .1 3 = 2 2 10 2 ⇒ alan (BAC) = alan (AOB) + alan (AOC) Taban uzunlukları ve yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları eşit olacağından, BO = OC ⇒ alan (AOB) = alan (AOC) = alan (AOC) = 1 10 10 5 . . .sinx = .sinx 2 2 2 4 5 3 .sinx = 4 4 ⇒ sinx = 3 olur. 4 3 elde edilir. 5 Not : Đki kenarı ve aradaki açısı verilen üçgenin alanı 1 .b.c.sin(A) 2 1 Alan (ABC) = .a.c.sin(B) 2 1 Alan (ABC) = .a.b.sin(C) 2 Alan (ABC) = Not : Çapı gören çevre açı 90 derecedir. Not : Merkez açı Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir. Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. m(AOB) = m(AB) = x Not : Çevre açı (Çember açı) Köşesi çember üzerinde olan açıya çevre açı denir. Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. x = m(ACB) = m( AB) 2 21. ABC bir üçgen AE ve CD açıortay m(EDC) = 65° m(ABC) = x Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir? A) 50 B) 45 C) 40 D) 35 E) 30 Çözüm 21 m(BAE) = m(EAC) = a m(ECD) = m(DCA) = b olsun. a + b = 65 ABC üçgeninde, 2a + 2b + x = 180 ⇒ 2.65 + x = 180 ⇒ 2.(a + b) + x = 180 ⇒ x = 180 – 130 ⇒ x = 50 Not : Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. 22. ABC bir eşkenar üçgen AB = a birim Bir ABC eşkenar üçgeninin kenarları şekildeki biçimde uzatılarak A’B’C’ üçgeni elde ediliyor. Buna göre, A’B’C’ üçgeninin çevresi ABC üçgeninin çevresinin kaç katıdır? A) 3 B) 5 C) 7 D) 8 E) 10 Çözüm 22 I. Yol x² = a² + (2a)² – 2.a.2a.cos120 (kosinüs teoremi) [cos120 = – cos60 = x² = 5a² – 4a².( −1 ) 2 çevre (A' B ' C ' ) çevre ( ABC ) = x² = 5a² + 2a² ⇒ x² = 7a² 7 a + 7 a + 7 a 3 7a = = a+a+a 3a 7 ⇒ x=a 7 −1 ] 2 II. Yol ABC eşkenar üçgen olduğuna göre, m(A) = m(B) = m(C) = 60 A’AB’ ≅ C’CA’ ≅ B’BC’ (kenar – açı - kenar) ⇒ A’B çizilirse, A’BC üçgeninde, m(BAC) = 60 AB = AA’ = a A’B’C’ üçgeni eşkenar üçgen olur. ⇒ m(A’AB) = 120 ⇒ A’AB üçgeni, ikizkenar olur. m(BA’C) = m(A’BA) = 30 ⇒ m(A’BC) = 30 + 60 = 90 A’BC dik üçgeninde, BC = a , A’C = 2a ⇒ (2a)² = a² + A’B² (pisagor) ⇒ A’B = a 3 A’BC’ dik üçgeninde, BC’ = 2a , A’B = a 3 ⇒ A’C’² = (a 3 )² + (2a)² (pisagor) ⇒ A’C’ = a 7 A’C’ = a 7 = A’B’ = B’C’ AB = BC = AC = a çevre (A' B' C ' ) çevre ( ABC ) = 3 7a = 3a ⇒ Çevre (A’B’C’) = 3 7 a ⇒ Çevre (ABC) = 3a 7 Not : Kosinüs teoremi Bir ABC üçgeninde, a² = b² + c² – 2.b.c.cos(A) b² = a² + c² – 2.a.c.cos(B) c² = b² + a² – 2.a.b.cos(C) 23. ABC bir üçgen AD = DB AE = EC TG = 3 cm AT = x Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Çözüm 23 Kenarortayların kesim noktası G ağırlık merkezi olduğuna göre, AG = 2GF ⇒ x + 3 = 2.GF ADT ≅ ABF ⇒ ⇒ AD AB GF + GT = TF GF = = ⇒ AT AF = x+3 2 DT BF ⇒ x+3 +3=x 2 AT = TF = x ⇒ x −3 =3 2 ⇒ x=9 Not : Kenarortay Bir üçgenin kenarortayları aynı bir noktada kesişirler. Bu kesim noktasına G ağırlık merkezi denir. GD = 1 .AD 3 AG = 2 .AD 3 Not : [AD] , [BE] , [CF] kenarortaylar olsun. [FE] // [BC] FE = BC 2 AK = KD KG = KD – GD AD KG = 2 − AD 3 = AD 6 24. Yukarıdaki şekilde ABCD bir kenar uzunluğu 2 cm olan bir kare, DEA ve AFB birer eşkenar üçgendir. Buna göre, DEF üçgeninin alanı kaç cm² dir? A) 1 + 2 B) 2 + 2 C) 3 + 2 D) 2 + 3 E) 3 + 3 Çözüm 24 ADE eşkenar üçgeninde, AH ⊥ DE çizilirse, DH = HE = 1 AD = 2 ⇒ 2² = 1² + AH² (pisagor) Yükseklik = AH = DAF ≅ EAD ⇒ F , A , H noktaları doğrusaldır. DFE üçgeninde, yükseklik = HF = AH + AF = alan (DEF) = 3 2.( 2 + 3 ) =2+ 2 3 +2 3 elde edilir. Not : Eşkenar üçgende yükseklik , açıortay , kenarortay dikmeleri aynı doğrulardır. 25. ABCD bir dikdörtgen DA = 5 cm DC = 12 cm m(ADE) = m(EDB) Yukarıdaki verilere göre, DEB taralı üçgeninin alanı kaç cm² dir? A) 83 4 B) 65 3 C) 61 3 D) 45 2 E) 41 2 Çözüm 25 DA = BC = 5 DB² = 5² + 12² (pisagor) ⇒ DB = 13 DC = AB = 12 DAB üçgeninde, DE açıortay olduğuna göre, iç açıortay teoreminden, AD DB = AE EB ⇒ AE EB AE + EB = AB EB = 13.k = 13. = 5 5.k = 13 13.k ⇒ AE = 5.k , EB = 13.k ⇒ 5k + 13k = 12 ⇒ 2 26 = 3 3 Bir üçgende bir açının açıortayı karşı kenarı diğer kenarlar oranında böler. NB NC = ⇒ k= 26 .5 130 65 = ⇒ Alan (DEB) = 3 = 2 6 3 Not : Açıortay teoremi AN iç açıortay ise, 18k = 12 c b 2 3 26. AT , AT ’ ve BC O merkezli çembere teğet m(BOC) = 70° m(BAC) = x Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir? A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 Çözüm 26 OT , OT ’ , OK çizilirse, OB , OC açıortaydır. m(KOT) = 2a olsun. m(TOB) = m(KOB) = a m(KOT ’) = 2b olsun. m(KOC) = m(COT ’) = b m(COB) = 70 ⇒ a + b = 70 m(KOT) = 2a KOBT dörtgeninde, iç açılar toplamı = 360 olduğuna göre, 90 + 2a + 90 + m(TBK) = 360 ⇒ m(TBK) = 180 – 2a ⇒ m(KBA) = 2a olur. m(KOT ’) = 2b CKOT ’ dörtgeninde, iç açılar toplamı = 360 olduğuna göre, 90 + 2b + 90 + m(KCT ’) = 360 ⇒ m(KCT ’) = 180 – 2b ⇒ m(KCA) = 2b olur. ABC üçgeninde, iç açılar toplamı = 180 olduğuna göre, 2a + 2b + x = 180 ⇒ 2.70 + x = 180 ⇒ ⇒ 2.(a + b) + x = 180 x = 180 – 140 (a + b = 70 olduğuna göre,) ⇒ x = 40 Not : Yarıçap teğete değme noktasında diktir. Not : [OP] açıortaydır. Not : Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir. PA = PB Not : Đki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı, ABC üçgeninin dış açılar toplamı ve BDC üçgeninin iç açılar toplamını yazarsak, 180 – x + 2b + 2c = 360 b + c + y = 180 ⇒ x + 180 = 2b + 2c ⇒ b+c= ⇒ b + c = 180 – y x + 90 = 180 – y 2 ⇒ x = 180 – 2y veya y = 90 – x 2 x + 90 2 27. Aşağıda verilen kahve yapma makinesi, taban yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 4 cm olan kesik koni biçimindeki A parçası ile taban yarıçapı 3 cm olan yeterince yüksek silindir biçimindeki B parçasının şekildeki gibi birleştirilmesiyle oluşturulmuştur. Kahve makinesi boşken B nin üstünden A kısmının hacminin 3 katı su konulduğunda B kısmında su kaç cm yükselir? A) 35 2 B) 45 2 C) 19 3 D) 40 3 E) 56 3 Çözüm 27 A parçasının (kesik koninin) hacmi Kesik koniyi tamamlarsak, TCD ≅ TOB ⇒ h1 3 = h1 + 4 6 ⇒ h1 = 4 TAB konisinin yüksekliği = h = 4 + 4 = 8 olur. Kesik koninin hacmi = 1 1 .π.6².8 – .π.3².4 3 3 = 96.π – 12.π = 84.π Kahve makinesi boşken B nin üstünden A kısmının hacminin 3 katı su konulduğunda, 2 katı kadar su miktarı B kısmında (silindirin içinde) bulunacağından, Silindirdeki suyun hacmi = 2.(84.π) = 168.π olur. Silindirdeki suyun yüksekliği = h olsun. B kısmında suyun oluşturduğu silindirin hacmi = π.3².h = 168.π ⇒ h= 168 56 = 9 3 → → → 28. A(1 , 2) , B(−1 , 3) ve C(0 , 1) noktaları için ( AB + BC )• BC iç (skaler) çarpımı kaçtır? A) −2 B) −1 C) 1 D) 2 E) 3 Çözüm 28 I. Yol A(1 , 2) , B(−1 , 3) B(−1 , 3) , C(0 , 1) → → ⇒ AB = (−1 − 1 , 3 − 2) = (−2 , 1) → ⇒ BC = (0 − (−1) , 1 − 3) = (1 , −2) → ( AB + BC ) = (−2 + 1 , 1 + (−2)) = (−1 , −1) → → → ( AB + BC )• BC = (−1).1 + (−1).( −2) = −1 + 2 = 1 II. Yol → → → AB + BC = AC → A(1 , 2) , C(0 , 1) ⇒ B(−1 , 3) , C(0 , 1) → → → AC = (0 – 1 , 1 – 2) = (–1 , –1) ⇒ → → BC = (0 − (−1) , 1 − 3) = (1 , −2) → ( AB + BC )• BC = AC • BC = (−1).1 + (−1).( −2) = −1 + 2 = 1 → → → Not : A = (x1 , y1) , B = (x2 , y2) vektörleri için AB vektörünü bulmak için, bitim noktasının koordinatlarından başlangıç noktasının koordinatları çıkarılır. → Buna göre, AB = (x2 – x1 , y2 – y1) Not : Vektörlerin toplamı → → → → A = (x1 , y1) , B = (x2 , y2) vektörleri için A + B = (x1 + x2 , y1 + y2) Not : Vektörlerin skaler (iç) çarpımı → → Öklid iç çarpımı denilen bu iç çarpım A = (x1 , y1) , B = (x2 , y2) vektörleri için → → A . B = x1.x2 + y1.y2 biçiminde tanımlanır. Sonuç bir skaler (sayı) çıktığından bu çarpıma skaler çarpım da denir. 29. x² + y² − 4 = 0 x² + y² − 8x + 6y + 24 = 0 Yukarıda denklemleri verilen iki çember arasındaki en kısa uzaklık (birbirine en yakın noktaları arasındaki uzaklık) kaç birimdir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 2 E) 7 2 Çözüm 29 x² + y² − 4 = 0 ⇒ x² + y² = 2² (yarıçapı = 2 ve merkezi = (0 , 0) olan çember) x² + y² − 8x + 6y + 24 = 0 ⇒ (x – 4)² + (y + 3)² = 1 (yarıçapı = 1 ve merkezi = (4 , –3) olan çember) OA = 4 ve MA = 3 ⇒ OM = 5 (pisagor) Veya Đki nokta arasındaki uzaklıktan, O(0 , 0) ve M(4 , –3) ise OM = OM = 2 + x + 1 ⇒ 2+x+1=5 (4 − 0)² + (−3 − 0)² = 5 ⇒ x=2 Not : Çemberin denklemi Merkezi = (a , b) , yarıçapı = r ⇒ (x – a)² + (y – b)² = r² Not : Đki nokta arasındaki uzaklık ⇒ A(x1 , y1) ve B(x2 , y2) AB = ( x 2 − x1 )² + ( y 2 − y1 )² 30. Şekilde verilen ABC üçgeninin [AC] ve [BC] kenarlarının eğimleri çarpımı −4 olduğuna 9 göre, C köşesinin koordinatları aşağıdaki denklemlerden hangisini sağlar? A) x² y² − =1 4 6 x² y² − =1 8 18 B) C) x² y² + =1 4 8 D) x² y² + =1 9 4 E) x² y² + =1 9 16 Çözüm 30 I. Yol [AC] nin eğimi = y−0 y = x − (−3) x+3 [BC] nin eğimi = y−0 y = x−3 x −3 y y −4 . = x +3 x −3 9 ⇒ y² −4 = x ² − 3² 9 ⇒ 9. y ² 4 x ² 36 + = 36 36 36 ⇒ ⇒ 9.y² = – 4.(x² – 9) x² y² + = 1 elde edilir. 9 4 Not : Đki noktası bilinen doğrunun eğimi A(x1 , y1) ve B(x2 , y2) ⇒ [AB] nin eğimi = y 2 − y1 y − y2 = 1 x 2 − x1 x1 − x 2 ⇒ 9.y² + 4.x² = 36 II. Yol [AC] nin eğimi = y x+3 [BC] nin eğimi = – ( y y −4 . = x +3 x −3 9 ⇒ y² −4 = x ² − 3² 9 ⇒ 9. y ² 4 x ² 36 + = 36 36 36 ⇒ y y y )=–( )= 3− x − ( x − 3) x −3 ⇒ 9.y² = – 4.(x² – 9) ⇒ 9.y² + 4.x² = 36 x² y² + = 1 elde edilir. 9 4 Not : Şekildeki α açısına d doğrusunun eğim açısı, “tanα” ya bu doğrunun eğimi denir. 0 < α < 90 ⇒ m = tanα > 0 90° < α < 180° ⇒ m = tanα < 0 Uyarı : Bir doğrunun x ekseninin pozitif tarafı ile yaptığı açıya eğim açısı ve eğim açısının tanjantına da eğim denir. Adnan ÇAPRAZ [email protected] AMASYA

2009 ÖSS Matematik 1 Soruları ve Çözümleri İndir (PDF)

Bu yazımda 2009 yılında yapılan Öğrenci Seçme Sınavı yani ÖSS matematik 1 sorularını ve çözümlerini PDF formatında paylaşacağız.

Yüksek puanlar ve sıralamalar hedefleyen adayların vazgeçilmezi olan geçmiş yılların Çıkmış Soruları ve çözümlerini paylaşmaya başladık. Eğer gerçekten hedefiniz matematikte yüksek netler yapmak ise sadece konu çalışarak bunu yapamayacağınızı üzülerek belirtmek isterim. Söz konusu sınav ile alakalı geçmiş yılların sorularını ve bu soruların çözümlerini dikkatlice incelemek başarınızı arttıracak bir unsurdur. Bu yazımızda paylaşacağımız 2009 ÖSS Matematik 1 sorularını ve cevaplarını aşağıdaki “indir” butonuna tıklayarak PDF formatında indirebilirsiniz.
 
Diğer yıllara ait çıkmış sorular için Matematik Çıkmış Sorular sayfamızı ziyaret edebilirsiniz.
 

2009 ÖSS Matematik-1 Soruları ve Çözümleri İndir

 
»TYT Matematik Konuları ve Soru Dağılımı

2023 TYT Konuları
2023 AYT Konuları
Üniversite Taban Puanları