57 Asal Mı

Aralarında asal sayılar, 1 sayısının dışında herhangi bir pozitif ortak böleni bulunmayan sayılara, aralarında asal sayılar denilmektedir. Birden fazla sayının birbirleri arasında aralarında asal sayı olabilmesi için, bu sayıların aynı zamanda asal sayı olması şart değildir. Asal sayılar, aynı zamanda mutlaka aralarında da asal sayılardır. Bununla beraber, mesela 10 ile 81 sayıları birer asal sayı olmadıkları halde, aralarında asal sayılar olarak kabul edilir. Diğer bir yandan da 10 ile 8 sayıları birer asal sayı durumu olmamasına rağmen, 2 ortak böleni bulunması sebebiyle de aynı zamanda aralarında asal sayıda değillerdir. Bir sayı için aralarında asal olan iki sayıya birden bölünebilir ise bu iki sayının çarpımlarına da bölündüğünü söyleyebiliriz. 

Asal sayıların bir alt dalı kabul edilen aralarında asal sayılar için bazı benzerlikler ve farklılıklar vardır. Aralarında asal sayıların asal sayılara olan benzerlikleri arasında her iki sayı içinde pozitif bir değerin aranması ile ortak bir pozitif bölenin bulunmasını ve 1 sayısının her ikisi içinde bir pozitif ortak bölen olması durumu vardır. Asal sayı ile aralarında asal sayılar arasında en temel farklılık ise asal sayılar kendisinden başka sayılara bölünmemesi (1 hariç) durumu söz konusuyken aralarında asal sayılar için ise birden fazla sayı arasında karşılaştırma yapıldığı için kendisine bölünüp bölünmemesi şart değildir. Aynı zamanda yine aralarında asal sayıların kendi aralarında mukayese yapılması sebebiyle karşılaştırma yapılan sayılar arasında asal olmayan sayılar da bulunabilir. Bu durum aralarında asal sayı olup olmamasını etkileyecek bir neden değildir. Aralarında asal olabilmesi karşılaştırma yapılan sayıların kendi aralarındaki durumu ve her iki sayının da ortak bölenlerinin bulunmamasıdır. Ancak karşılaştırma yapılan sayılar için sadece bir tanesi çift sayı olabilir. Aksi halde aralarında asal sayı olma durumunu bozar.

Örneğin

• 2, 9 
• 10, 81 
• 5, 29 
• 3, 8 
• 2, 10, 35 
• 32, 45
• 22, 27
• 35, 23

yukarıda verilen sayı grupları için, ortak olan tam sayı bölenleri olmadığı için aralarında asal saylardır. 

Asal olmayan sayılar için ise bileşik sayı denilmektedir. Bundan ötürü, bileşik sayılarda 1 ile kendisinden başka ortak bölen bulunmaktadır. Mesela 10 sayısını inceleyelim. 10 bir bileşik sayıdır. Çünkü 10’nun bölenleri arasında 1 ile kendisinin dışında 2 ve 5 de bulunmaktadır. Burada dikkat edilmesi gereken mesele asal sayı olmayan yan bileşik sayı olan 10 sayısının çarpanlarından olan 2 ile 5 sayıları birer asal sayıdır ve 10 sayısı iki asal sayının çarpımı sonucu ortaya çıkmıştır. Buradan da şu sonuç elde edilir. Asal sayıların birbirleriyle çarpımı sonucu elde edilen sayı asal sayı olamaz. Ancak bileşik sayı olduğu kesindir.

Örnek

Aşağıda verilmiş olan sayıların aralarında asal olup olmadığın bulunuz? 

a) 4, 20 b) 6, 21 c) 27, 36, 39 d) 8, 24, 36 e) 3, 5, 25 

Çözüm:

a) 4 ile 20 sayılarının ortak böleni bulunmaktadır ve bu bölenler de 2 ve 4' tür. 

b) 6 ile 21 sayılarının ortak böleni bulunmaktadır ve bu bölen ise bir tanedir ve 3' tür. 

c) 27, 36 ve 39' sayılarının ortak böleni bulunmaktadır ve bu ortak bölen ise 3' tür. 

d) 8, 24 ve 36 sayılarının ortak böleni bulunmaktadır ve bu ortak bölenler de 2 ile 4' tür. 

e) 3, 5 ve 25 sayılarının ortak böleni bulunmamaktadır. Çünkü, bu üç sayıyı birden ortak bölen 1 sayısından başka herhangi bir sayı bulunmamaktadır. Bu sebepten ötürü, bu sayılar için aralarında asaldır diyebiliriz.