Matematikte dört ayrı işlem yaparız. Bu işlemler içerisinde toplama ve çıkarma ile beraber çarpma ve bölme işlemleri bulunur. Biz şimdi toplama ve çıkarma işlemi ele alacağız ve sayıların negatif veya pozitif değerlerini inceleyeceğiz.
Tam Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri ve Özellikleri
Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri ve özellikleri değişkenlik gösterir. Toplama yaparken farklı işlemler ele alırız, çıkarma yaparken ise değişik işlemler yaparız. O yüzden şimdi bunları ayrı ayrı ele alalım ve toplama ile çıkarma işlemlerini örnekler üzerinden inceleyelim.
Tam Sayılarla Toplama İşlemleri
Tam sayılarla toplama işlemleri sayı doğrusunda gösterildiği zaman ok işareti ile gösterilir. Bir sayının değeri başlangıç noktasından okun gittiği noktaya kadar devam eder. Mesela sıfır noktasında Bir ok sağ tarafa doğru 6 rakamına kadar çizilmiş ise o zaman o diğer + 6 şeklinde bilinir. Yani pozitif bir rakamdır. Ancak eğer sayı doğrusunda sıfır noktasından başlamak suretiyle sol tarafa doğru mesela 5 sayısına kadar gidersek, o zaman bu sayı - 5 olarak bilinir. Yani bu sayı negatif bir rakamdır.
Şimdi bu konuda bir örnek yapalım ve pozitif ile negatif konusunu anlamaya çalışalım.
Örnek: (+3) + (+5) sayılarını toplayalım ve sonuncu bulalım.
Yukarıdaki işleme eğer sayı doğrusunda gösterir isek, bu sayıların değerleri pozitif olduğu için ok ile çizim yapıldığı zaman sağ tarafa doğru hareket edildiğini görürüz. Yani 0 sayısından başlamak üzere +3 sayısına kadar ok çizilir. Aynı zamanda yine sıfır noktasından başlayarak + 5 sayısına kadar ok çizilir. Böylece bu işlemi bu şekilde yapabiliriz;
(+ 3) + (+ 5) = + 8
Gördüğümüz gibi iki tane pozitif tamsayı topladığımız zaman, bize pozitif bir tamsayı vermektedir. Böylece + 8 sonucunu buluyoruz.
Örnek: (-6) + (+4) sayısını toplayalım ve sonucunu bulalım.
Gördüğümüz gibi bu defa sayılardan biri negatif diğeri ise pozitiftir. Yani (- 6) sayısı sayı doğrusunda sıfırdan başlamak üzere sol tarafa doğru 6'ya kadar gitmiştir. Ancak (+ 4) sayısı ise sayı doğrusunda sağ tarafa doğru 4'e kadar gitmiştir. O zaman bu sayılar zıt tarafa doğru ok işareti ile gittiği için, birbirinden çıkarılırlar.
(- 6) + (+ 4) = - 2
Gördüğümüz gibi sonuç olarak - 2 sayısını buluyoruz.
Not: Negatif sayı pozitif sayıdan daha büyük olduğu için bu iki sayı topladığımızda negatif (- 2) bir sayı elde ediyoruz.
Tam Sayılarla Çıkarma İşlemleri
Tam sayılarda çıkarma işlemi yaparken toplama işleminden faydalanılır. Bildiğimiz gibi çıkarma işleminde eksilen çıkan ve fark bulunmaktadır
A (Eksilen)
B (Çıkan)
C (Fark)
A - B = C şeklinde yazabiliriz.
Not: Çıkarma işlemi yaparken unutmamamız gereken en önemli husus, çıkan sayının işaretinin değişeceğidir. Böylece çıkarma işlemi toplama işlemine dönüştürülür ve işlem yapılır.
Örnek: (- 4) - (+ 3) işlemini yapalım ve çıkarma sonucunu bulalım
Bu işlem yapmadan önce + 3 olan çıkan sayısının işaretini değiştireceğiz. Bunu çıkan sayının önündeki işaret ile değiştireceğiz ve daha sonra toplamaya çevirerek işlem yapacağız.
(- 4) + (- 3) = - 7
Örnek: (- 8) - (- 6) işlemini yapalım ve çözmeye çalışalım.
Bu defa çıkan sayısı olan - 6 sayısının yine işaretini değiştireceğiz ve toplama yapacağız.
(- 8) + (+ 6) = - 2
Gördüğümüz gibi bu şekilde siz de farklı örnekler yapabilir ve işaretlere göre çıkarma ile toplama işlemleri gerçekleştirebilirsiniz.
Bilgi Kutusu: Pozitif iki tam sayının toplamı pozitif, negatif iki tam sayının toplamı negatif bir tam sayıdır.
Bilgi Kutusu: Zıt işaretli iki tam sayının toplamı yapılırken sayılar birbirinden çıkarılır. Sonuç, mutlak değerce büyük olan sayıyla aynı işaretlidir. İki sayı mutlak değerce aynı ve ters işaretli ise bu sayıların toplamı sıfırdır. Böyle sayılara toplama işlemine göre birbirinin tersidir. denir. Mutlak değerleri eşit olan sayılar başlangıç noktasına eşit uzaklıktadır.
Örnek Soru
(+7) + (-9) = (-2)
(-8) + (+12) = (+4)
(-3) + (+3) = 0
Bilgi Kutusu: Zıt işaretli iki tam sayının toplamı yapılırken sayılar birbirinden çıkarılır. Sonuç, mutlak değerce büyük olan sayıyla aynı işaretlidir.
-7den +3ü çıkarabilmek için 3 tane (+) pula ihtiyacımız vardır. ifadenin değişmemesi için 3 (+) 3de (-) pul ekleyelim.
3 tane (+) pulu çıkardığımızda modelde 10 tane (-) pul kalır. O hâlde, (-7) (+3) = (-7) + (-3) = elde edilir.
Bilgi Kutusu: Tam sayılarla toplama işleminde sayıların yerlerinin değiştirilmesi sonucu değiştirmez.
Bilgi Kutusu: Bir tam sayının sıfır ile toplamı kendisine eşittir.
Bilgi Kutusu: Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çarpılır. Sonra sayıların değerleri çarpılır. Aynı işaretli sayıların çarpımı pozitif, ters işaretli sayıların çarpımı negatiftir.
Bilgi Kutusu: Pozitif iki tam sayının çarpımı pozitif bir tam sayıdır.
Uyarı: Bir tam sayının işaretinin artı (+) olması sayı doğrusunda sağa doğru hareket edileceğini gösterir.
Bilgi Kutusu: Negatif iki tam sayının çarpımı pozitif bir tam sayıdır.
Bilgi Kutusu: Ters işaretli iki tam sayının çarpımı negatif bir tam sayıdır.
Uyarı: Bir tam sayının işaretinin (-) eksi olması sayı doğrusunda sola doğru hareket edileceğini gösterir.
Değişme Özelliği
Bilgi Kutusu: Her a ve b tam sayı olmak üzere a . b = b . a olduğundan tam sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
Birleşme Özelliği
Bilgi Kutusu: Her a, b ve c tam sayı olmak üzere a . (b . c) = (a . b) . c olduğundan tam sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
Etkisiz Eleman Özelliği
Bilgi Kutusu: Her a ve b tam sayı olmak üzere a . (1) = (1) . a = a olduğundan 1 tam sayılarda çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.
Yutan Eleman Özelliği
Bilgi Kutusu: Her a ve b tam sayı olmak üzere a . 0 = 0 . a = 0 olduğundan 0 sayısı tam sayılarda çarpma işleminin yutan elemanıdır.
Çarpma İşleminin Toplama ve Çıkarma İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği
Bilgi Kutusu: Her a ve b tam sayı olmak üzere
a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
a . (b c) = (a . b) (a . c)
olduğundan tam sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
Bilgi Kutusu: Zıt işaretli iki tam sayının bölümü negatif bir tam sayıdır. Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitif bir tam sayıdır.
Uyarı: Tam sayılarla çarpma işleminin tersi bölme işlemi, bölme işleminin tersi çarpma işlemidir.
Uyarı: a ve b sıfırdan ve birbirinden farklı tam sayılar olmak üzere a : b ≠ b : adır.
Sayıların sıfıra bölümü tanımsızdır.
(-2) :0 = tanımsız
(+3) : 0 = tanımsız
0 : 0 = belirsiz
Sıfırın sıfır hariç bir tam sayıya bölümü sıfırdır.
0 : (+7) = 0
0 : (-3) = 0
10 Sayısının Pozitif Kuvvetleri
Not: 10 sayısının pozitif kuvvetlerini bulurken 1in sağına kuvvetteki sayı kadar sıfır konulur.
Not: Tam sayılarda dört işlem yapılırken işlem önceliği aşağıdaki sıralamaya göre belirlenir:
1. En içteki parantezden en dıştaki paranteze doğru parantez içindeki işlemler yapılır.
2. Üslü sayılar hesaplanır.
3. Çarpma ve bölme işlemleri yapılır.
4. Toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.
Örnek:
12 [48 : ()] = ? (Parantez içi işlem öncelikli olarak yapılır.)
12 (-3) = (sonra çıkarma işlemi yapılır.)
12 + 3 = 15
Bilgi Kutusu: Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımına o sayının kuvveti denir. Bu tekrarlı çarpımının sonucunu bulmaya kuvvet alma işlemi denir.
Pozitif bir tam sayının bütün kuvvetleri daima pozitiftir.
Negatif bir tam sayının çift kuvvetlerinin değeri pozitif, tek kuvvetlerinin değeri negatiftir.
Karşılaştığımız bir problemin çözümü için öncelikle problemi iyice anlamamız gerekir. Daha sonra problemin çözümü için plan yaparak planın uygulama aşamasına geçmeliyiz. Bulduğumuz sonucun doğruluğunu kontrol etmeyi ihmal etmemeliyiz.