8 In Asal Tam Bölen Sayısı Kaçtır
Bir pozitif tamsayı (1'den büyük) ya asal bir sayıdır ya da asalların birbiri ile çarpılmasından oluşmuştur. Örneğin $8$ sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali $2^3$ tür. $8$ in bir tane asal çarpanı vardır ve $2$ dir. $72$ sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali $2^3 3^2$ dir. $72$ nin iki tane asal çarpanı vardır: $2$ ve $3$.
$72$ yi tam bölen sayıları düşünelim. Örneğin $1,2,3,4,6,8,9 \cdots$ sayıları $72$ yi tam bölerler. Ancak bu sayıların tam olarak kaç tane olduklarını bulmak için bir formül kullanacağız. Bir pozitif tam sayının asal çarpanlara ayrılmış hali
\[ x^a y^b z^c \cdots \] ise bu sayının pozitif tam bölenleri sayısı \[ (a+1) (b+1) (c+1) \cdots \]
Sayıyı asal çarpanlara ayırdıktan sonra üslere $1$ ekleyerek çarpıyoruz. Örneğin $72 = 2^3 \cdot 3^2 $ olduğundan üslere $1$ ekleyip çarparsak $(3+1)(2+1) = 12 $ dir. $72$ yi bölen pozitif tamsayılar $12$ tanedirler.
$8 = 2^3$ üsse $1$ ekliyoruz ve çarpacak başka bir şey olmadığından $4$ tane pozitif tam bölen olduğunu buluyoruz.
$120 = 2^3\cdot 3 \cdot 5 $ üslere $1$ ekleyip çarparsak $(3+1) (1+1) (1+1) = 16$ tane pozitif tam böleni vardır. Dikkat edelim formül sadece pozitif tam bölenlerin sayısını vermektedir. Pozitifler kadar negatifler de vardır. Tüm tam bölenlerin sayısı bulduklarımızın $2$ katıdır.
Daha zor örneklere geçmeden bir kaç noktayı belirtelim. Asal tam bölenleri sayısı dendiğinde formüle falan gerek yok. Zaten asal çarpanlara ayırdığımızda bunları görüyoruz. Örneğin $72 = 2^3 3^2$ olduğundan asal bölenler ( ya da çarpanlar) iki tanedir ve bunlar $2$ ve $3$ tür. Dolayısıyla asal olmayan pozitif tam bölenleri sayısı dendiğinde de pozitif tam bölenlerin sayısından bunları çıkarmalıyız. $72$ nin pozitif tam bölenleri $12$ tane idi, bunlardan iki tanesi asaldır. Dolayısıyla asal olmayan pozitif tam bölenleri $10$ tanedirler. Asal olmayan tam bölenleri sayısı dendiğinde dikkat edelim. Tüm tam bölenler sorulduğunda pozitif tam bölenleri $2$ ile çarpıyoruz. Asal olmayan tam bölenler dendiğinde asal olmayan pozitifleri iki ile çarpmayacağız. Önce tüm tam bölenleri bulup bunlardan asal olan tam bölenleri çıkaracağız. Örneğin $10$ tane asal olmayan pozitif tam böleni olduğunu bulduk. Bunu iki ile çarpıp $72$ nin asal olmayan tam böleni sayısı $20$ dir demeyeceğiz, çünkü bu durumda asalların negatiflerini de ($-2$ ve $-3$) atmış oluyoruz. $72$ nin asal olmayan tam böleni sayısı \[ 2 \cdot 12 - 2 = 22 \]
$120$ sayısının
- Pozitif tam bölenleri sayısı
- Tam bölenleri sayısı
- Asal tam bölenleri sayısı
- Asal olmayan pozitif tam bölenleri sayısı
- Asal olmayan tam bölenleri sayısı
- $5$ ile bölünen tam bölenleri sayısı
- Tek tam bölenleri sayısı
- Pozitif çift tam bölenleri sayısı
kaç tanedir?
\[ 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \]
- Pozitif tam bölenleri sayısı üslere $1$ ekleyip çarparsak $4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ tanedir
- Tam bölenleri sayısı pozitiflerin iki katıdır, $32$
- Asal tam bölenler zaten görünmektedir $2$, $3$ ve $5$ tir ve $3$ tanedirler.
- Pozitif tam bölenlerden asal olanları çıkarırsak asal olmayan pozitif tam bölenleri buluruz: $16-3 = 13$
- Tüm tam bölenlerden asalları çıkarırsak asal olmayan tam bölenleri buluruz: $32 - 3 = 29$
- Bu seçeneği anlayabilmek için bu formülün bize neyi verdiğini daha iyi incelemeliyiz. Örneğin yukarıda $120$ nin $2,2,2,3,5$ sayılarından oluştuğunu gördük. $120$ nin bir çarpanını oluşturmak için bu sayılardan keyfi seçip birbiri ile çarpmalıyız. Örneğin $2$ yi alabiliriz. $2$ ve $3$ ü beraber alıp $6$ oluşturabiliriz. İki tane $2$ ve bir tane $5$ alıp $20$ oluşturabiliriz. Hiç birini almayız bu durumda $1$ oluşmuş oluyor. Bu şekilde oluşturabileceğimiz tüm farklı sayılar $120$ nin pozitif tam bölenidir ve bunlar formülle bulduğumuz gibi $16$ tanedirler.
Şimdi $5$ in katı olan sayılar oluşturmaya çalışalım. Örneğin $5$ i yalnız alırız. $5$ ve $2$ alırız, $5$ ve $3$ alırız vs... Aslında yaptığımız şey $5$ dışında kalan sayılarla farklı çarpanlar oluşturmaktır. Çünkü $5$ e bölünen sayı oluşturmaya çalıştığımızdan $5$ i kesin almalıyız. Yani kalanlarla ne yapabiliyoruz aslında ona bakmalıyız. $5$ i ayıralım ve kalan çarpanlara bakalım: \[ 2^3 \cdot 3 \] Bu çarpanlarla kaç farklı sayı oluşturabiliriz. Bu sayının pozitif tam bölenlerini bulalım, $4 \cdot 2 = 8$. Bu çarpanlarla $8$ farklı sayı oluşacağından $5$ e tam bölünen $8$ farklı pozitif tam bölen vardır.
Demek ki bir $a$ sayısına bölünen pozitif tam bölenleri bulurken asıl sayının asal çarpanlarından $a$ yı ayırıyoruz ve kalanlarla kaç farklı sayı oluşturabiliriz ona bakıyoruz. - Tek tam bölen oluşturmak için hiç $2$ çarpanı alamayız. Dolayısıyla tüm $2$ leri atıp kalanlarla kaç çarpan oluşuyor ona bakalım. Tüm ikileri atarsak $3 \cdot 5$ kalır. Bu sayının pozitif tam bölenleri $2\cdot 2 =4$ olduğundan $120$ nin pozitif tek tam bölenleri $4$ tanedir. Tek tam bölenleri sorulduğundan $2 \cdot 4 = 8$ olur.
Pozitif çift tam bölenlerini bir kaç yoldan bulabiliriz.
I. Yol
Pozitif çift tam bölenler = Pozitif tam bölenler - Pozitif tek tam bölenler
Tamamından tekleri çıkarırsak çiftler kalır. $16 - 4 = 12$ olur.
II. Yol
Aynen $5$ in katı olan bölenler oluştururken nasıl $5$ i ayırıp kalanlarla ne yapabileceğimize baktıysak burada da bir tane $2$ yi ayırıp kalanlarla ne yapabiliriz ona bakabiliriz
\[ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \]
Bu sayının pozitif tam bölenleri $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12 $ tanedir ve $120$ nin çift pozitif tam bölenlerine eşittir.
Bildiğimiz gibi faktöryel "!" işareti ile gösteriliyor ve bir pozitif tam sayıdan $1$ e kadar tüm tamsayıların çarpımını ifade ediyor. Örneğin $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =120$ dir. Kombinasyon konusunda nedeni anlatılan teknik bir sebeple $0! = 1$ olarak tanımlıdır ve negatif tam sayılar için faktöryel tanımlı değildir.
Hesaplayamayacağımız kadar büyük bir faktöryel içinde, örneğin $120!$ içinde kaç tane $5$ çarpanı var ya da kaç tane $2$ çarpanı var bunu nasıl bulabiliriz? $120!$ in açık halini düşünelim
\[ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdots 10 \cdots 15 \cdots 20 \cdots 25 \cdots 120 \]
Yukarıda toplam kaç tane $5$ çarpanı var bunu araştırıyoruz. $5$ e bölünen sayılar beşer beşer giderler, $5,10,15,20, \cdots ,120 $. Bunlar $120 \div 5 = 24$ tanedirler. Dolayısıyla en az $24$ tane $5$ var bunu anladık. Ancak bu sayılardan bazılarında iki tane $5$ çarpanı var, örneğin $25, 50, 75, 100$. İki tane $5$ çarpanı olanlar aslında $25$ e bölünenler demektir. Yani $120 \div 25 = 4$. Bu $4$ sayıdaki ikinci $5$ i saymadık bunları da eklersek $29$ tane $5$ bulduk. Aslında $120$ yi $25$ e böleceğimize zaten bir kere bölmüştük ve $24$ çıkmıştı, bu sayıyı tekrar $5$ e bölebilirdik böylece $120$ yi $25$ e bölmüş olacaktık: $24 \div 5 = 4$
Bir faktöryel içindeki $a$ asal çarpanlarının sayısını bulmak için bu faktöryel $a$ sayısına bölünür, elde edilen bölümler de $a$ ya bölünür ve en sonunda bu bölümler toplanır.
Örneğin $100! $ içindeki $3$ çarpanları için $100 \div 3 = 33$, $33 \div 3 = 11 $, $11 \div 3 = 3$, $3 \div 3 = 1$ elde edilen bölümleri toplarsak $33 + 11 + 3 + 1 = 48$ tane $3$ çarpanı olduğunu bulduk.
\[ 100! = 3^{48} \cdot A \]
Verified answer
Merhaba,
Öncelikle 8! sayısını açmalıyız.
Bu tür sayılar nasıl açılır?
Ünlem işaretinin yanındaki sayıdan başlayarak 1'e kadar (1 de dahil.) sayıları çarparız. Çıkan sonuç ise x! sayısının eşitidir. Açılmış halidir.
Şimdi soruya dönelim.
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Bu sorunun çözümü için illa bu sayıları çarpmamıza gerek yok. Bu çarpanların içindeki asal sayıları bulmamız yeterli olacaktır.
Asal çarpan → Sadece kendisine ve 1'e bölünen sayılara asal sayı denir. Eğer bir asal sayı bir sayının çarpanı ise o sayıya asal çarpan denir.
8'in çarpanları → 1-2-4-8 → Bunlardan sadece 2 asal sayı.
7'nin çarpanları → 1-7 → Bunlardan sadece 7 asal sayı.
6'nın çarpanları → 1-2-3-6 → Bunlardan 2 ve 3 asal sayı.
5'in çarpanları → 1-5 → Bunlardan 5 asal sayı
4'ün çarpanları → 1-2-4 → Bunlardan 2 asal sayı
3'ün çarpanları → 1-3 → Bunlardan 3 asal sayı
2'nin çarpanları → 1-2 → Bunlardan 2 asal sayı
1'in çarpanları → 1 → Asal sayı yok
Şimdi bunları yazarsam, 2-3-5-7
Bunlar bu sayının asal çarpanları.
Başarılar...
Soru Sor sayfası kullanılarak Asal Çarpanlarına Ayırma konusu altında Faktöriyelli İfadenin Bölen Sayısını Bulma ile ilgili sitemize gönderilen ve cevaplanan soruları içermektedir. Bu soru tipine ait soruları ve yaptığımız detaylı çözümleri aşağıda inceleyebilirsiniz. Yardımcı olması dileğiyle, iyi çalışmalar…
1.SORU
2.SORU
Diğer Soru Tipleri için Tıklayınız.
Soru Sormak için Tıklayınız.
Konu Anlatımı İçin Tıklayınız.
Çözümlü Test İçin Tıklayınız.
Abone olarak daha fazla sayıda soru sorabilirsiniz. Abone olmak için Tıklayın.
Not: Bu sayfadaki sorular, ziyaretçilerimiz tarafından gönderilmiştir. Telif hakkını ihlal eden durumlar için lütfen iletişim sayfasından bize bunları bildiriniz. Kısa süre içerisinde sitemizden bu sorular kaldırılacaktır.
Not: Bu sitede yayınlanan çözümler, tamamen bu site için hazırlanmıştır. İzinsiz olarak yayınlanıp, çoğaltılması yasaktır.
5! sayısını tam bölen kaç tane pozitif tam sayı vardır? A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 32 2 3 Çözüm: 5! 5.4.3.2.1 5.2 .3.2 2 .3.5 Üslere 1 ekleyip, çarparsak Poz. Bölen Sayısını bula – biliriz. Pozitif Bölen Sayısı (3 1)(1 1)(1 1) 4.2.2 16 15 5! 6! sayısının kaç tane tamsayı böleni vardır? A) 32 B) 36 C) 48 D) 64 E) 72 www.matematikkolay.net 2 3 Çözüm: 5! 6! 5! 6.5! 5!(1 6) 7.5! 7.5.4.3.2.1 7.5.2 .3.2.1 7.5.2 .3 Asal çarp 3 anlarına ayrılmış hali; 7.5.2 .3 olduğundan, üslere birer ekleyip çarparsak Pozitif Tam Sayı Böleni (1 1)(1 1)(3 1)(1 1) 2.2.4.2 32 dir. Tam Sayı Bölen Sayısı 2.32 64 buluruz. 25