Kepler kanunları ya da tam adıyla Keplerin gezegensel hareket yasaları gezegenlerin Güneşin etrafındaki hareketlerini açıklar. Kepler, yasalarını Tycho Brahenin topladığı gezegenlerin konum verilerini inceleyerek elde etmiştir. Şimdi bu üç kanunu inceleyelim.
Copernicus gezegenlerin yörüngelerinin çember şeklinde olduğunu öne sürmüştü. Kepler gezegenlerin konum verilerinin çember şeklinde yörüngelere değil elips şeklindeki yörüngelere iyi uyduğunu buldu. Aşağıdaki resimde Mars gezegeninin yörüngesi görünüyor.
Önce şekli inceleyelim. Elips, basık bir çembere benziyor, iki ekseni var birine büyük eksen diğerine küçük eksen deniyor. İki eksen O noktasında kesişiyor. Şekilde a ile gösterilen uzunluğa yarı-büyük eksen, b ile gösterilen uzunluğa yarı-küçük eksen deniyor. Elipsin iki adet odak noktası var, F1 ve F2 ile gösteriliyor. Şimdi yörüngeyi yorumlayalım. Öncelikle Güneş elipsin odaklarının birinde. Marsın Güneşe en yakın olduğu noktaya günberi, en uzak olduğu noktaya günötesi deniyor. Güneş ile Mars arasındaki uzaklık en az günberide (Rmin), en fazla da günötesinde (Rmax) oluyor. Bu iki uzaklığın ortalaması da:
R_{ort} = \frac{R_{min}+R_{max}}{2} = a
Keplerin iddiası sadece Marsın değil, tüm gezegenlerinin elips şeklinde yörüngelerde dolandığı. Diğer iki kanun da buradan geliyor.
Keplerin ikinci yasası Güneş ve gezegen arasındaki çizginin, gezegenin hareketi boyunca eşit zaman aralıklarında, eşit alanlar taradığını söyler. Bunu önce bir animasyonla gösterelim. Aşağıdaki animasyonda bir gezegen Güneşin etrafında dolanıyor. Hareketi esnasında gezegen ve Güneş arasındaki çizgi eşit sürelerde iz bırakıyor ve elipste bir alan tarıyor. Dikkatimizi çeken iki özellik var. İlki gezegen Güneşten uzaktayken, özellikle günötesindeyken, görece yavaş hareket ediyor, hızı düşük. Ama Güneşe yaklaştıkça, özellikle günberideyken, hızlı hareket ediyor. Bu bizi ikinci özelliğe götürüyor, siyah çizgilerin yoğunluğuna bakın, uzaktayken sıklar yakındayken seyrekler. Eğer hesaplarsak eşit sürede taranan alanların birbirine eşit olduğunu görüyoruz. Keplerin ikinci kanunun fiziksel nedeni de açısal momentumun korunumudur.
Kepler, gözlem verilerini kullanarak üçüncü kanununa ulaşmış. Buna göre gezegenlerin tümü için ortalama yarıçapın (Rort) küpünün (üçüncü kuvvetinin) periyodun karesine (ikinci kuvvetine) eşit olduğu sonucuna varmış.
\frac{R_{ort}^3}{T^2} = sabitBu kanunun fiziksel nedenini de Newtonun evrensel kütle çekim yasası ile açıklayabiliyoruz. Kütle çekim kuvvetinin çembersel harekete neden olan kuvvet olduğunu hatırlatsak, M1 Güneşin kütlesi, M2 gezegenin kütlesi olmak üzere:
G\frac{M_1 M_2}{R^2} = M_2 \omega^2 R\omega = \frac{2 \pi}{T}G\frac{M_1}{R^3} = (\frac{2 \pi}{T})^2Düzenlersek:
\frac{R^3}{T^2} = \frac{G M_1}{4\pi^2}
Newtonun genellemesi ile Kepler yasaları karşılıklı yerçekimlerinin etkisi altında hareket eden herhangi iki cisme uygulanabilir hale gelir. Örneğin, bu yasalar şu durumlarda da geçerlidir:
Kepler kanunlarının üçü de iki cisim için geçerlidir, bu cisimlerin birinin kütlesinin çok büyük diğerinin ilkine göre çok küçük olduğu kabul edilir. Ayrıca Pluto (ki cüce gezegen olarak kabul ediliyor) hariç gezegenlerin yörüngelerinin basıklığı (eksantrikliği) çok fazla değildir, odak noktaları genellikle birbirine oldukça yakındır.
Şekilde Plutonun Güneş etrafında dolanması gösterilmiştir. Pluto yörüngesinde K noktasından L noktasına t sürede, M noktasından N noktasına 3t sürede ulaşmıştır. Yarıçap vektörünün K-L arasında taradığı alan A1, M-N arasında taradığı alan A2 ise A1/A2 oranı kaçtır?
Keplerin ikinci kanunu bize gezegenlerin hareketlerinde eşit sürelerde eşit alanlar taradığını söylüyor. Öyleyse taranan alanın süreye oranı sabit olmalı (hatırlayın açısal momentumun korunumundan geliyor bu):
\frac{A_1}{t} = \frac{A_2}{3t}
Şekilde O noktasında bulunan bir yıldız gösteriliyor. Bu yıldızın etrafında dolanan gökcisimlerinin yörüngeleri 1,2,3,4 ile gösterilenlerden hangileri gibi olabilir?
Keplerin birinci kanunu yörüngelerin elips şeklinde olduğunu söylüyor.
Jüpiterin uydularından Io ve Europanın çembersel yörüngelerde hareket ettiğini kabul edelim. Europanın yörünge yarıçapı Ionunkinin 1,6 katı ise, Europanın periyodunun Ionun periyoduna oranı kaçtır?
Keplerin üçüncü kanununu kullanalım.
\frac{R_{Europa}^3}{T_{Europa}^2} =\frac{R_{Io}^3}{T_{Io}^2}
Düzenleyelim:
\frac{R_{Europa}^3}{R_{Io}^3} = \frac{T_{Io}^2}{T_{Europa}^2}
Kepler Kanunları’nı açıklar.