Çakışık Doğru Ne Demek

Denklemleri aşağıdaki gibi olan iki doğrunun birbirine göre durumları üç şekilde olabilir.

• Doğrular bir noktada kesişir.
  • Bunun özel bir durumu olarak, doğrular dik kesişir.
• Doğrular çakışıktır.
• Doğrular paraleldir.

Kesişen Doğrular

Eğimleri farklı iki doğru tek bir noktada kesişir. Buna göre eğimleri farklı iki doğrunun denklemlerinin ortak çözüm kümesi bir elemanlıdır ve bu çözüm iki doğrunun kesişim noktasının koordinatlarını verir.

Dik Kesişen Doğrular

Bir noktada kesişen doğruların özel bir durumu olarak, iki doğru aralarındaki açı 90° olacak şekilde (yani dik) kesişebilir. Birbirini dik kesen iki doğrunun eğimleri çarpımı \( -1 \) olur.

Tek noktada kesişen doğrular için geçerli olan yukarıdaki katsayı orantısı dik kesişen doğrular için de geçerlidir.

İki doğrunun dik kesişme koşulu:

\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

---

ÖRNEK:

\( d_1: 2x - 3y + 3 = 0 \)

\( m_1 = -\dfrac{2}{-3} = \dfrac{2}{3} \)

\( d_2: 3x + 2y - 4 = 0 \)

\( m_2 = -\dfrac{3}{2} \)

\( m_1 \cdot m_2 = \dfrac{2}{3} \cdot -\dfrac{3}{2} = -1 \)

Eğimlerin çarpımı \( -1 \) olduğu için iki doğru tek noktada ve dik kesişir.

---

İSPATI GÖSTER

Eğimleri \( m_1 \) ve \( m_2 \) olan iki doğru çizelim. İşlem kolaylığı açısından bu doğruların orijinden geçtiğini varsayalım. Doğruların kesişim noktaları koordinat düzleminde herhangi bir noktaya taşındığında doğruların eğimleri değişmeyeceği için çarpımları da aynı kalacaktır.

\( C(1, 0) \) noktasından \( x \) eksenine dik bir doğru çizelim. \( d_1 \) doğrusunun eğimi \( m_1 \) olduğu için bu doğrunun \( d_1 \) doğrusunu kestiği noktanın koordinatları \( A(1, m_1) \) olur.

\( m_1 = \dfrac{m_1}{1} \)

Benzer şekilde, \( d_2 \) doğrusunun eğimi \( m_2 \) olduğu için bu doğrunun \( d_2 \) doğrusunu kestiği noktanın koordinatları \( B(1, m_2) \) olur.

Dik \( \overset{\triangle}{OCA} \) üçgeninin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile hesaplayalım.

\( \abs{OA}^2 = 1^2 + m_1^2 \)

\( \abs{OA} = \sqrt{1^2 + m_1^2} \)

Aynı şekilde dik \( \overset{\triangle}{OCB} \) üçgeninin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile hesaplayalım.

\( \abs{OB}^2 = 1^2 + m_2^2 \)

\( \abs{OB} = \sqrt{1^2 + m_2^2} \)

\( \overset{\triangle}{OBA} \) üçgeni de dik üçgen olduğu için hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi ile hesaplayalım.

\( \abs{AB}^2 = \abs{OA}^2 + \abs{OB}^2 \)

\( \abs{m_1 - m_2}^2 = \sqrt{1^2 + m_1^2}^2 + \sqrt{1^2 + m_2^2}^2 \)

\( m_1^2 - 2m_1m_2 + m_2^2 = 1^2 + m_1^2 + 1^2 + m_2^2 \)

İki taraftaki ortak terimleri sadeleştirdiğimizde dik doğruların eğimlerinin çarpımını -1 olarak buluruz.

\( -2m_1m_2 = 2 \)

\( m_1m_2 = -1 \)

İspatta hata bildirin

Bir istisna olarak, yatay (\( x \) eksenine paralel) ve dikey (\( y \) eksenine paralel) iki doğru birbirini dik kesiyor olsa da, eğimleri sırasıyla 0 ve tanımsız olduğu için eğimlerinin çarpımı bu koşulu sağlamaz.

Çakışık Doğrular

Kapalı denklemlerindeki tüm katsayıların oranları birbirine eşit olan iki doğru çakışıktır. Çakışık iki doğrunun denklemlerinin ortak çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır ve doğrular üzerindeki tüm noktalardır.

Çakışık doğruların eğimleri eşittir (\( m_1 = m_2 \)), ancak eğimleri eşit iki doğru çakışık olmak zorunda değildir, aşağıda göreceğimiz üzere paralel de olabilir.

Paralel Doğrular

Kapalı denklemlerinin \( x \) ve \( y \) katsayılarının oranları birbirine eşit, sabit terimlerin oranı birbirinden farklı olan iki doğru birbirine paraleldir. Paralel iki doğru hiçbir noktada kesişmez ve bu doğruların denklemlerinin ortak çözüm kümesi boş kümedir.

Paralel doğruların eğimleri eşittir (\( m_1 = m_2 \)).

Eğimleri tanımsız olan, yani eğim açıları 90° olan dikey iki doğru bu koşulları sağlamasa da paraleldir ya da çakışıktır.

SORU 1:

\( A(1, 2) \) ve \( B(-2, 4) \) noktalarından geçen doğru \( C(-1, a) \) ve \( D(a + 2, 3) \) noktalarından geçen doğruya paralel ise \( a \) kaçtır?

Çözümü Göster

Paralel doğruların eğimleri eşittir.

\( A \) ve \( B \) noktalarından geçen doğrunun eğimine \( m_{AB} \), \( C \) ve \( D \) noktalarından geçen doğrunun eğimine \( m_{CD} \) diyelim.

\( m_{AB} = \dfrac{4 - 2}{-2 - 1} = -\dfrac{2}{3} \)

\( m_{CD} = \dfrac{3 - a}{a + 2 - (-1)} = \dfrac{3 - a}{a + 3} \)

İki doğrunun eğimi birbirine eşittir.

\( -\dfrac{2}{3} = \dfrac{3 - a}{a + 3} \)

\( -2a - 6 = 9 - 3a \)

\( a = 15 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 2:

\( (m + 1)x + (n - 3)y + 4 = 0 \) ve \( 3x + 2y - 1 = 0 \) doğruları çakışık ise \( m + n \) toplamı kaçtır?

Çözümü Göster

Doğrular çakışık ise tüm katsayılarının oranları eşit olmalıdır.

\( \dfrac{m + 1}{3} = \dfrac{n - 3}{2} = \dfrac{4}{-1} \)

\( m + 1 = -12 \Longrightarrow m = -13 \)

\( n - 3 = -8 \Longrightarrow n = -5 \)

Buna göre \( m + n = -13 + (-5) = -18 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 3:

Şekilde \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları verilmiştir.

\( d_1 \perp d_2 \) ise \( d_2 \) doğrusunun denklemi nedir?

Çözümü Göster

\( d_1 \) doğrusunun eğimini \( \widehat{OCB} \) açısının tanjant değeri üzerinden bulabiliriz.

\( m_1 = \tan(\widehat{OCB}) = \dfrac{\abs{OB}}{\abs{OC}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \)

Birbirini dik kesen doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.

\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

\( \dfrac{1}{2} \cdot m_2 = -1 \)

\( m_2 = -2 \)

\( B(0, 2) \) noktasından geçen ve eğimi \( m_2 = -2 \) olan doğrunun denklemini bulalım.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - 2 = -2(x - 0) \)

\( y = -2x + 2 \) bulunur.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

---

SORU 4:

\( A(-2, 6) \) ve \( B(8, 2) \) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta dikmesinin \( x \) eksenini kestiği noktanın apsisi nedir?

Çözümü Göster

\( A \) ve \( B \) noktalarının orta noktasına \( C(a, b) \) diyelim.

İki noktanın orta noktasının apsis ve ordinat değerleri noktaların apsis ve ordinat değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir.

\( a = \dfrac{-2 + 8}{2} = 3 \)

\( b = \dfrac{6 + 2}{2} = 4 \)

\( C(a, b) = C(3, 4) \)

\( [AB] \) doğru parçasının eğimine \( m_{AB} \) diyelim.

\( m_{AB} = \dfrac{2 - 6}{8 - (-2)} = -\dfrac{2}{5} \)

\( [AB] \) doğru parçası ve \( C \) noktasında çizilen orta dikme birbirine dik olur, dolayısıyla iki doğrunun eğimleri çarpımı \( -1 \) olur.

Çizilen orta dikmenin eğimine \( m_C \) diyelim.

\( m_{AB} \cdot m_C = -1 \)

\( m_C = \dfrac{5}{2} \)

\( C(3, 4) \) noktasından geçen ve eğimi \( \frac{5}{2} \) olan doğrunun denklemini yazalım.

\( y - 4 = \dfrac{5}{2}(x - 3) \)

Bu denklemin \( x \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( y = 0 \) verelim.

\( 0 - 4 = \dfrac{5}{2}(x - 3) \)

\( x - 3 = -\dfrac{8}{5} \)

\( x = \dfrac{7}{5} \)

Buna göre \( [AB] \) doğru parçasının orta dikmesi \( x \) eksenini \( \frac{7}{5} \) apsisli noktada keser.

Soru sorun   Soruda hata bildirin

İçindekiler:

1. Iki ortak noktası olan doğrular çakışık mıdır?
2. Bir doğrunun farklı iki noktası ve bu iki nokta arasında kalan kısmına ne denir?
3. Iki ucu sınırlandırılmış doğrunun belli bir kısmına ne denir?
4. Bir doğru üzerinde bulunan farklı iki nokta ile bu noktalar arasında bulunan noktalar kümesine ne ad verilir?
5. Noktanın boyutu ölçülebilir mi?
6. Nokta tek boyutlu mu?
7. Noktalar farklı büyüklükte olabilir mi?
8. Düzlemin eni boyu var mıdır?
9. Noktanın alanı ve hacmi var mı?
10. Nokta modeli ne demek?
11. Doğru boyutsuz mudur?
12. Boyut homojenliği ne demek?
13. Nokta hangi alanlarda kullanılır?
14. Noktalar doğrusal ne demek?

Iki ortak noktası olan doğrular çakışık mıdır?

Başlangıç ve bitiş noktaları üst üste olduğundan dolayı iki noktada çakışırlar. Aykırı doğrular, birbirleriyle hiçbir zaman temas etmeyecek şekilde konumlanmış doğrulardır. Bu bilgiler ışığında, bizden iki noktada kesişen doğruları söylememiz istenmiştir. O halde cevabımız; C şıkkı, çakışık olacaktır.

Bir doğrunun farklı iki noktası ve bu iki nokta arasında kalan kısmına ne denir?

Doğrulanmış Cevap. Bir doğrunun farklı iki noktası ve bu iki nokta arasında kalan kısmına "doğru parçası" denir.

Iki ucu sınırlandırılmış doğrunun belli bir kısmına ne denir?

Doğrulanmış Cevap. ☆İki ucu sınırli olan yai iki uç arasinda bulunan uzantıya doğru parcası denilmektedir. Ya da dogru şeklonde de söylememiz aynı anlamı ifade etmektedir.

Bir doğru üzerinde bulunan farklı iki nokta ile bu noktalar arasında bulunan noktalar kümesine ne ad verilir?

Doğrulanmış Cevap. Doğru parçası: İki nokta arasında kalan noktalar kümesidir.

Noktanın boyutu ölçülebilir mi?

Nokta, geometride boyutsuz olarak ifade edilen; eni, boyu ve derinliği olmayan bir terimdir. Bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçer. ... İki noktadan yalnızca bir doğru geçer. Nokta, eni, boyu ve yüksekliği bakımından ölçülebilir bir yanı olmadığı için boyutsuz olarak tanımlanan bir uzaydır.

Nokta tek boyutlu mu?

Tek boyutludur , sadece uzunluğu vardır , genişliği yoktur .

Noktalar farklı büyüklükte olabilir mi?

Noktalar farklı büyüklükteki yuvarlaklarla ifade edilir. Yağmur damlaları, küçük toz parçaları da nokta olarak görünürler. Çok uzaktaki bir cismi sadece nokta şeklinde görebilirsiniz.

Düzlemin eni boyu var mıdır?

Cevap Eni ve boyu olan, ama kalınlığı/genişliği olmayan (iki boyutlu ), hayali, sonsuza kadar giden bölgeye düzlem denir. ... Gerçek Dünyada düzlem yoktur. Tüm düz olarak gördüğümüz yüzeyler birer düzlem parçasıdır. Sınıfızın tabanı , sıranızın yüzeyi , tahtanızın yüzü birer düzlem parçasıdır.

Noktanın alanı ve hacmi var mı?

Noktanın uzunluğu, alanı, eni veya hacmi bulunmamaktadır. Bir nokta üzerinden sonsuz miktarda doğru geçebilmektedir. Buna karşın iki nokta üzerinden yalnızca bir doğru geçebilmektedir. Nokta, en, boy veya yükseklik bakımından belirli bir boyut ortaya koymadığı için boyutsuz olarak tanımlanmaktadır.

Nokta modeli ne demek?

Doğrulanmış Cevap > Nokta modeli ile nokta ile ifade edilebilecek yerler öncelikle işaretlenir ve bu yerlere uygun modeller geliştirilerek gösterilir. ... Çevremizde birçok nokta modeli bulunmaktadır: Otobüs durağı, sokağın köşesindeki bir apartman, yol kenarındaki ağaçlar vb.

Doğru boyutsuz mudur?

1 boyutlu şekillerin sadece uzunluğu vardır.Doğru , bir boyutludur , doğrunun sadece uzunluğu vardır. Doğru , Eğri ,üçgen , kare , çember , dikdörtgen , paralelkenar , yamuk , dörtgenler , beşgen , altıgen , sekizgen vs bir boyutludur.

Boyut homojenliği ne demek?

Boyut analizinin esasını boyut homojenliği ilkesi oluşturur. Fiziksel olayları ifade eden bütün matematik denklemlerinin sağlaması gereken bir koşul bu denklemlerdeki bütün terimlerin boyutlarının aynı olması gerektiğidir. Buna boyut homojenliği denir.

Nokta hangi alanlarda kullanılır?

Nokta İşareti ( . )ve Kullanıldığı Yerler

• Hüküm, yargı bildiren, tamamlanmış cümlelerin sonuna konur:
• Bazı kısaltmaların sonuna konur:
• Uyarı: Nokta kullanılmayan kısaltmalar:
• 3. Sayılardan sonra sıra belirtmek için “-ncİ” ekinin yerine kullanılır:
• Üçlü gruplara ayrılan sayılar arasına konur:
• Tarihlerde gün, ay ve yıl rakamlarının arasına konur.

Noktalar doğrusal ne demek?

Aynı doğrunun üzerinde bulunan noktalara doğrusal (lineer) noktalar denir. Bir doğrunun üzerinde eşit aralıklarla işaretlenen noktaların apsisleri ve ordinatları arasındaki artma veya azalma daima aynıdır.