Analitik Düzlemde Doğru Denklemleri

analitik düzlemde doğru denklemleri

Doğrunun Eğimi ve Doğru Denklemleri 11. Sınıf

Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi: A(x1, y1) noktasından geçen ve eğimi k olan bir doğrunun denklemi (y-y1) = k.(x-x1) bağıntısı ile bulunur. Doğru denklemleri iki türlü ifade edilirler, birincisi y yalnız bırakılarak y = kx + n ya da tüm bilinmeyenler sol tarafta toplanarak ax + by + c = 0 dır. Bu iki doğru denklemi formatından birini tercih ederek doğru denklemini yazmanız gerekir. Genellikle y nin katsayısının bir olduğu durumlarda y = kx + n formatı tercih edilir.

İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi: A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen bir d doğrusunun denklemi (y-y1)/(y1-y2) = (x-x1)/(x1-x2) bağıntısı içler dışlar çarpımı yapılarak bulunur. Ya da iki nokta yardımıyla önce doğrunun eğimi bulunarak eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi yardımıyla denklem yazılabilir.

Eksenleri Kestiği Noktalar Bilinen Doğru Denklemi: x ve y eksenlerini sırasıyla p ve r noktalarında kesen bir doğrunun denklemi x / p + y / r = 1 bağıntısı yardımıyla bulunur.

a) Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi

$A({ X }_{ 1 },{ Y }_{ 1 })$ noktasından geçen ve eğimi m olan doğru denklemi $m=\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ x-{ x }_{ 1 } }$

A(x₁, y₁) noktası ve P(x, y) noktası kullanılarak yazılan eğim değeri verilen eğime eşitlenir.

$m\left( x-{ x }_{ 1 } \right) =\left( y-{ y }_{ 1 } \right)$

Örnek:

A(2,-3) noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğrunun denklemini bulunuz.

Çözüm:

$m\left( x-{ x }_{ 1 } \right) =\left( y-{ y }_{ 1 } \right)$

$2\left( x-{ 2 } \right) =y-(-3)\quad \rightarrow \quad y+3=2x-4\quad \rightarrow \quad y=2x-7\quad yada\quad 0=2x-y-7\quad yada\quad y-2x+7=0$ olarak gösterilebilir.

Örnek:

Analitik düzlemde ,eğimi $\frac { 1 }{ 2 }$ ve y eksenini kestiği noktanın ordinatı 3 olan doğrunun denklemini bulunuz.

Çözüm:

y eksenini kestiği noktada x= 0 dır yani (0,3) noktasıdır.

$y-3 = \frac { 1 }{ 2 } \left( x-0 \right) \quad \rightarrow \quad y=\frac { 1 }{ 2 } x+3$ doğrunun denklemidir.

Örnek:

A(3,2), B(-4,-3) ve C(4,1) olmak üzere, ABC üçgeninin [BC] kenarına ait kenarortayı üzerinde bulunduran doğrunun denklemini bulunuz.

Çözüm:

D noktası orta noktadır.

D(0,-1)

$m=\frac { 2-(-1) }{ 3 } =1$

A(3,2) veya D(0,-1) noktalarından herhangi biri alınıp denklem kurulur.

$y=1\times \left( x-0 \right) \quad \rightarrow y=x+1$

b) Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğruların Denklemi

*x eksenini a noktasında ve y eksenini de b noktasında kesen doğrunun denklemi

$\frac { x }{ a } =\frac { y }{ b }$

Doğru (a, 0) ve (0, b) noktalarından geçtiğine göre, doğrunun denklemi iki noktadan geçen doğru denklemi özelliği kullanılarak da yazılabilir.

Örnek:

Çözüm:

$\frac { x }{ -4 } +\frac { y }{ 8 } =1\quad \rightarrow \quad -2x+y=8\quad \rightarrow \quad y-2x-8=0$

c) İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi

$\frac { 1 }{ mAB } =\frac { 1 }{ mBC } \quad$ eğimlerin tersleri işaretlenerek denklem kurulur.

Örnek:

A(-3,4),B(2,1) noktalarından geçen doğru denklemini bulunuz.

Çözüm:

Oklar yönünde terimleri çıkararak eşitleyelim.

$\frac { -3-2 }{ 4-1 } =\frac { x-2 }{ y-1 } \quad \rightarrow \quad -5y+5=3x-6\quad \rightarrow \quad 3x+5y-11=0\quad$

d) Orijinden Geçen Doğrunun Denklemi

Orijinden yani O(0,0) noktasından geçen doğrularda x = 0 için y = 0 olacağından

y = mx + n denklemindeki n terimi sıfır olur.

O halde orijinden geçen doğrunun eğimi m ise denklemi

$y=mx$
Doğru denklemi ax + by = 0 olur.Doğru denklemi ax + by + c = 0 şeklinde ise ve orijinden geçiyorsa c = 0 dır.

Doğru denklemi ax + by = 0 olur.

Örnek:

A(-1,3) noktasından ve orijinden geçen doğrunun denklemi nedir?

Çözüm:

$y=mx$

$3=m(-1)\quad \rightarrow \quad m=-3$ olur.

y=mx te m yerine -3 yazılırsa

y=-3x denklemidir.

Örnek:

Eğimi 2 olan ve orijinden geçen doğrunun denklemi nedir?

Çözüm:

y=mx

y=2x olur.

*Yukardaki şekilde görüldüğü gibi dik koordinat sisteminde apsisleri ordinatlarına eşit olan noktaların oluşturduğu doğruya y=x doğrusu denir.

*Yukardaki şekilde görüldüğü gibi dik koordinat sisteminde apsisleri ile ordinatları birbirinin ters işaretlisi olan noktaların oluşturduğu doğruya y=-x doğrusu denir.

* y = x ve y = –x doğruları aynı zamanda koordinat eksenlerinin açıortaylarıdır. Koordinat eksenleri ile yaptıkları açılar 45° dir.

e) Eksenlere Paralel Doğruların Denklemi

I) Eksen doğruları

Analitik düzlemde x (apsis) ekseninde bütün noktaların y si (ordinatı) sıfır olduğundan x ekseni aynı zamanda y = 0 doğrusudur.y (ordinat) ekseni de x = 0 doğrusudur.