Çarpanlar Ve Katlari
8. Sınıf &#;arpanlar Ve Katlar: &#;arpanlar Ve Katlar Konu Anlatımı, &#;rnek Alıştırmalar Ve Etkinlikler!
ÇARPANLAR VE KATLARI KONU ANLATIMI
Bir Doğal Sayının Çarpanları/Bölenleri
Bir doğal sayı en az iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Doğal sayıyı oluşturan diğer doğal sayıların her birine o doğal sayının çarpanı denir.
NOT; Bir doğal sayının çarpanı aynı zamanda o doğal sayının bölenidir.
Bunu bir örnekle gösterelim; 48 sayısının çarpanlarını bulalım.
48= 1x48 48'in çarpanları; 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48'dir.
48= 2x24
48= 3x16
48= 4x12
48= 6x8
48'in bölenlerini bulalım;
= 48 48'in bölenleri de; 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 çıkıyor. Örnekte de gördüğünüz gibi bir doğal sayının
= 24 çarpanları ve bölenleri aynıdır.
= 16
= 12
= 8
= 6
= 4
= 3
= 2
= 1
NOT; Her tam sayı kendisinin çarpanıdır. 1 bütün tam sayıların çarpanıdır.
Asal Sayılar
Kendisi ve 1 dışında başka sayılara bölünemeyen sayılara asal sayılar denir.
NOT; 1 asal sayı değildir. En küçük asal sayı 2'dir. 2 dışında asal çift sayı yoktur.
Bir sayının asal sayı olup olmadığını anlamak için çarpanlarını bulmanız yeterlidir. Örneğin 26 sayısının asal sayı olup olmadığını bulalım.
26= 1x26
26= 2x13 Gördüğünüz gibi 26'nın 1 ve kendisinden başka çarpanı bulunuyor. O halde 26 asal sayı değildir.
Yüzlük tablo içindeki asal sayılar; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97'dir.
Asal Çarpanlar
Bir doğal sayının çarpanları arasında bulunan asal sayılara asal çarpanlar denilir.
48'in çarpanları olan ; 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 sayılarının içindeki 2, 3 sayıları asal çarpandır.
Asal çarpanları en kolay şekilde bulabilmek için doğal sayıyı tam olarak bölünebilen en küçük asal sayıdan başlayarak bölebilirsiniz. Bu yönteme asal çarpanlara ayırma denir. Asal çarpanlara ayırmada iki yöntem kullanılıyor.
1- Çarpan Ağacı Yöntemi
Bu yöntemde sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazıyorsunuz. Bulunan sayıları asal sayı olana kadar işleme devam ediyorsunuz.
48 48= 2x2x2x2x3
2 x 24 48= 2⁴x3¹ asal sayıların üslü gösterimi halidir.
2 x 12
2 x 6
2 x 3
3 x 1
2- Bölen Listesi (Asal Çarpan Algoritması)
Bu yöntemde doğal sayının yanına bir dikey çizgi çiziyorsunuz. Çizginin sağına en küçük asal sayıdan başlayarak doğal sayıyı bölmeye başlıyorsunuz. Doğal sayı 1'e düşene kadar işleme devam ediyorsunuz. Çizginin sağında oluşan sayılar doğal sayının asal çarpanlarıdır.
48 2 48'in asal çarpanları 2 ve 3 olarak ortaya çıkıyor.
24 2
12 2
6 2
3 3
1
Örnek Alıştırmalar, Etkinlikler
1- Alanı 24 cm² olan bir dikdörtgenin çevresi kaç cm olabilir?
Dikdörtgenin alanını bulmak için uzun ve kısa kenarlarını çarpıyorsunuz. O zaman 24'ün çarpanlarını/bölenlerini bularak, işlemi çözebilirsiniz.
24= 1x24 Çarpanlardan yola çıkarak alanı 24 cm² olan 4 dikdörtgen çizebilirsiniz.
24= 2x12
24= 3x8
24= 4x6
2- 28'in kaç farklı pozitif çarpanı vardır?
28'in çarpanlarını bulabilmek için pozitif sayıları birbirleriyle çarparak buluyorsunuz.
1x28=28 28'in çarpanları; 1, 2, 4, 7, 14, 28
2x14=28 28'in 5 farklı pozitif çarpanı vardır.
4x7 =28
3- İki basamaklı en küçük asal sayı ile iki basamaklı en büyük asal sayının toplamı kaçtır?
Asal sayıların sadece kendileri ve 1 ile bölünebildiğini unutmayın.
İki basamaklı en küçük asal sayı 11,
İki basamaklı en büyük asal sayı 97'dir. 11 + 97= 'dir.
4-) 1, 2, 3, 4, 6, A, B, C, D bir sayının pozitif çarpanları olarak küçükten büyüğe sıralanmışlardır. Buna göre D kaçtır?
Çarpanlar küçükten büyüğe doğru sıralandıklarında ilk çarpanla son çarpan ortadaki iki çarpanın veya çarpanın kendisiyle çarpımına eşittir.
1, 2, 3, 4, 6, A, B, C, D
1xD =36 D= 36'dır.
2xC =36
3XB =36
4xA =36
6x6 =36
6. Sınıf Matematik &#;arpanlar Ve Katlar konu anlatımı
30'un çarpanları: 1, 2, 3, 5, 10, 15
Bu çarpanlar aynı zamanda 30 sayısının kalansız bölen sayılardır. Yani bu sayılar 30'a tam olarak bölünür ve herhangi bir kalan olmaz. Diğer yandan birbirleri ile çarpma işlemi gerçekleştirmek suretiyle 30 sayısını verirler.
Bir Doğal Sayının Katları
Eğer bir doğal sayı kalansız diğer doğal sayılara bölünüyorsa o sayılar katları olarak bilinmektedir. Mesela 3 sayısını ele aldığımız zaman bu sayının katları, ‘3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30’ şeklinde devam eder. Bu sayılar 3’ün katlarıdır ve aynı zamanda 3’e bölündük yerinde herhangi bir kalan vermezler.
Örnek: 15 sayısını ele alalım ve 50 ile arasındaki katlarını inceleyelim.
Burada 15 sayısının 50 ile arasındaki katları aynı zamanda kalansız 15’e bölünen sayılar olarak da ifade edilir. Şimdi bunların neler olduğunu öğrenelim.
15 x 4 = 60
15 x 5 = 75
15 x 6 = 90
Gördüğümüz gibi yukarıda yazdığımız 60 ve 75 ile 90 sayıları, 15'e tam olarak bölünür ve herhangi bir kalan olmaz. Diğer yandan bu sayılar 50 ile arasında 15'in katları olarak da ifade edilir.
Örnek: Şimdi yine 15 sayısına ele alalım ve bu sayının çarpanlarını, yani kazansız bölenlerini inceleyelim.
1 x 15 = 15
3 x 5 = 15
Bu defa yukarıda 15 sayısının çarpanlarını inceledik. Yani 1 ve 3 ile beraber 5 sayısı 15'in çarpanlarıdır ve 15 bu sayıları bölündüğünde herhangi bir kalan olmaz.
Not: Bir sayının çarpanları, yani kalansız bölenleri, aynı zamanda o sayının katlarına de aynı şekilde kalansız bir şekilde bölünmektedir. Mesela 15 sayısının çarpanları 1 ve 3 ile 5 sayısı eder. Aynı zamanda bu sayılar 30, 45 ve 60 gibi sayılara da tam bölünürler. Ve yine gördüğümüz gibi 30,45 ve 60 sayıları 15'in katlarıdır.
Bu şekilde çarpanları ve katları ile ilgili daha birçok sayı yazabiliriz. Önemli olan burada kalansız bölenleri bulma ve yazmaktır. Onlar tek basamaklı ya da iki basamaklı ve 3 basamaklı sayılar olabilir.
Not: Herhangi bir doğal sayının mutlaka katları bulunur. Aynı zamanda çarpanları bulunur. Mesela 13 sayısı 1 ile çarp alabilir ve 1’in katlarıdır. Aynı zamanda 26 ve 39 gibi sayıların katları Iğdır.
Yukarıdaki örnekleri incelemek suretiyle çarpanlar ve katlar konusunu defterinize yazarak çalışabilirsiniz. Böylece konuyu çok daha iyi bir şekilde anlayarak kendiniz de başka örnekler yapabilirsiniz.