Artan Azalan Fonksiyon Örnekleri

artan azalan fonksiyon örnekleri

Bu bölümde Artan ve Azalan Fonksiyonlar ile ilgili 15 adet soru bulunmaktadır. Sorularınızı çözdükten sonra düşündüğünüz şıkka tıklayarak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol edebilirsiniz. Eğer soruları çözmekte zorlanırsanız; kolay anlaşılır detaylı çözümlere “Çözüm için Tıklayınız” seçeneği ile ulaşabilirsiniz. İyi Çalışmalar…

Eğer sorular ya da çözümler konusunda bir problem görür veyahut da bir tavsiye de bulunmak isterseniz; sayfanın en altında yer alan “Yorum Yap” seçeneği ile bunları anlık olarak iletebilirsiniz.

Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)

ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR www.matematikkolay.net 1) Yukarıda şekilde, [ 7, 7] aralığında tanımlanmış f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, ( 7, 3) aralığında fonksiyon azalandır. ( 3, 2) aralığında fonksiyon sabittir. [5, 7] ar I. II. III. alığında fonksiyon artandır. Ar tan olduğu en geniş aralık (3, 7) aralığıdır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I ve II B) II ve III C) II ve IV D) I, II ve III E) I, II ve I IV. V ÇÖZÜM: 1 2 1 2 1 2 1 2 f(x), aralığında tanımlı bir fonksiyon olsun. x ve x aralığında birer nokta olmak üzere, Her x x için f(x ) f(x ) sağlanıyorsa aralığında Her x x için f(x Not : [a, b] (a, b) [a, b] f(x) artandır. 1 2 1 2 1 2 ) f(x ) sağlanıyorsa aralığında Her x x için f(x ) f(x ) sağlanıyorsa aralığında Sırayla öncülleri inceleyelim. I. ( 7, 3) aralığında x değerleri arttıkça [a, b] f(x) azalandır. [a, b] f(x) sabittir. , y değerlerinin azaldığını görüyoruz. Yani, sağa gittikçe fonksiyon azalmaktadır. Bu nedenle azalandır. I. öncül doğru. II. ( 3, 2) aralığında x değerleri arttıkça, y değerlerinin sabit kaldığını gör üyoruz. Bu nedenle sabittir. II. öncül doğru. III. (5, 7) aralığında x değerleri arttıkça, y değerlerinin arttığını görüyoruz. Yani, sağa gittikçe fonksiyon artmaktadır. Bu nedenle artandır. II I. öncül doğru. Sınır değerlerde süreklilik bozulmuyorsa bir fonksiyonun azalan, artan olduğu en geniş aralıklar belirtilirken sınır değerler de dahil edilir. IV. f(x) fonksiyonu (3 Not : , 7) aralığında artandır, doğru. Ancak; En geniş aralık belirtilirken sınır değerler de dahil edilmeliydi. [3, 7] yazılmalıydı . Bu sebeple IV. öncül hatalıdır. Cevap : D www.matematikkolay.net 2) Yukarıda şekilde, [ 3, 3] aralığında tanımlanmış f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, [ 2, 0] aralığında fonksiyon sabittir. [ 3, 1] aralığında fonksiyon artandır. [ 1, I. II. III. 3] aralığında fonksiyon azalandır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I ve II B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) Yalnız I ÇÖZÜM: I. x 2 den 1’e doğru giderken fonksiyon ar tan, x 1 den 0’a doğru giderken ise fonksiyon azalandır. Bu aralıkta sabit olduğunu söyleyemeyiz. II. x 3 ten x 1 e doğru fonksiyon sürekli artmıştır. Bu sep eple ar tandır. II. öncül doğru Aradaki zıplama, ar tanlığını bozmamaktadır. III. [ 1, 3] aralığında fonksiyon sürekli azalıyor, gözükebilir ama x 2 den önce daha alçak bir yerde iken x 2 den sonra daha y üksek bir yerden devam etmiştir. Dolayısıyla burada azalanlık bozulmuştur. [ 1, 3] aralığında azalandır, diyemeyiz. III. öncül yanlış. [ 1, 2] ve (2, 3] aralıklarında azalandır. Cevap: B 3) 3 2 f : R R olmak üzere, f(x) 2x 15x 24x 5 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) ( , 1) B) ( , 4] C) [1, 4] D) [2, 5] E) [4, ) ÇÖZÜM: f(x) aralığında tanımlı bir fonksiyon olsun. Her x (a, b) için f'(x) 0 ise aralığında f'(x) 0 ise aralığında f'(x) 0 ise aralığında Not : [a, b] [a, b] f(x) artandır. [a, b] f(x) azalandır. [a, b] f(x) 2 2 2 ( 1)( 4) Buna göre, f(x) in türevini alalım. f'(x)=6x 30x 24 tür. İşaret tablosu oluşturalım. 6x 30x 24 0 x 5x 4 0 (x 1)(x 4) 0 x 1 ve x 4 te işaret değişecek. Başkatsayısı pozitif sağdan i sabittir. le başlayacağız. Tabloyu oluşturalım. f(x) in türevi (1, 4) aralığında negatif olduğu için f(x) fonksiyonu [1, 4] aralığında azalandır, diyebiliriz. Cevap: C Eğer merak ederseniz, fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir: www.matematikkolay.net 4) 4 2 Reel sayılarda tanımlı f(x) x 18x fonksiyonunun ar tan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) ( , 3] [3, ) B) [ 3, 3] C) [0, ) D) ( , 0) (0, ) E) [ 3, 0] [3, ) ÇÖZÜM: 3 3 2 f'(x)=4x 36x tir. İşaret tablosu oluşturalım. 4x 36x 0 4x(x 9) 0 4x(x 3)(x 3) 0 x 3, 0 ve 3 te işaret değişecek. Başkatsayısı pozitif sağdan ile başlayacağız. Tabloyu oluşturalım. f(x) in türevi ( 3, 0) ve (3, ) aralığında pozitif olduğu için f(x) fonksiyonu [ 3, 0] ve [3, ) aralığında ar tandır, diyebiliriz. Cevap: E Eğer merak ederseniz, fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir: 5) 2 3 2 I. f(x) 3x 2 II. g(x) x 6x 9 III. h(x) x 3x 3x 1 Yukarıdaki fonksiyonlardan hangileri daima artandır? A) I ve II B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) Yalnız I ÇÖZÜM: f'(x) 3 tür. Her zaman pozitiftir. Bu sebeple daima ar tan olacaktır. I. g'(x) 2x 6 dır. x 3 için negatif olur. Bu sebeple daima artan olamaz. II. www.matematikkolay.net 2 2 2 h'(x) 3x 6x 3 3(x 2x 1) 3(x 1) dir. Tam kare bir ifade olduğu için negatif olamaz. x 1 dışında pozitiftir. Tek bir noktada türevin 0 olması, ar tanlığını bozmayaca III. ktır*. Bu sebeple daima ar tandır, diyebiliriz. *: a 1 b olsun. h(a) h(1) h(b) yi her zaman sağlar. Bu sebeple daima ar tan diyebiliriz. Ancak, türev bir aralıkta 0 olsaydı (Yani sonsuz sayıda noktada 0 ols aydı) bunu diyemezdik. Mesela (1, 2) aralığında 0 olsaydı bunu diyemezdik. Cevap: C 6) 4 3 x x 2 Reel sayılarda tanımlı f(x) 4x 12x 30 4 3 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağı- dakilerden hangisidir? A) ( , 2] B) [ 3, ] C) [2, ) D) ( , 0) (2, ) E) [ , 3] [2, ) ÇÖZÜM: 3 2 3 2 12x 4x 3 2 2 4.Mar 2 f'(x) x x 8x 12 dir. Çarpanlarına ayırıp, kök bulmaya çalışalım. x x 8x 12 x x 12x 4x 12 x(x x 12) 4(x 3) x(x 4)(x 3) 4(x 3) (x 3) x.(x 4) 4 (x 3) x 4x 4 (x 3) (x 2 2 2 ) (x 3)(x 2) dir. İşaret tablosu oluşturalım. x 3 te işaret değişecek x 2 de işaret değişmeyecek (Çift katlı kök) Başkatsayısı negatif sağdan ile başlayacağız. Tabloyu oluşturalım. f(x) in türevi, x 2 hariç ( 3, ) aralığında negatiftir. Tek bir noktada türevin 0 olması, azalanlığı etkilemeyecektir. Bu sebeple f(x) fonksiyonu [ 3, ) aralığında azalandır, diyebiliriz. Cevap: B Eğer merak ederseniz, fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir : 7) www.matematikkolay.net 3 2 a bir tam sayı olmak üzere, f(x) x ax 27x 12 fonksiyonunun daima artan olabilmesi için a’nın alabileceği değerler kaç tanedir? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 ÇÖZÜM: 2 Daima ar tan olabilmesi için, türevi sürekli pozitif olmalıdır. (Noktalar sınırlı sayıda ise türev ara nok – talarda 0 da olabilir.) f'(x) 3x 2ax 27 dir. Bu ifadenin hiçbir şekilde negatif olmaması lazım. 2 2 2 Başkatsayısı pozitif. O halde, bu ifadenin iki farklı kökü olmamalıdır. Yani 0 olmalıdır. 4a 4.3.27 0 a 81 0 a 81 9 a 9 dur. O halde, a 9, 8,…,7,8,9 tam sayı değerlerini alabilir. Terim Sayısı  9 ( 9) 1 19 tanedir. Cevap : D a nın çeşitli değerleri için, aşağıda bir kaç örnek grafik çizilmiştir. Merak ediyorsanız, inceleyebilirsiniz. 8) a bir reel sayı olmak üzere, tanımlı olduğu aralıkta ax 1 f(x) fonksiyonunun daima azalan olabilme- 9x a si için a’nın alabileceği değer aralığı hangi şıkta doğru gösterilmiştir? A) ( 3, 3) B) [ 3, 3] C) R ( 3, 3) D) R [ 3, 3] E) R {3} ÇÖZÜM: www.matematikkolay.net 2 Daima azalan olabilmesi için, türevi sürekli negatif olmalıdır. (Noktalar sınırlı sayıda ise türev ara nok – talarda 0 da olabilir.) a.(9x a) (ax 1).9 f'(x) (9x a) 9ax 2 a 9ax 2 2 2 2 2 Payda negatif olamaz. 0 da olamaz (Tanımsız olur). O halde, daima pozitiftir. 2 9 (9x a) a 9 (9x a) a 9 0 olmalıdır. (9x a) Pay kısmı ile ilgilenelim. a 9 0 olmalıdır. 3 a 3 olmalıdır. Ancak 2 , a 3 ya da 3 olursa türev 0 oluyor. 0 f'(x) 0 x yerine istedimiz değeri (9x a) yazabiliriz. Yani sonsuz sayıda x için, türev 0 a eşit oluyor. Bu durum, fonksiyonunun azalanlığını bozar (sonlu sayıda o lmalıydı.) Demek ki a’nın sınır değerlerini alamayacağız. Buna göre, a nın değer aralığı ( 3, 3) tür. Cevap : A Başka bir bakış açısı ile, a neden 3 ya da 3 olamaz? 3x 1 3x 1 a 3 olursa f(x) 9x 3 3 (3x 1) 1 olur. 3 3x 1 3x 1 a 3 olursa f(x) 9x 3 3 ( 3x 1) 1 olur. 3 Yani, sabit fonksiyon olur. Azalanlık, artanlık durumu ortadan kalkar. a nın çeşitli değerleri için, aşağıda bir kaç örnek grafik çizilmiştir. Merak ediyorsanız, inceleyebilir – siniz. 9) 2 f : R R olmak üzere, f(x) fonksiyonu daima azalan bir fonksiyon olduğuna göre, 1 f(x) f(x) f(x) x 1 f f (x) x ifadelerinden kaç tan I. II. III. IV. V. esi yine aynı aralıkta azalandır? (Not : f'(x) 0 dır.) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÇÖZÜM: Pozitif reel sayılarda tanımlı ise x her zaman dır. Görüntü kümesi R ise f(x) dır. f(x) azalan bir fonksiyon ise f'(x) yorumunda bulunabiliriz. Şimdi ifadelerin türevlerine bakalım. 1 I. f(x) 1 2 2 2 2 f'(x) ‘ f(x) f(x) .f'(x) dır. f (x) Artan fonksiyon f(x) f'(x).x f(x).1 II. ‘ dir. Azalandır. x x f'(x) III. f(x) ‘ dir. Azalandır. 2 f(x) 1 1 IV. f ‘ f’ x x 2 1 dır. Artandır. x V. f (x) ‘ 2f(x).f'(x) dir. Azalandır. Cevap: C 10) www.matematikkolay.net Yukarıdaki şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş – tir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) f'( 3) 0 B) f'(0) 0 C) f'(6) 0 D) f'( 2) f'(2) E) f'(3) 0 ÇÖZÜM: Azalan yerlerde f'(x) 0 Ar tan yerlerde ise f'(x) 0 dır. Teğetlerin x eksenine paralel olduğu yerlerde ise f'(x) 0 dır. A) x 3 noktasındaki teğet, x eksenine paraleldir. Bu nedenle f'( 3) 0 dır, doğru. B) x 0 noktasında fonksiyon azalmaktadır. f'(0) 0 dır, doğru. C) x 6 noktasında fonksiyon artmaktadır. f'(6) 0 dır, doğru. D) x 2 noktasında fonksiyon artmaktadır. f'( 2) 0 dır. x 2 noktasındaki teğet, x eksenine paraleldir. Bu nedenle f'(2) 0 dır. O halde, f'( 2) f'(0) olmalıydı. D şıkkı yanlış. E) x 3 noktasında fonksiyon azalmaktadır. f'(3) 0 d ır, doğru. Cevap : D

Sayfalar: 12

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Artan Fonksiyon

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri de sürekli artıyorsa ya da sabit kalıyorsa (yani azalmıyorsa) fonksiyon bu aralıkta artan ya da azalmayan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta artan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta artabilir ya da sabit kalabilir, ama azalamaz.

\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere, her \( x_1, x_2 \in (a, b) \) için,

\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \le f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında artan (azalmayan) bir fonksiyondur.

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri de sürekli artıyorsa fonksiyon bu aralıkta kesin artan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta kesin artan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta azalamaz ya da sabit kalamaz, sadece artabilir.

\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere, her \( x_1, x_2 \in (a, b) \) için,

\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \lt f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında kesin artan bir fonksiyondur.

Azalan Fonksiyon

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri sürekli azalıyorsa ya da sabit kalıyorsa (yani artmıyorsa) fonksiyon bu aralıkta azalan ya da artmayan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta azalan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta azalabilir ya da sabit kalabilir, ama artamaz.

\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere, her \( x_1, x_2 \in (a, b) \) için,

\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \ge f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında azalan (artmayan) bir fonksiyondur.

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri sürekli azalıyorsa fonksiyon bu aralıkta kesin azalan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta kesin azalan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta artamaz ya da sabit kalamaz, sadece azalabilir.

\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere, her \( x_1, x_2 \in (a, b) \) için,

\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \gt f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında kesin azalan bir fonksiyondur.

Yukarıdaki koşullar sağlandığı sürece bir fonksiyonun bir noktada sürekli ya da türevli olmaması artan ya da azalan olmasına engel değildir. Örneğin aşağıdaki fonksiyon \( x = c \) noktasında süreksiz, \( x = d \) noktasında türevsiz olsa da \( (a, b) \) aralığında artandır.

Artan/azalan olma, süreklilik ve türevlilik

Aşağıda grafiği verilen \( f(x) = x^3 \) fonksiyonu her ne kadar \( x = 0 \) noktasında sabit gözükse de (bu noktadaki teğetinin eğimi sıfır olsa da) tüm tanım aralığında kesin artan bir fonksiyondur. Bunun sebebi (aşağıda ispatını verdiğimiz üzere) fonksiyonun hiçbir iki noktasında aynı değere sahip olmamasıdır.

İSPATI GÖSTER

Fonksiyon grafiği üzerinde apsis değerleri \( a \) ve \( b \) olan ve \( a \gt b \) koşulunu sağlayan iki nokta seçelim.

Her durumda \( a^3 - b^3 \gt 0 \) olduğunu gösterebilirsek bu fonksiyonun tüm tanım aralığında kesin artan olduğunu göstermiş oluruz.

Küp farkı özdeşliğini yazalım.

\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

\( a \gt b \) olduğu için her durumda \( a - b \gt 0 \) olur.

İkinci çarpanı aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( a^2 + ab + b^2 = \dfrac{1}{2}((a + b)^2 + a^2 + b^2) \)

Eşitliğin sağ tarafı üç kare ifadesinin toplamından oluştuğu için her zaman pozitif olur.

Buna göre \( a^3 - b^3 \) ifadesi iki pozitif sayının çarpımı şeklinde yazılabilir, dolayısıyla her zaman pozitiftir.

\( a^3 - b^3 = \underbrace{(a - b)}_{(+)}\underbrace{(a^2 + ab + b^2)}_{(+)} \)

\( a^3 - b^3 \gt 0 \)

İspatta hata bildirin

Monoton Fonksiyon

Yukarıda verdiğimiz terimler bir fonksiyonun tüm tanım kümesinde olduğu gibi belirli bir aralıktaki davranışını tanımlamak için de kullanılabilir. Buna göre bir fonksiyon belirli bir aralıkta artan, diğer bir aralıkta azalan, üçüncü bir aralıkta da sabit olabilir.

Bir fonksiyon tüm tanım kümesinde artan (ya da azalan) ise bu fonksiyona monoton artan (azalan) ya da daima artan (azalan) fonksiyon denir. Benzer şekilde, bir fonksiyon tüm tanım aralığında kesin artan (azalan) ise bu fonksiyona kesin monoton artan (azalan) fonksiyon denir.

Kesin monoton fonksiyonlar herhangi iki \( x \) değerinin görüntüsü aynı olamayacağı için aynı zamanda birebir fonksiyonlardır.

Temel Fonksiyonlarda Artan/Azalan Aralıklar

Temel bazı fonksiyonların artan/azalan oldukları aralıklar aşağıda verilmiştir.

Grafik	Fonksiyon
	Doğrusal Fonksiyon \( m \gt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = mx + c \) Tüm reel sayılarda artan
	Doğrusal Fonksiyon \( m \lt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = mx + c \) Tüm reel sayılarda azalan
	Parabol \( a \gt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^2 + bx + c \) \( (-\infty, r) \) için azalan \( (r, +\infty) \) için artan
	Parabol \( a \lt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^2 + bx + c \) \( (-\infty, r) \) için artan \( (r, +\infty) \) için azalan
	3. Dereceden Polinom Fonksiyonu \( a \gt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^3 \) Tüm reel sayılarda artan
	3. Dereceden Polinom Fonksiyonu \( a \lt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^3 \) Tüm reel sayılarda azalan
	Sinüs Fonksiyonu \( f(x) = \sin{x} \) \( (0, 2\pi) \) aralığında: \( (0, \frac{\pi}{2}) \) için artan \( (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \) için azalan \( (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \)için artan
	Kosinüs Fonksiyonu \( f(x) = \cos{x} \) \( (0, 2\pi) \) aralığında: \( (0, \pi) \) için azalan \( (\pi, 2\pi) \) için artan
	Tanjant Fonksiyonu \( f(x) = \tan{x} \) \( (0, 2\pi) \) aralığında: \( (0, \frac{\pi}{2}) \) için artan \( (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \) için artan \( (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \)için artan
	Kotanjant Fonksiyonu \( f(x) = \cot{x} \) \( (0, 2\pi) \) aralığında: \( (0, \pi) \) için azalan \( (\pi, 2\pi) \) için azalan
	Üstel Fonksiyon \( a \gt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = a^x \) Tüm reel sayılarda artan
	Üstel Fonksiyon \( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = a^x \) Tüm reel sayılarda azalan
	Logaritma Fonksiyonu \( a \gt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = \log_a{x} \) Pozitif reel sayılarda artan
	Logaritma Fonksiyonu \( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = \log_a{x} \) Pozitif reel sayılarda azalan

Artan ve Azalan Fonksiyonlar Arası İşlemler

Artan ve azalan fonksiyonlar arasındaki işlemler sonucunda oluşan fonksiyonların artan ya da azalan olma durumları aşağıdaki gibidir.

\( f \) ve \( g \) fonksiyonları \( (a, b) \) aralığında artan fonksiyonlar olmak üzere,

\( f + g \) fonksiyonu da aynı aralıkta artan fonksiyondur.
\( -f \) fonksiyonu aynı aralıkta azalan fonksiyondur.
\( \frac{1}{f} \) fonksiyonu aynı aralıkta azalan fonksiyondur.
Belirtilen aralıkta \( f(x) \gt 0 \) ve \( g(x) \gt 0 \) olmak koşuluyla, \( f \cdot g \) fonksiyonu aynı aralıkta artan fonksiyondur.

\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının azalan olması durumunda yukarıdaki işlem sonuçları artan yerine azalan, azalan yerine artan olacaktır.

SORU 1:

\( f(x) = (k - 1)x^2 + 2x + k + 4 \) fonksiyonunun tüm reel sayılarda daima artan olması için \( k \) kaç olmalıdır?

Çözümü Göster

İkinci dereceden polinomlar (parabol) daima artan olamayacağı için \( x^2 \)'li ifadenin katsayısı 0 olmalıdır.

\( k - 1 = 0 \Longrightarrow k = 1 \)

Buna göre fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = 2x + k + 4 = 2x + 5 \)

Elde ettiğimiz doğrusal fonksiyonun eğimi pozitif olduğu için daima artandır.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

\( f(x) = (k - 4)x + 5 \) fonksiyonunun daima azalan olması için \( k \) yerine yazılabilecek rakamlar toplamı kaçtır?

Çözümü Göster

Bir doğrusal fonksiyonun daima azalan olması için \( x \)'in katsayısı, yani doğrunun eğimi negatif olmalıdır.

\( k - 4 \lt 0 \)

Bu eşitsizliği sağlayan rakamlar \( \{0, 1, 2, 3\} \) olur.

Buna göre \( 0 + 1 + 2 + 3 = 6 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

\( f \) kesin azalan bir fonksiyon olmak üzere,

\( f(a + 2) = 4, f(a - 3) = 8, f(2a - 8) = 6 \) veriliyor.

Buna göre \( a \)'nın alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?

Çözümü Göster

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri sürekli azalıyorsa fonksiyon bu aralıkta kesin azalan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta kesin azalan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta artamaz ya da sabit kalamaz, sadece azalabilir.

Buna göre, \( 8 \gt 6 \gt 4 \) olduğuna göre verilen noktaların apsisleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibi olur.

\( a - 3 \lt 2a - 8 \lt a + 2 \)

Tüm taraflardan \( a \) çıkaralım.

\( -3 \lt a - 8 \lt 2 \)

Tüm taraflara 8 ekleyelim.

\( 5 \lt a \lt 10 \)

\( a \)'nın bu aralıkta alabileceği 4 tam sayı değeri vardır.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

\( f \) artan ve \( g \) azalan fonksiyonlar olmak üzere,

\( f(2) = b + f(-1) \) ve

\( g(3) = a + g(0) \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

I. \( f(a) \lt f(b) \)

II. \( g(a) \gt g(b) \)

III. \( f(g(a)) \gt f(g(b)) \)

Çözümü Göster

\( f \) fonksiyonu artan olduğu için \( f(-1) \lt f(2) \) olur, dolayısıyla \( b \) pozitiftir.

\( g \) fonksiyonu azalan olduğu için \( g(0) \gt g(3) \) olur, dolayısıyla \( a \) negatiftir.

I. öncül: \( f \) fonksiyonu artan ve \( a \lt b \) olduğu için bu öncül doğrudur.

II. öncül: \( g \) fonksiyonu azalan olduğu için bu öncül doğrudur.

III. öncül: \( f \) fonksiyonu artan ve \( g(a) \gt g(b) \) olduğu için bu öncül doğrudur.

Buna göre üç öncül de doğrudur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

Aşağıdaki fonksiyonların artan oldukları en geniş aralıklara sırasıyla \( A \), \( B \) ve \( C \) dersek bu üç aralık arasındaki kapsama ilişkisi nedir?

I. \( f(x) = x^2 - 4x \)

II. \( g(x) = x^3 \)

III. \( h(x) = \sqrt{x} \)

Çözümü Göster

I. öncül: Tepe noktasının apsisi \( x = 2 \) olan parabol \( [2, \infty) \) aralığında artandır.

II. öncül: \( x^3 \) fonksiyonu tüm reel sayılarda artandır.

III. öncül: Karekök fonksiyonu tanımlı olduğu tüm \( [0, \infty) \) aralığında artandır.

Buna göre üç fonksiyonun artan oldukları en geniş aralıklar arasındaki kapsama ilişkisi \( A \subset C \subset B \) şeklindedir.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6:

\( n \), \( m \) ve \( t \) reel sayılar olmak üzere, pozitif reel sayılarda tanımlı \( f \), \( g \) ve \( h \) fonksiyonlarıyla ilgili,

\( p: f(x) = n^x \) fonksiyonu azalandır.

\( q: g(x) = \log_t{x} \) fonksiyonu artandır.

\( r: h(x) = mx + n \) fonksiyonu artandır.

önermeleri veriliyor.

\( (p \lor r)' \Rightarrow q \equiv 0 \) olduğuna göre, \( n \), \( m \) ve \( t \) sayılarını büyükten küçüğe sıralayınız.

Çözümü Göster

\( (p \lor r)' \Rightarrow q \) ifadesi yalnız birinci önerme doğru, ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.

\( (p \lor r)' \equiv 1, \quad q \equiv 0 \)

\( p \lor r \equiv 0 \)

\( p \equiv 0, \quad r \equiv 0 \)

Buna göre üç önerme de yanlıştır.

"\( p \) önermesi yanlış olduğuna göre verilen fonksiyon artandır. Buna göre \( n \gt 1 \) olmalıdır.

"\( q \) önermesi yanlış olduğuna göre verilen fonksiyon azalandır. Buna göre \( 0 \lt t \lt 1 \) olmalıdır.

"\( r \) önermesi yanlış olduğuna göre verilen fonksiyon azalandır. Buna göre \( m \) negatif olur.

Buna göre sayıların sıralaması \( n \gt t \gt m \) olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 7:

\( f(x) = 3^x - 5 \) fonksiyonu verilmiştir. Buna göre aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri tüm tanım aralığında artandır?

\( -f(x) \)
\( f(-x) \)
\( -f(-x) \)

Çözümü Göster

Tabanın 1'den büyük olduğu üstel fonksiyonlar tüm reel sayılarda artandır. Fonksiyonun çıktısından 5 çıkarırsak tüm noktalar 5 birim aşağıya öteleneceği için fonksiyon yine artan olur.

I. öncül: \( -f(x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenine göre simetriğidir, dolayısıyla artan grafik azalan bir grafiğe dönüşür.

II. öncül: \( f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( y \) eksenine göre simetriğidir, dolayısıyla artan grafik azalan bir grafiğe dönüşür.

III. öncül: \( -f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun hem \( x \) hem de \( y \) eksenine göre simetriğidir, dolayısıyla artan grafik yine artan olur.

Buna göre sadece III. önermedeki fonksiyon artandır.

Soru sorun Soruda hata bildirin

olmak üzere,

002

003

001

fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

002

003

fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

004

f(x) fonksiyonu 0 < x < aralığında pozitif olarak tanımlı ve artan bir fonksiyon olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi aynı aralıkta azalan bir fonksiyondur?

001

002

aralığında pozitif olarak tanımlı ve artan bir fonksiyon olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi aynı aralıkta azalan bir fonksiyondur?

001

002

003

fonksiyonu daima artan olduğuna göre, k nın alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

001

y = f(x) fonksiyonu (2, 8) aralığında türevli ve artandır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

002

003

Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

001

002

003

Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f(x) fonksiyonunun artan olduğu aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–5,–1) B)(–3,1) C)(–2, 4) D) (0, 5) E) (2, 3)

001

002

Buna göre, f(x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–•,–3) B)(–1,3) C)(–2, –1) D) (0, 3) E) (3, 6)

003

Matematik 2 LYS Konu Anlatımı ve Konu Testine Geri Dön

nest...

43932 43933 43934 43935 43936