Asal Çarpanlar Pozitif Tam Bölen Sayısı
Bir pozitif tamsayı (1'den büyük) ya asal bir sayıdır ya da asalların birbiri ile çarpılmasından oluşmuştur. Örneğin $8$ sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali $2^3$ tür. $8$ in bir tane asal çarpanı vardır ve $2$ dir. $72$ sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali $2^3 3^2$ dir. $72$ nin iki tane asal çarpanı vardır: $2$ ve $3$.
$72$ yi tam bölen sayıları düşünelim. Örneğin $1,2,3,4,6,8,9 \cdots$ sayıları $72$ yi tam bölerler. Ancak bu sayıların tam olarak kaç tane olduklarını bulmak için bir formül kullanacağız. Bir pozitif tam sayının asal çarpanlara ayrılmış hali
\[ x^a y^b z^c \cdots \] ise bu sayının pozitif tam bölenleri sayısı \[ (a+1) (b+1) (c+1) \cdots \]
Sayıyı asal çarpanlara ayırdıktan sonra üslere $1$ ekleyerek çarpıyoruz. Örneğin $72 = 2^3 \cdot 3^2 $ olduğundan üslere $1$ ekleyip çarparsak $(3+1)(2+1) = 12 $ dir. $72$ yi bölen pozitif tamsayılar $12$ tanedirler.
$8 = 2^3$ üsse $1$ ekliyoruz ve çarpacak başka bir şey olmadığından $4$ tane pozitif tam bölen olduğunu buluyoruz.
$120 = 2^3\cdot 3 \cdot 5 $ üslere $1$ ekleyip çarparsak $(3+1) (1+1) (1+1) = 16$ tane pozitif tam böleni vardır. Dikkat edelim formül sadece pozitif tam bölenlerin sayısını vermektedir. Pozitifler kadar negatifler de vardır. Tüm tam bölenlerin sayısı bulduklarımızın $2$ katıdır.
Daha zor örneklere geçmeden bir kaç noktayı belirtelim. Asal tam bölenleri sayısı dendiğinde formüle falan gerek yok. Zaten asal çarpanlara ayırdığımızda bunları görüyoruz. Örneğin $72 = 2^3 3^2$ olduğundan asal bölenler ( ya da çarpanlar) iki tanedir ve bunlar $2$ ve $3$ tür. Dolayısıyla asal olmayan pozitif tam bölenleri sayısı dendiğinde de pozitif tam bölenlerin sayısından bunları çıkarmalıyız. $72$ nin pozitif tam bölenleri $12$ tane idi, bunlardan iki tanesi asaldır. Dolayısıyla asal olmayan pozitif tam bölenleri $10$ tanedirler. Asal olmayan tam bölenleri sayısı dendiğinde dikkat edelim. Tüm tam bölenler sorulduğunda pozitif tam bölenleri $2$ ile çarpıyoruz. Asal olmayan tam bölenler dendiğinde asal olmayan pozitifleri iki ile çarpmayacağız. Önce tüm tam bölenleri bulup bunlardan asal olan tam bölenleri çıkaracağız. Örneğin $10$ tane asal olmayan pozitif tam böleni olduğunu bulduk. Bunu iki ile çarpıp $72$ nin asal olmayan tam böleni sayısı $20$ dir demeyeceğiz, çünkü bu durumda asalların negatiflerini de ($-2$ ve $-3$) atmış oluyoruz. $72$ nin asal olmayan tam böleni sayısı \[ 2 \cdot 12 - 2 = 22 \]
$120$ sayısının
- Pozitif tam bölenleri sayısı
- Tam bölenleri sayısı
- Asal tam bölenleri sayısı
- Asal olmayan pozitif tam bölenleri sayısı
- Asal olmayan tam bölenleri sayısı
- $5$ ile bölünen tam bölenleri sayısı
- Tek tam bölenleri sayısı
- Pozitif çift tam bölenleri sayısı
kaç tanedir?
\[ 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \]
- Pozitif tam bölenleri sayısı üslere $1$ ekleyip çarparsak $4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ tanedir
- Tam bölenleri sayısı pozitiflerin iki katıdır, $32$
- Asal tam bölenler zaten görünmektedir $2$, $3$ ve $5$ tir ve $3$ tanedirler.
- Pozitif tam bölenlerden asal olanları çıkarırsak asal olmayan pozitif tam bölenleri buluruz: $16-3 = 13$
- Tüm tam bölenlerden asalları çıkarırsak asal olmayan tam bölenleri buluruz: $32 - 3 = 29$
- Bu seçeneği anlayabilmek için bu formülün bize neyi verdiğini daha iyi incelemeliyiz. Örneğin yukarıda $120$ nin $2,2,2,3,5$ sayılarından oluştuğunu gördük. $120$ nin bir çarpanını oluşturmak için bu sayılardan keyfi seçip birbiri ile çarpmalıyız. Örneğin $2$ yi alabiliriz. $2$ ve $3$ ü beraber alıp $6$ oluşturabiliriz. İki tane $2$ ve bir tane $5$ alıp $20$ oluşturabiliriz. Hiç birini almayız bu durumda $1$ oluşmuş oluyor. Bu şekilde oluşturabileceğimiz tüm farklı sayılar $120$ nin pozitif tam bölenidir ve bunlar formülle bulduğumuz gibi $16$ tanedirler.
Şimdi $5$ in katı olan sayılar oluşturmaya çalışalım. Örneğin $5$ i yalnız alırız. $5$ ve $2$ alırız, $5$ ve $3$ alırız vs... Aslında yaptığımız şey $5$ dışında kalan sayılarla farklı çarpanlar oluşturmaktır. Çünkü $5$ e bölünen sayı oluşturmaya çalıştığımızdan $5$ i kesin almalıyız. Yani kalanlarla ne yapabiliyoruz aslında ona bakmalıyız. $5$ i ayıralım ve kalan çarpanlara bakalım: \[ 2^3 \cdot 3 \] Bu çarpanlarla kaç farklı sayı oluşturabiliriz. Bu sayının pozitif tam bölenlerini bulalım, $4 \cdot 2 = 8$. Bu çarpanlarla $8$ farklı sayı oluşacağından $5$ e tam bölünen $8$ farklı pozitif tam bölen vardır.
Demek ki bir $a$ sayısına bölünen pozitif tam bölenleri bulurken asıl sayının asal çarpanlarından $a$ yı ayırıyoruz ve kalanlarla kaç farklı sayı oluşturabiliriz ona bakıyoruz. - Tek tam bölen oluşturmak için hiç $2$ çarpanı alamayız. Dolayısıyla tüm $2$ leri atıp kalanlarla kaç çarpan oluşuyor ona bakalım. Tüm ikileri atarsak $3 \cdot 5$ kalır. Bu sayının pozitif tam bölenleri $2\cdot 2 =4$ olduğundan $120$ nin pozitif tek tam bölenleri $4$ tanedir. Tek tam bölenleri sorulduğundan $2 \cdot 4 = 8$ olur.
Pozitif çift tam bölenlerini bir kaç yoldan bulabiliriz.
I. Yol
Pozitif çift tam bölenler = Pozitif tam bölenler - Pozitif tek tam bölenler
Tamamından tekleri çıkarırsak çiftler kalır. $16 - 4 = 12$ olur.
II. Yol
Aynen $5$ in katı olan bölenler oluştururken nasıl $5$ i ayırıp kalanlarla ne yapabileceğimize baktıysak burada da bir tane $2$ yi ayırıp kalanlarla ne yapabiliriz ona bakabiliriz
\[ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \]
Bu sayının pozitif tam bölenleri $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12 $ tanedir ve $120$ nin çift pozitif tam bölenlerine eşittir.
Bildiğimiz gibi faktöryel "!" işareti ile gösteriliyor ve bir pozitif tam sayıdan $1$ e kadar tüm tamsayıların çarpımını ifade ediyor. Örneğin $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =120$ dir. Kombinasyon konusunda nedeni anlatılan teknik bir sebeple $0! = 1$ olarak tanımlıdır ve negatif tam sayılar için faktöryel tanımlı değildir.
Hesaplayamayacağımız kadar büyük bir faktöryel içinde, örneğin $120!$ içinde kaç tane $5$ çarpanı var ya da kaç tane $2$ çarpanı var bunu nasıl bulabiliriz? $120!$ in açık halini düşünelim
\[ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdots 10 \cdots 15 \cdots 20 \cdots 25 \cdots 120 \]
Yukarıda toplam kaç tane $5$ çarpanı var bunu araştırıyoruz. $5$ e bölünen sayılar beşer beşer giderler, $5,10,15,20, \cdots ,120 $. Bunlar $120 \div 5 = 24$ tanedirler. Dolayısıyla en az $24$ tane $5$ var bunu anladık. Ancak bu sayılardan bazılarında iki tane $5$ çarpanı var, örneğin $25, 50, 75, 100$. İki tane $5$ çarpanı olanlar aslında $25$ e bölünenler demektir. Yani $120 \div 25 = 4$. Bu $4$ sayıdaki ikinci $5$ i saymadık bunları da eklersek $29$ tane $5$ bulduk. Aslında $120$ yi $25$ e böleceğimize zaten bir kere bölmüştük ve $24$ çıkmıştı, bu sayıyı tekrar $5$ e bölebilirdik böylece $120$ yi $25$ e bölmüş olacaktık: $24 \div 5 = 4$
Bir faktöryel içindeki $a$ asal çarpanlarının sayısını bulmak için bu faktöryel $a$ sayısına bölünür, elde edilen bölümler de $a$ ya bölünür ve en sonunda bu bölümler toplanır.
Örneğin $100! $ içindeki $3$ çarpanları için $100 \div 3 = 33$, $33 \div 3 = 11 $, $11 \div 3 = 3$, $3 \div 3 = 1$ elde edilen bölümleri toplarsak $33 + 11 + 3 + 1 = 48$ tane $3$ çarpanı olduğunu bulduk.
\[ 100! = 3^{48} \cdot A \]
Asal Çarpanlar Konu Anlatımı ve Örnek Soru Çözümü
Asal Çarpanlar, sınavlarda bol bol sorulan ve özellikle başka konuların içinde de karşımıza çıkan çok önemli bir konudur. Ayrıca bu konuda pratik çok önemlidir soru çözmeye başladıktan sonra bu konu sana çerez gibi gelecektir. Kunduz ekibinden Boğaziçi Üniversitesi Matematik Öğretmenliği öğrencisi Nurseli, bu konu hakkında senin için çok faydalı bir yazı hazırladı:
Bu yazımızda biraz aritmetik çalışacak ve asal çarpanların sırlarını öğreneceğiz. Asal çarpanlara geçmeden önce, konunun temelini anlamanıza yardımcı olacağını umduğum için asal sayılardan bahsedeceğim. Nedir bu asal sayılar?
Asal sayılar, en basit şekliyle, sadece kendisi ve 1 sayısına bölünebilen 1’den büyük pozitif tam sayılar biçiminde tanımlanırlar. 2, 3, 5, 7, 11, 13…. olarak sıralanırlar. ☘️
Tanımımızı düşünerek “1 bir asal sayı değil midir?” diye soruyor olabilirsin, çünkü 1 hem kendisine (1’e) hem de 1’e bölünebilir. 1 daha önceden birçok matematikçi tarafından asal sayı olarak kabul edilse de sonradan bu kategoriden çıkarılmıştır. ? Yani 1 asal sayı değildir! Eğer nedenini öğrenmek istersen, yazımızın sonuna bununla ilgili bir video ekledik, bu ilginç ve öğretici videoyu izlemenizi öneririm!
Asal Çarpanlar nerede karşımıza çıkıyor? Asal Çarpan Nedir? Asal Çarpan Nasıl Bulunur?
Yine asal sayıların tanımından yola çıkarak “Her tam sayının ya kendisi asaldır ya da asalların çarpımı şeklinde yazılabilir.” demek mümkün. Bu noktada, asal sayı olmayan tam sayıları yani bileşik sayıları yazabilmek için o sayının asal çarpanlarından faydalanabiliyoruz. Asal çarpanlar, biz fark etmesek de günlük hayatımızı kolaylaştırıyor. İnternet bankacılığı, güvenli alışveriş gibi şifreleme (kriptoloji) gerektiren alanlarda asal çarpanlardan faydalanıldığını biliyor musun? ?️
Asal Çarpanlara Ayırma – Bir Sayının Asal Çarpanlarını Bulma
Haydi, şimdi de pozitif bir sayıyı asal çarpanlarına nasıl ayıracağımızı öğrenelim.
Örneğin; 36 sayısı asal çarpanlarına 2.2.3.3 şeklinde ayrılır.
Yukarıdaki tablo, bu işlemi nasıl yaptığımızı anlamana yardımcı olacaktır.
Asal Çarpanlar Hakkında İpuçları
Bir A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli şöyle olsun:
Pozitif Tam Bölen Sayısı – Tam Sayı Bölen Sayısı – Tam Sayı Bölenlerin Toplamı – Asal Bölen Sayısı Nasıl Bulunur?
- A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı = (a + 1)(b + 1)(c + 1) dir.
- A sayısının tam sayı bölenlerinin sayısı = 2.(a + 1)(b + 1)(c + 1) dir.
- A sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır çünkü negatif tam sayı bölenleri ile pozitif tam sayı bölenleri birbirlerini sıfırlamaktadır.
- A sayısının asal bölenlerinin sayısı 3 tür. Bunlar x, y, z dir.
Asal Çarpanlar Örnek Soru Çözümü
Bu konuyu tam olarak anlamak için bol bol soru çözümü yapmak da çok önemli. Konu anlatımı yazılarımıza göz attıktan sonra, kendi kaynaklarına ek olarak MEB Kaynaklarını da incelemen faydalı olabilir. Aynı zamanda diğer TYT konu anlatımlarını incelemen de faydalı olacaktır. Kunduz’a şu ana kadar sorulmuş binlerce Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar konulu sorular senin için aşağıda!
DAHA FAZLA SORU GÖRÜNTÜLESORUYU İNCELE
Referanslar:
- “Asal Çarpanlara Ayırma: Kpss Matematik Konu Anlatımı.” Kpsskonu.com, 2 Dec. 2016, http://www.kpsskonu.com/genel-yetenek/matematik/asal-carpanlara-ayirma/.
- TR Akademi. (2019, February 11). Bir Doğal Sayının Tam Bölenlerinin Sayısı Nasıl Bulunur? https://trakademi.com/bir-dogal-sayinin-tam-bolenlerinin-sayisi-nasil-bulunur/.
- “Asal Sayılar Ve Şifreleme ( Kriptoloji ).” Matematikciler.com, 11 Mar. 2018, https://www.matematikciler.com/asal-sayilar-ve-sifreleme-kriptoloji/.
☀️☀️☀️
Her ders için değişmeyen kilit nokta bol bol soru çözümü ile pratik yapmak. Çözemediğin sorulara yanıt bulmak istiyorsan sınava hazırlık sürecinde Kunduz hep yanında! Profesyonel eğitmenler tarafından hazırlanan Soru Çözümü, binlerce soru ve çözümden oluşan Soru Bankası hizmetlerimizden faydalanabilirsin.
Asal Çarpanlara Ayırma
Asal Çarpanlara Ayırma konumuzda kpss sınavında çok sık soru gelmemektedir. Fakat değişen sistem ve yeni kpss düzenine göre soru gelebilme olasılığı yüksektir. Asal Çarpanlara Ayırma konusunun mantığını kavramak önemlidir. Önceki konumuzda Bölünebilme Kurallarını işlemiştik. Sıradaki konumuz ise Asal Çarpanlara Ayırma olacaktır.
Asal Çarpanlara Ayırma
Bir doğal sayının asal çarpanlarını bulabilmek için bu doğal sayıyı bölünebildiği en küçük doğal sayıdan başlayarak sırasıyla asal sayılara bölmemiz gerekir. Yani Asal Çarpanlara Ayırma işlemini uygulamamız gerekir. Bulduğumuz bölümler çarpımı sayının asal çarpanlara ayrılmış şeklidir.
Örneğin; 36 sayısı asal çarpanlara şu şekilde ayrılır.
$ \displaystyle 36={{2}^{2}}{{.3}^{2}}$
36’nın içerisinde 2 tane 2 çarpanı, 2 tane 3 çarpanı vardır. yani 36’nın asal çarpanları 2 ve 3 ‘ tür.
Asal Çarpanlara Ayırma ilgili 8 farklı soru tipi gelebilir.
1. Sayının Pozitif Bölenlerinin Sayısı (P.B.S)
Pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için verilen sayının kaç tane tam sayı bölenin olduğuna bakmalıyız.
Örneğin 12 sayısını tam olarak bölen pozitif tam sayılar, 1,2,3,4,6 ve 12 olmak üzere 6 tanedir. Eğer biz bunu bağıntı yardımı ile bulmak istersek önce 12 sayısını asal çarpanlara ayırırız.
$\displaystyle 12={{2}^{2}}.3$ şimdi asal çarpanların kuvvetlerini 1 arttırıp çarpalım.
$\displaystyle 12={{2}^{2}}.3$
(2+1).(1+1)=3.2=6 tanedir.
$ \displaystyle A={{a}^{x}}.{{b}^{y}}.{{c}^{z}}$ ise
P.B.S=(x+1)(y+1)(z+1) dir.
Bir sayının kaç tane pozitif tam bölen sayısı varsa o kadar negatif bölen sayısı vardır. Örneğimizdeki gibi 12 sayısının 6 tane pozitif tam sayı böleni varsa 6 tane de negatif tam böleni vardır.
Pozitif tam böleni demek doğal tam sayı böleni doğal sayı böleni demektir.
2. Bir Sayının Tam Bölenlerinin Sayısı (T.B.S)
Bir sayının pozitif ve negatif bölenleri sayısı aynı olduğu için pozitif bölen sayısını 2 ile çarparsak tam bölen sayısını bulmuş oluruz.
T.B.S=2.(P.B.S)
$ \displaystyle 120={{2}^{3}}{{.3}^{1}}{{.5}^{1}}$
P.B.S=(3+1)(1+1)(1+1)= 4.2.2 = 16
T.B.S=2(P.B.S)= 2.16= 32 tanedir.
3. Bir Sayının Asal Bölen Sayısı
Asal bölen sayısını bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırıp tabanları işaretlememiz yeterlidir.
$ \displaystyle 120={{2}^{3}}{{.3}^{1}}{{.5}^{1}}$
60′ ın asal çarpanları 2,3 ve 5′ tir. (3 tane)
4. Bir Sayının Tam Bölenleri Toplamı
Bir sayının tam bölenlerinin toplamı daima sıfırdır.
1+2+5+10+(-1)+(-2)+(-5)+(-10)=0
Kpss genel yetenekmatematik dersine ait Asal Çarpanlara Ayırma konusu tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss genel yetenek matematik konumuz OBEB-OKEK olacaktır.