Binom Azalan Kuvvetlerine Göre
UYGUN - SPOTLU SORU BANKASI - MATEMATİK 10. SINIF
© SADIK UYGUN YAYINLARI © SADIK UYGUN YAYINLARI © SADIK UYGUN YAYINLARI © SADIK UYGUN YAYINLARI © SADIK UYGUN YAYINLARI © SADIK UYGUN YAYINLARI © SADIK UYGUN YAYINLARI © SADIK UYGUN YAYINLARI www.sadikuygun.com.tr 26 1. ÜNİTE KONU TESTİ SPOT BİLGİLER SAYMA VE OLASILIK Binom Açılımı: 1. (x + y) n açılımında n + 1 tane terim vardır. 2. Açılımdaki her terim için x ve y’nin üsleri toplamı n’dir. 3. Açılımdaki katsayıların top - lamını bulmak için x = y = 1 yazılır. 4. Açılımdaki sabit terimi bulmak için x = y = 0 yazılır. 5. . . . . ..... . . x y n x y n x y n n x y 0 1 n n n n 0 1 1 0 + = + + + - ^ a a a h k k k . . . . ..... . . x y n x y n x y n n x y 0 1 n n n n 0 1 1 0 + = + + + - ^ a a a h k k k ifadesi x’in azalan kuvvetleri - ne göre binom açılımıdır. 6. (x + y) n açılımında (r + 1). te - rim . n r x y dir n r r – : : c m Örnek: x x 2 3– 4 c m açılımındaki x 2 li terimin katsayısını bulalım. 4 r . (2x) 4 – r x 3– r c m ifadesinde 4 r . (2) 4 – r . x 4 – r . x 3 r r - ^ h 4 r . (2) 4 – r . x x r r 4 – . (–3) r 4 r . (2) 4 – r . x 4 – 2r . (–3) r düzenlemesiyle x 4 – 2r = x 2 olmalı. 4 – 2r = 2 ⇒ r = 1 O hâlde; 4 1 . (2x) 4 – 1 x 3– 1 c m 4 . 8x 3 . x 3– c m = –96x 2 dir. 1. (a – 2b) 14 açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır? M.10.1.1.6 A) 2 B) 1 C) 0 D) –1 E) –2 (Spot 3’e göre) 2. (4x – 3y + 3) 4 açılımındaki sabit terim kaçtır? M.10.1.1.6 A) 81 B) 27 C) 16 D) 4 E) 3 (Spot 4’e göre) 3. (2x – 4y) n açılımında 3 tane terim oldu - ğuna göre, ifade x’in azalan kuvvetlerine göre açıldığında baştan 2. terim aşağıda - kilerden hangisine eşit olur? M.10.1.1.6 A) –xy B) –3xy C) –4xy D) –16xy E) –20xy (Spot 1 ve 6’ya göre) 4. m m 3 6 + d n açılımındaki sabit terim aşağıdakiler - den hangisidir? M.10.1.1.6 A) 18 B) 27 C) 54 D) 480 E) 540 (Spot 6’e göre) 5. (3x + y) 6 açılımındaki ortanca terim aşa - ğıdakilerden hangisidir? M.10.1.1.6 A) 270x 3 y 3 B) 540x 3 y 3 C) 540x 2 y D) 540 E) 540xy 2 (Spot 7’ye göre) 6. (2a – b) 4 ifadesi a’nın azalan kuvvetle - rine göre açıldığında, sondan 4. terim aşağıdakilerden hangisidir? M.10.1.1.6 A) –4a 3 b B) –16a 3 b C) –32a 3 b D) –40a 3 b E) –64a 3 b (Spot 8’e göre) Binom 25
RkJQdWJsaXNoZXIy ODAxMzU=
Binom Konu Anlatımı
Matematik ayt konu anlatımı, Matematik tyt konu anlatımı , Matematik yks konu anlatımı… Merhaba arkadaşlar sizlere bu yazımızda Binom Konu Anlatımı hakkında bilgi vereceğiz. Yazımızı okuyarak bilgi edinebilirsiniz.
Bilinen özdeşlikler vardır bunlar;
(x + y)1 = x + y
(x + y)2 = (x + y).(x + y) = x2 + 2xy + y2
(x + y)3 = (x + y).(x + y).(x + y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Kuvvet büyüdükçe özdeşliği çarpma işlemi yaparak bulmak zorlaşır. Bu durumda kombinasyon yardımıyla binom açılımını kullanarak özdeşlikleri bulabiliriz.
x ve y sıfırdan farklı ve n bir doğal sayı olmak (x + y)n ifadesinin x ve y’nin kuvvetleri cinsinden açılımına binom açılımı denir.
Binom açılımında terimleri oluştururken katsayıları kombinasyon yardımıyla hesaplarız. x’in azalan kuvvetlerine göre açılım yaparken x’in üssünü n’den başlayıp her terimde bir azaltırız, y’nin üssünü 0’dan başlayıp her terimde bir arttırırız. Böylece son terimde x’in üssü 0, y’nin üssü n olmuş olur.
Örnek
(x + y)4 ifadesinin özdeşini Pascal üçgeninden faydalanarak x’in artan kuvvetlerine göre yazalım.
Terimlerin katsayılarının 1 4 6 4 1 olduğunu Pascal üçgeninin 5. satırından görebiliriz. x’in kuvvetlerini 0’dan 4’e doğru, y’nin kuvvetlerini 4’ten 0’a doğru sırayla terimlere yazarız.
(x + y)4 = 1 x0 y4 + 4 x1 y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y1 + 1 x4 y0
Katsayılardaki 1’leri, x0 ve y0 ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.
(x + y)4 = y4 + 4 x y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y + x4
Binom Açılımı Özellikleri
Terim sayısı
(x+y)n ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1‘dir.
Örnek: (2x + 3y)10 ifadesinin açılımında 10+1 = 11 terim vardır.
Terimlerdeki üsler toplamı
(x+y)n ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n‘dir.
Örnek: (3x − y)8 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 7. terimi inceleyelim.
Bu ifadenin açılımdaki 7. terimi 252x2y6 dir. Burdaki x’in ve y’nin üslerini toplarsak 2 + 6 = 8 olduğunu görürüz.
Baştan r+1 inci terim
(x+y)n ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1‘inci terim 
Sondan r+1 inci terim
(x+y)n ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan r + 1‘inci terim 
Ortanca terim
n doğal sayı olmak üzere (x+y)2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim 
Katsayılar toplamı
(x+y)n ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır.
Sabit terim
(x+y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır.
Binom Özdeşliği
Pascal üçgenine dikkat edersek, her bir sayı üstündeki iki sayının toplamı ile oluşmuştur. Mesela 3+1=4 ü oluşturmuştur.
Bunu kombinasyon ile ifade edersek 
ü oluşturmuştur. Bu durumu 
şeklinde genelleştirebiliriz. Bu özdeşliğin adı da Binom Özdeşiliği dir.
Örnek:
işleminin sonucu kaçtır?
Binom Katsayıları ile Alt küme Sayısı Arasındaki Benzerlik
in açılımındaki katsayılar, n elemanlı bir kümenin 0, 1, 2, … , n elemanlı alt küme sayıları ile aynıdır. Örneğin,
açılımındaki kat sayılar 1, 3, 3 ,1 şeklindedir. 3 elemanlı bir kümenin 0 elemanlı alt küme sayıları 
,
, 
ve 
şeklinde olur.
Bir kümenin tüm alt kümelerinin 
tane olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla;
Binom, Binom Konu Anlatımı
Binom Açılımı
İki terimli (binom) bir ifadenin bir doğal sayı kuvvetinin açılımına binom açılımı denir.
\( (x + y)^n \) şeklindeki bir ifadenin açılımı aşağıdaki gibidir.
\( \binom{n}{k} \) ifadesi \( n \)'nin \( k \)'lı kombinasyonu olmak üzere,
\( (x + y)^n = \binom{n}{0} x^{n - 0}y^0 \) \( + \binom{n}{1} x^{n - 1}y^1 \) \( + \binom{n}{2} x^{n - 2}y^2 \) \( + \ldots + \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \) \( + \ldots + \binom{n}{n} x^{n - n}y^n \)
Bu ifadeyi aşağıdaki şekilde sadeleştirebiliriz.
\( (x + y)^n = x^n \) \( + \binom{n}{1} x^{n - 1}y \) \( + \binom{n}{2} x^{n - 2}y^2 \) \( + \ldots + \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \) \( + \ldots + y^n \)
ÖRNEK:
\( (x + y)^2 = \binom{2}{0} x^2 + \binom{2}{1} x^1y^1 + \binom{2}{2} y^2 \)
\( = x^2 + 2xy + y^2 \)
\( (x + y)^3 = \binom{3}{0} x^3 + \binom{3}{1} x^2y^1 \) \( + \binom{3}{2} x^1y^2 \) \( + \binom{3}{3} y^3 \)
\( = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \)
İSPATI GÖSTER
Bir binom açılımındaki binom katsayılarının nasıl oluştuğunu bir binom ifadenin 4. kuvveti üzerinden örneklendirerek gösterelim.
Binom ifadenin 4. kuvvetini ifadenin 4 kez kendisiyle çarpımı şeklinde yazalım.
\( (x + y)^4 = \underbrace{(x + y)}_{1}\underbrace{(x + y)}_{2}\underbrace{(x + y)}_{3}\underbrace{(x + y)}_{4} \)
Binom açılımının (benzer terimler aralarında toplanmadan önceki) terimleri bu 4 çarpanın her birinden seçilen \( x \) ya da \( y \) değişkenlerinin birbiri ile çarpımı sonucunda oluşur.
\( = xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + \ldots + yyyy \)
Örneğin \( x^3y \) terimi yukarıdaki açılımdaki aşağıdaki terimlere karşılık gelmektedir.
\( = \ldots + xxxy + xxyx + \ldots + xyxx + \ldots + yxxx + \ldots \)
Birbirine benzer olan bu terimlerin sayısı \( x^3y \) teriminin binom katsayısını verir.
\( = \ldots + 4x^3y + \ldots \)
Buna göre \( x^ky^{n - k} \) şeklindeki bir terimin katsayısı binom açılımında bu değişken permütasyonunun kaç kez tekrarlandığını gösterir.
Her değişken permütasyonunun binom açılımında kaç kez tekrarlandığını bir kombinasyon (seçme) problemi olarak kurgulayabiliriz.
Buna göre \( x^3y \) değişkeninin tekrar sayısı 4 çarpanın 3'ünden \( x \), 1'inden \( y \) değişkenini kaç farklı şekilde seçebileceğimize eşittir.
\( C(4, 3) \cdot C(1, 1) = C(4, 3) \)
Benzer şekilde \( x^ky^{n - k} \) değişkeninin tekrar sayısı \( n \) çarpanın \( k \)'sından \( x \) değişkenini, \( (n - k) \)'sından \( y \) değişkenini kaç farklı şekilde seçebileceğimize eşittir.
\( C(n, k) \cdot C(n - k, n - k) = C(n, k) \)
Dolayısıyla bir binom açılımında \( x^ky^{n - k} \) teriminin tekrarlanma sayısının, dolayısıyla katsayısının \( C(n, k) = \binom{n}{k} \) olacağını söyleyebiliriz.
İspatta hata bildirin
Dikkat edilirse yukarıdaki iki örnekteki binom açılımları daha önce özdeşlikler konusunda gördüğümüz parantez karesi ve küpü açılımları ile aynı sonucu vermektedir.
Binom açılımında vurgulanması gereken önemli bazı noktalar şunlardır.
- \( n \). dereceden bir binom ifadenin açılımında \( (n + 1) \) terim vardır.
- Binom açılımında terimler binomun ilk teriminin azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
- Buna göre açılımda birinci terimin kuvveti \( n \) ile başlar ve her terimde birer azalarak son terimde 0 olur (\( x^n \to x^{n-1} \to \ldots \to x^1 \to x^0 \)).
- İkinci terimin kuvveti ise 0 ile başlar ve her terimde birer artarak son terimde \( n \) olur (\( y^0 \to y^1 \to \ldots \to y^{n-1} \to y^n \)).
- Açılımın her teriminde binom terimlerinin kuvvetlerinin toplamı \( n \)'ye eşittir.
\( (x + y)^n \) ifadesinin binom açılımının bir teriminin bileşenleri aşağıdaki gibidir.
Binom açılımındaki \( \binom{n}{k} \) ifadelerine binom katsayısı adı verilir ve her biri \( n \)'nin \( k \)'lı kombinasyonuna karşılık gelir.
\( \binom{n}{k} = C(n, k) = \dfrac{n!}{k!(n - k)!} \)
Binom açılımını toplama işlemi ile aşağıdaki gibi kısa şekilde yazabiliriz.
\( (x + y)^n = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}x^{n - k}y^k \)
SORU 1:
\( (x + y)^6 \) ifadesinin açılımını yazınız.
Çözümü GösterBinom açılımında kullanacağımız 6'nın farklı kombinasyonlarını bulalım.
\( \binom{6}{0} = \binom{6}{6} = \dfrac{6!}{0!6!} = 1 \)
\( \binom{6}{1} = \binom{6}{5} = \dfrac{6!}{1!5!} = 6 \)
\( \binom{6}{2} = \binom{6}{4} = \dfrac{6!}{2!4!} = 15 \)
\( \binom{6}{3} = \dfrac{6!}{3!3!} = 20 \)
İfadenin açılımını yazalım.
\( (x + y)^6 = \binom{6}{0} x^6y^0 + \binom{6}{1} x^5y^1 \) \( + \binom{6}{2} x^4y^2 \) \( + \binom{6}{3} x^3y^3 \) \( + \binom{6}{4} x^2y^4 \) \( + \binom{6}{5} x^1y^5 \) \( + \binom{6}{6} x^0y^6 \)
\( = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 \) \( + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 \) \( + 6xy^5 + y^6 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
Farklı Binom İfadelerin Açılımı
Yukarıda açılımını yaptığımız \( (x + y)^n \) ifadesinin iki terimi de katsayıları ve kuvvetleri 1 olan değişkenlerdi, ancak bu terimlerde katsayılar negatif olabilir, değişkenlerin dereceleri birden farklı olabilir ya da terimler sadece katsayıdan oluşabilir.
\( (2x + 3y)^n \)
\( (5a^2 - 4)^n \)
\( (x - \frac{1}{x})^n \)
Yukarıda paylaştığımız binom açılım formülü her formdaki iki terimli ifadeye uygulanabilir. Yapılması gereken işlem bu formüldeki \( x \) ve \( y \) değişkenleri yerine ilgili ifadedeki terimleri parantez içinde yerleştirmek, daha sonra bu parantezleri açarak terimleri sadeleştirmek olacaktır.
ÖRNEK:
\( (\textcolor{red}{2a} \textcolor{blue}{- 3b})^2 = \binom{2}{0} (\textcolor{red}{2a})^2 (\textcolor{blue}{-3b})^0 + \binom{2}{1} (\textcolor{red}{2a})^1(\textcolor{blue}{-3b})^1 \) \( + \binom{2}{2} (\textcolor{red}{2a})^0 (\textcolor{blue}{-3b})^2 \)
\( = 4a^2 + 2(2a)(-3b) + 9b^2 \)
\( = 4a^2 - 12ab + 9b^2 \)
\( (\textcolor{red}{3x^2} + \textcolor{blue}{2y^3})^3 = \binom{3}{0} (\textcolor{red}{3x^2})^3 (\textcolor{blue}{2y^3})^0 \) \( + \binom{3}{1} (\textcolor{red}{3x^2})^2(\textcolor{blue}{2y^3})^1 \) \( + \binom{3}{2} (\textcolor{red}{3x^2})^1(\textcolor{blue}{2y^3})^2 \) \( + \binom{3}{3} (\textcolor{red}{3x^2})^0(\textcolor{blue}{2y^3})^3 \)
\( = (27x^6) + 3(9x^4)(2y^3) \) \( + 3(3x^2)(4y^6) \) \( + (8y^9) \)
\( = 27x^6 + 54x^4y^3 + 36x^2y^6 + 8y^9 \)
\( (\textcolor{red}{x^2} \textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^4 = \binom{4}{0} (\textcolor{red}{x^2})^4(\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^0 + \binom{4}{1} (\textcolor{red}{x^2})^3(\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^1 + \binom{4}{2} (\textcolor{red}{x^2})^2(\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^2 \) \( + \binom{4}{3} (\textcolor{red}{x^2})^1(\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^3 + \binom{4}{4} (\textcolor{red}{x^2})^0(\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^4 \)
\( = (x^8) + 4(x^6)(-\frac{2}{x}) + 6(x^4)(\frac{4}{x^2}) \) \( + 4(x^2)(-\frac{8}{x^3}) + (\frac{16}{x^4}) \)
\( = x^8 - 8x^5 + 24x^2 - \frac{32}{x} + \frac{16}{x^4} \)
Bu örneklerde görebileceğimiz gibi, binom açılımlarındaki terimlerin katsayıları sadece binom katsayısından oluşmaz ve binom terimlerinden gelen katsayıları da içerir. Binom katsayısının sadece \( \binom{n}{k} \) ifadesine karşılık geldiğine dikkat edilmelidir.
Binom ifadenin ikinci teriminin katsayısı negatif ise (\( (x - y) \) gibi) açılımdaki terimlerin katsayıları \( y \)'nin çift kuvvetleri için pozitif, tek kuvvetleri için negatif olur. Dolayısıyla \( (x - y)^n \) şeklindeki bir ifadenin açılımında terimlerin katsayıları pozitif ile başlar ve bir pozitif bir negatif şeklinde ilerler (\( + - + - + - \ldots \)).
SORU 2:
1. \( (4x + 5y)^3 \)
2. \( (2x - 3y)^4 \)
3. \( (x + 2y)^5 \)
Yukarıda verilen ifadelerin açılımlarını yazınız.
Çözümü GösterBinom açılım formülü aşağıdaki gibidir.
\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n - 1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}x^1y^{n - 1} + \binom{n}{n}x^0y^n \)
1. İfade:
\( (4x + 5y)^3 = \binom{3}{0}(4x)^3(5y)^0 + \binom{3}{1}(4x)^2(5y)^1 + \binom{3}{2}(4x)^1(5y)^2 + \binom{3}{3}(4x)^0(5y)^3 \)
\( = 1 \cdot 64x^3 \cdot 1 + 3 \cdot 16x^2 \cdot 5y + 3 \cdot 4x \cdot 25y^2 + 1 \cdot 1 \cdot 125y^3 \)
\( = 64x^3 + 240x^2y + 300xy^2 + 125y^3 \)
2. İfade:
\( (2x - 3y)^4 = \binom{4}{0}(2x)^4(-3y)^0 + \binom{4}{1}(2x)^3(-3y)^1 + \binom{4}{2}(2x)^2(-3y)^2 + \binom{4}{3}(2x)^1(-3y)^3 + \binom{4}{4}(2x)^0(-3y)^4 \)
\( = 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 + 4 \cdot 8x^3 \cdot (-3y) + 6 \cdot 4x^2 \cdot 9y^2 + 4 \cdot 2x \cdot (-27y^3) + 1 \cdot 1 \cdot 81y^4 \)
\( = 16x^4 - 96x^3y + 216x^2y^2 - 216xy^3 + 81y^4 \)
3. İfade:
\( (x + 2y)^5 = \binom{5}{0}x^5(2y)^0 + \binom{5}{1}x^4(2y)^1 + \binom{5}{2}x^3(2y)^2 + \binom{5}{3}x^2(2y)^3 + \binom{5}{4}x^1(2y)^4 + \binom{5}{5}x^0(2y)^5 \)
\( = 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot 2y + 10 \cdot x^3 \cdot 4y^2 + 10 \cdot x^2 \cdot 8y^3 + 5 \cdot x \cdot 16y^4 + 1 \cdot 1 \cdot 32y^5 \)
\( = x^5 + 10x^4y + 40x^3y^2 + 80x^2y^3 + 80xy^4 + 32y^5 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
1. \( (2x + 5)^4 \)
2. \( (4x - 1)^5 \)
3. \( (-x + 3)^6 \)
Yukarıda verilen ifadelerin açılımlarını yazınız.
Çözümü GösterBinom açılım formülü aşağıdaki gibidir.
\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n - 1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}x^1y^{n - 1} + \binom{n}{n}x^0y^n \)
1. İfade:
\( (2x + 5)^4 = \binom{4}{0}(2x)^4(5)^0 + \binom{4}{1}(2x)^3(5)^1 + \binom{4}{2}(2x)^2(5)^2 + \binom{4}{3}(2x)^1(5)^3 + \binom{4}{4}(2x)^0(5)^4 \)
\( = 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 + 4 \cdot 8x^3 \cdot 5 + 6 \cdot 4x^2 \cdot 25 + 4 \cdot 2x \cdot 125 + 1 \cdot 1 \cdot 625 \)
\( = 16x^4 + 160x^3 + 600x^2 + 1000x + 625 \)
2. İfade:
\( (4x - 1)^5 = \binom{5}{0}(4x)^5(-1)^0 + \binom{5}{1}(4x)^4(-1)^1 + \binom{5}{2}(4x)^3(-1)^2 + \binom{5}{3}(4x)^2(-1)^3 + \binom{5}{4}(4x)^1(-1)^4 + \binom{5}{5}(4x)^0(-1)^5 \)
\( = 1 \cdot 1024x^5 \cdot 1 + 5 \cdot 256x^4 \cdot (-1) + 10 \cdot 64x^3 \cdot 1 + 10 \cdot 16x^2 \cdot (-1) + 5 \cdot 4x \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1) \)
\( = 1024x^5 - 1280x^4 + 640x^3 - 160x^2 + 20x - 1 \)
3. İfade:
\( (-x + 3)^6 = \binom{6}{0}(-x)^6(3)^0 + \binom{6}{1}(-x)^5(3)^1 + \binom{6}{2}(-x)^4(3)^2 + \binom{6}{3}(-x)^3(3)^3 + \binom{6}{4}(-x)^2(3)^4 + \binom{6}{5}(-x)^1(3)^5 + \binom{6}{6}(-x)^0(3)^6 \)
\( = 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot (-x^5) \cdot 3 + 15 \cdot x^4 \cdot 9 + 20 \cdot (-x^3) \cdot 27 + 15 \cdot x^2 \cdot 81 + 6 \cdot (-x) \cdot 243 + 1 \cdot 1 \cdot 729 \)
\( = x^6 - 18x^5 + 135x^4 - 540x^3 + 1215x^2 - 1458x + 729 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
1. \( (2x + \dfrac{3}{x})^3 \)
2. \( (x - \dfrac{4}{x})^5 \)
3. \( (x + \dfrac{1}{2x})^6 \)
Yukarıda verilen ifadelerin açılımlarını yazınız.
Çözümü GösterBinom açılım formülü aşağıdaki gibidir.
\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n - 1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}x^1y^{n - 1} + \binom{n}{n}x^0y^n \)
1. İfade:
\( (2x + \dfrac{3}{x})^3 = \binom{3}{0}(2x)^3(\dfrac{3}{x})^0 + \binom{3}{1}(2x)^2(\dfrac{3}{x})^1 + \binom{3}{2}(2x)^1(\dfrac{3}{x})^2 + \binom{3}{3}(2x)^0(\dfrac{3}{x})^3 \)
\( = 1 \cdot 8x^3 \cdot 1 + 3 \cdot 4x^2 \cdot \dfrac{3}{x} + 3 \cdot 2x \cdot \dfrac{9}{x^2} + 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{27}{x^3} \)
\( = 8x^3 + 36x + \dfrac{54}{x} + \dfrac{27}{x^3} \)
2. İfade:
\( (x - \dfrac{4}{x})^5 = \binom{5}{0}x^5(-\dfrac{4}{x})^0 + \binom{5}{1}x^4(-\dfrac{4}{x})^1 + \binom{5}{2}x^3(-\dfrac{4}{x})^2 + \binom{5}{3}x^2(-\dfrac{4}{x})^3 + \binom{5}{4}x^1(-\dfrac{4}{x})^4 + \binom{5}{5}x^0(-\dfrac{4}{x})^5 \)
\( = 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot (-\dfrac{4}{x}) + 10 \cdot x^3 \cdot \dfrac{16}{x^2} + 10 \cdot x^2 \cdot (-\dfrac{64}{x^3}) + 5 \cdot x \cdot \dfrac{256}{x^4} + 1 \cdot 1 \cdot (-\dfrac{1024}{x^5}) \)
\( = x^5 - 20x^3 + 160x - \dfrac{640}{x} + \dfrac{1280}{x^3} - \dfrac{1024}{x^5} \)
3. İfade:
\( (x + \dfrac{1}{2x})^6 = \binom{6}{0}x^6(\dfrac{1}{2x})^0 + \binom{6}{1}x^5(\dfrac{1}{2x})^1 + \binom{6}{2}x^4(\dfrac{1}{2x})^2 + \binom{6}{3}x^3(\dfrac{1}{2x})^3 + \binom{6}{4}x^2(\dfrac{1}{2x})^4 + \binom{6}{5}x^1(\dfrac{1}{2x})^5 + \binom{6}{6}x^0(\dfrac{1}{2x})^6 \)
\( = 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot \dfrac{1}{2x} + 15 \cdot x^4 \cdot \dfrac{1}{4x^2} + 20 \cdot x^3 \cdot \dfrac{1}{8x^3} + 15 \cdot x^2 \cdot \dfrac{1}{16x^4} + 6 \cdot x \cdot \dfrac{1}{32x^5} + 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{64x^6} \)
\( = x^6 + 3x^4 + \dfrac{15x^2}{4} + \dfrac{5}{2} + \dfrac{15}{16x^2} + \dfrac{3}{16x^4} + \dfrac{1}{64x^6} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
1. \( (2x^2 + 5)^3 \)
2. \( (3x^4 - 2)^4 \)
3. \( (x^3 + 1)^6 \)
Yukarıda verilen ifadelerin açılımlarını yazınız.
Çözümü GösterBinom açılım formülü aşağıdaki gibidir.
\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n - 1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}x^1y^{n - 1} + \binom{n}{n}x^0y^n \)
1. İfade:
\( (2x^2 + 5)^3 = \binom{3}{0}(2x^2)^3(5)^0 + \binom{3}{1}(2x^2)^2(5)^1 + \binom{3}{2}(2x^2)^1(5)^2 + \binom{3}{3}(2x^2)^0(5)^3 \)
\( = 1 \cdot 8x^6 \cdot 1 + 3 \cdot 4x^4 \cdot 5 + 3 \cdot 2x^2 \cdot 25 + 1 \cdot 1 \cdot 125 \)
\( = 8x^6 + 60x^4 + 150x^2 + 125 \)
2. İfade:
\( (3x^4 - 2)^4 = \binom{4}{0}(3x^4)^4(-2)^0 + \binom{4}{1}(3x^4)^3(-2)^1 + \binom{4}{2}(3x^4)^2(-2)^2 + \binom{4}{3}(3x^4)^1(-2)^3 + \binom{4}{4}(3x^4)^0(-2)^4 \)
\( = 1 \cdot 81x^{16} \cdot 1 + 4 \cdot 27x^{12} \cdot (-2) + 6 \cdot 9x^8 \cdot 4 + 4 \cdot 3x^4 \cdot (-8) + 1 \cdot 1 \cdot 16 \)
\( = 81x^{16} - 216x^{12} + 216x^8 - 96x^4 + 16 \)
3. İfade:
\( (x^3 + 1)^6 = \binom{6}{0}(x^3)^6(1)^0 + \binom{6}{1}(x^3)^5(1)^1 + \binom{6}{2}(x^3)^4(1)^2 + \binom{6}{3}(x^3)^3(1)^3 + \binom{6}{4}(x^3)^2(1)^4 + \binom{6}{5}(x^3)^1(1)^5 + \binom{6}{6}(x^3)^0(1)^6 \)
\( = 1 \cdot x^{18} \cdot 1 + 6 \cdot x^{15} \cdot 1 + 15 \cdot x^{12} \cdot 1 + 20 \cdot x^9 \cdot 1 + 15 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 \)
\( = x^{18} + 6x^{15} + 15x^{12} + 20x^9 + 15x^6 + 6x^3 + 1 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( (0,84)^5 \) sayısının virgülden sonraki 2. basamağı kaçtır?
Çözümü GösterSorunun çözümünde binom açılımını kullanalım.
\( (0,84)^5 = (1 - 0,16)^5 \)
Elde ettiğimiz ifadenin açılımını yazalım.
\( (1 - 0,16)^5 = \binom{5}{0}1^5(-0,16)^0 + \binom{5}{1}1^4(-0,16)^1 + \binom{5}{2}1^3(-0,16)^2 + \binom{5}{3}1^2(-0,16)^3 + \binom{5}{4}1^1(-0,16)^4 + \binom{5}{5}1^0(-0,16)^5 \)
\( = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1 \cdot \dfrac{-16}{10^2} + 10 \cdot 1 \cdot \dfrac{16^2}{10^4} + 10 \cdot 1 \cdot \dfrac{-16^3}{10^6} + 5 \cdot 1 \cdot \dfrac{16^4}{10^8} + 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{-16^5}{10^{10}} \)
Bu açılımda virgülden sonraki 2. basamağı etkileyebilecek olan terimleri dikkate almamız yeterlidir.
\( = 1 - 0,8 + 0,256 - 0,04096 + \ldots \)
\( = 0,41\ldots \)
Buna göre virgülden sonraki ikinci basamak 1'dir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( \binom{12}{0} \cdot 10^{12} - \binom{12}{1} \cdot 10^{11} \) \( + \binom{12}{2} \cdot 10^{10} \) \( - \binom{12}{3} \cdot 10^9 \) \( + \ldots + \binom{12}{12} \)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterVerilen açılım \( (k + 1) \). terimi aşağıdaki ifade olan binom açılımıdır.
\( T_{k + 1} = \binom{12}{k} 10^{12 - k}(-1)^k \)
Buna göre ifade aşağıdaki gibidir.
\( (10 - 1)^{12} = 9^{12} = 3^{24} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Terim Sayısı
\( (x + y)^n \) şeklindeki bir ifadede \( n \) tane \( (x + y) \) ifadesinin çarpımı sonucunda \( 2^n \) terim oluşur. Bu açılımdaki benzer terimler aralarında toplandığında geriye \( (n + 1) \) terim kalır.
ÖRNEK:
\( (x + y)^3 = (x + y)(x + y)(x + y) \)
\( = (x^2 + xy + xy + y^2)(x + y) \)
\( = x^3 + x^2y + x^2y + xy^2 \) \( + x^2y + xy^2 \) \( + xy^2 + y^3 \)
Tüm çarpanların çarpımı sonucunda \( 2^n = 2^3 = 8 \) terim oluşur.
\( = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \)
Benzer terimler toplandığında açılımda \( n + 1 = 3 + 1 = 4 \) terim kalır.
SORU 8:
\( (4x + 5y)^n \) ifadesinin açılımında 13 terim olduğuna göre, \( n \) doğal sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( n. \) dereceden bir binom ifadenin açılımında \( n + 1 \) terim vardır.
\( n + 1 = 13 \)
\( n = 12 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( (x + 2)^5 \cdot (x - y)^8 \) ifadesinin tam açılımında kaç terim vardır?
Çözümü Göster\( (x + 2)^5 \) ifadesinin açılımında \( 5 + 1 = 6 \) terim vardır.
\( (x - y)^8 \) ifadesinin açılımında \( 8 + 1 = 9 \) terim vardır.
\( (x + 2)^5 \cdot (x - y)^8 \) ifadesinin açılımı birinci ifadenin açılımındaki 6 terimin her birinin ikinci ifadenin açılımındaki 9 terimin her biri ile çarpılması ile oluşur, dolayısıyla bu iki ifadenin açılımlarının çarpılması sonucunda oluşan ifadede \( 6 \cdot 9 = 54 \) terim vardır.
Bu iki ifadenin \( x \) terimleri benzer olsa da ikinci terimleri benzer olmadığı için (\( 2 \) ve \( -y \)), her iki ifadenin açılımlarının çarpımları sonucunda oluşan 54 terimli ifadede benzer terimler oluşmayacak, dolayısıyla benzer terimlerin aralarında toplanması sonucunda terim sayısı azalmayacaktır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Sabit Terim
Bir binom ifadenin açılımındaki sabit terimi bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 0 değeri verilir ve açılımda değişken içeren terimlerin yok olması sağlanır.
ÖRNEK:
\( (x + y)^8 \) ifadesinin sabit terimi \( = (0 + 0)^8 = 0 \)
\( (2x + 3)^3 \) ifadesinin sabit terimi \( = (2 \cdot 0 + 3)^3 = 27 \)
SORU 10:
\( (x^2 - 3)^4 \) ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?
Çözümü GösterBir binom ifadenin açılımındaki sabit terimi bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 0 değeri verilir ve açılımda değişken içeren terimlerin yok olması sağlanır.
\( x = 0 \) yazalım.
\( (0^2 - 3)^4 = (-3)^4 = 81 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Binom ifadelerde sabit terimin oluştuğu bir diğer durum, binom ifadenin terimlerinin pay ve paydada aynı değişkeni içerdiği ve açılımdaki bazı terimlerde bu değişkenlerin birbirini götürdüğü ve terimin değişken kısmının \( x^0 \) olarak kaldığı durumlardır.
Aşağıdaki örnekte ikinci terimde bu şekilde bir sabit terim oluşmuştur.
ÖRNEK:
\( (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2x\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \)
\( = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \)
Katsayılar Toplamı
Bir binom ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki değişkenlerin yok olması sağlanır.
ÖRNEK:
\( (x + y)^8 \) ifadesinin katsayılar toplamı \( = (1 + 1)^8 = 2^8 \)
\( (2x + 3)^3 \) ifadesinin katsayılar toplamı \( = (2 \cdot 1 + 3)^3 = 125 \)
SORU 11:
\( (a - 3b)^6 \) ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir binom ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki değişkenlerin yok olması sağlanır.
\( a = b = 1 \) yazalım.
\( (1 - 3(1))^6 = (-2)^6 = 64 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 12:
\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( (x^3 - \dfrac{2}{x^2})^n \) ifadesinin açılımındaki katsayıların aritmetik ortalaması \( \frac{1}{5} \) olduğuna göre, \( n \) kaçtır?
Çözümü GösterBir binom ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki değişkenlerin yok olması sağlanır.
\( (1^3 - \dfrac{2}{1^2})^n = (-1)^n \)
\( n \). dereceden bir binom ifadenin açılımında \( n + 1 \) terim vardır.
Katsayılar toplamını terim sayısına bölerek katsayıların aritmetik ortalamasına eşitleyelim.
\( \dfrac{(-1)^n}{n + 1} = \dfrac{1}{5} \)
Bu eşitliği sağlayan \( n \) değeri 4'tür.
Soru sorun Soruda hata bildirin