Bölme Işleminde Böleni Bulmak Için Ne Yapılır

Bölme işleminin 3 ana ögesi bulunur. Bunlar; bölüm, bölen, bölünendir. Bir de tam bölünmeyen sayılar için bir öge daha ortaya çıkar. Bu da kalan ögesidir. Bölme işleminde bölen nasıl bulunur sorusu için ögeleri tanımak oldukça önemlidir. Bölünen, bölünen sayıdır ve kalansız işlemlerde bölen ve bölümün çarpımına eşittir. Bölen; bölünen sayının bölündüğü sayıdır. Bölüm, tam bölünen işlemlerde çıkan sonuçtur. Kalan, tam bölünmeyen bölme işlemlerinde arta kalan sayıdır.

Bölme İşleminde Bölen Nasıl Bulunur?

Bölme işleminde bölen bulma pek çok problemde karşılaşılabilecek bir soru tarzıdır. Bunun yöntemi ikiye ayrılır:

1- Kalansız bölme işleminde bölen bulma.

Kalanı olmayan bir bölme işleminde yalnızca bölünen sayı ve bölüm verildiyse böleni bulmak oldukça kolaydır. Bunun için yapılması gereken işlem bölünen sayıyı, bölüme bölmektir.

ÖRNEK: Bölüneni 288 ve bölümü 12 olan bir bölme işleminin böleni nedir?

Bu soru için yapılacak işlem 288/ 12 işlemidir. Bu işlemin sonucu ise 24'tür. Yani 288 sayısı 24 sayısını bölünmüş ve bölüm 12 olarak bulunmuştur.

2- Kalanlı bölme işleminde bölen bulma.

Kalanı olan bir bölme işleminde kalan, bölüm ve bölünen verildiği zaman bölüm bulmak kalansızdan çok da farklı bir işlem değildir. Yapılması gereken işlem öncelikle bölünen sayıdan kalan sayısının çıkartılması ardından bu sayının bölüm olarak verilen sayıya bölünmesidir.

ÖRNEK: Bölüneni 971, kalanı 5 ve bölümü 23 olan bölme işleminin böleni nedir?

Öncelikle 971 sayısından 5 sayısı çıkarılır. Daha sonrasında çıkan sonuç 23 sayısına bölünür. Bu işlem şu şekildedir: 971-5= 966, 966/ 23= 42. Yani bu bölme işleminin böleni 42 sayısıdır.

Bölmede Bölen, Kalan, Bölüm Ögelerini Bulma Örnekleri

→ Bölünen bulma örnekleri:

Bölünen = Bölüm. Bölen + Kalan

• Örnek: Bölüm 12, bölen 13 ve kalanın 6 olduğu bir bölme işleminde bölünen nedir?

Bölüneni bulmak için bölüm ile bölenin çarpılması çıkan sonuca da kalanın eklenmesi gerekir. Bu soru için bu işlem; 12.13= 156, 156+6= 162 şeklindedir. Yani bölünen 162 sayısıdır.

• Örnek: Bölenin 75, bölümün 6 ve kalanın 23 olduğu bir bölme işleminde bölünen nedir?

Bu işlem; 75.6= 450, 450+ 23= 473 şeklindedir. Bölünen 473 sayısı olarak karşımıza çıkar.

→ Bölen bulma örnekleri:

Bölen = Bölünen- Kalan/ Bölüm

• Örnek: Bölünenin 1589, bölümün 17 ve kalanın 8 olduğu bir bölme işleminde bölen kaçtır?

Bölen, bölünenden kalanı çıkarıp elde edilen sayının bölüme bölünmesi ile bulunur. Bu işlem bu bölme işleminde şu şekildedir; 1589-8 = 1581, 1582/17= 93. Bu bölme işleminde bölen 93 olarak karşımıza çıkar.

• Örnek: Bölünenin 697, bölümün 19 ve kalanın 13 olduğu bir bölme işleminde bölen kaçtır?

Bu işlem için yapılması gerekenler şu şekildedir: 697-13= 684, 684/19= 36. Bu bölme işleminde bölen 36 sayısı olarak karşımıza çıkar.

→ Bölüm bulma örnekleri:

Bölüm bulunurken yapılacak işlem, bölen bulma ile aynıdır.

Bölüm= Bölünen-Kalan/ Bölen

• Örnek: Bölünenin 609, bölenin 14, kalanın 7 olduğu bir bölme işleminde bölüm kaçtır?

Bu işlemde yapılması gereken öncelikle bölünenden kalanı çıkarmak daha sonrasında bölene bulunan sayıyı bölmektir. 609-7= 602, 602/14= 43. Bu bölme işleminde bölüm 43 olarak karşımıza çıkar.

→ Kalan bulma örnekleri:

Kalan= Bölünen- Bölüm. Bölen

• Örnek: Bölünenin 1007, bölenin 45, bölümün 22 olduğu bir bölme işleminde kalan kaçtır?

Kalanın bulunması için yapılması gerekenler bölen ile bölümü çarpmak daha sonrasında ise bulunan sayıyı bölünenden çıkarmaktır. 45.22= 990, 1007- 990= 17. Bu bölme işleminde kalan 17 olarak karşımıza çıkar.

Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir.

Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.

Örnek:

Polinomunun katsayıları: 3, -2, 1, 5, 1 dir.

Polinomunun derecesi: 4 tür.

Polinomun Baş Katsayısı: 3 tür.

Sabit Terimi: 1 dir.

Tek dereceli terimlerin katsayıları: -2, 5 tir.

Çift dereceli terimlerin katsayıları: 3, 1, 1 dir.

Not: x=0 yazılarak polinomun sabit terimi, x=1 yazılarak, polinomun katsayılar toplamı bulunur. P(x) in sabit terimi P(0), katsayılar toplamı da P(1) dir.

Örnek:

olduğuna göre, P(x + 3)’ün katsayılar kaçtır?

Çözüm:

Not: Polinomun çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı:

Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

Örnek:

Sabit Polinom

c ϵ R ve c≠0 ( c, 0 dan farklı bir reel sayı ) olmak üzere P(x) = c biçimindeki polinomlar sabit polinom olarak adlandırılır. Sabit polinomun derecesi 0 dır.

Örnek: P(x)=5

Sabit polinomun derecesi 0 dır.

Sıfır Polinomu

P(x) = 0 biçimindeki polinomu sıfır polinomu olarak adlandırılır. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir.Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.

Polinomun Eşitliği

Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.

P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.

P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.

Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır.P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamıP(a + b) ve sabit terimi P(b) dir.

Örnek:

P(x) = ax² + (b – 3)x + 5
Q(x) = – 3x² + 5x + c + 7

P(x) = Q(x) olduğuna göre a,b,c nin alabileceği değeri bulunuz.

P(x) = Q(x) ise ax² + (b – 3)x + 5 = – 3x² + 5x + c + 7

a = – 3

b – 3 = 5

b = 8

c + 7 = 5

c = – 2

Polinomlarda Dört İşlem

Polinomlarda Toplama Çıkarma İşlemi

Polinomlarda toplama çıkarma yapılırken, aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.

Not: Dereceleri farklı olan iki polinomun toplamının veya farkının derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir.

Polinomlarda Çarpma İşlemi

P(x) ile Q(x) çarpılırken, P(x)’in bütün terimleri Q(x) in bütün terimleri ile çarpılır. Ortaya çıkan terimlerin toplamı, çarpımın sonucunu verir.

Örnek:

Polinomlarda Bölme İşlemi

der [ P(x) ] ≥ der [ Q(x)]

der [K(x) ] < der [ Q(x) ]

P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)

der [ K(x) ] < der [B (x) ] ise Q (x ) ile B(x) in yer değiştirmesi kalanı değiştirmez.

K (x) = 0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tm olarak bölünür. Bu durumda P(x) in çarpanlarından biri Q(x) polinomudur.

Örnek-1:

  Q (x)= x-1  polinomuna bölelim.

Örnek-2:

polinomunun (x – 2) ile bölümünden kalan kaçtır.

Polinomlarda Bölme İşleminin Yapılışı

Polinomlarda bölme işlemi sayılarda bölme işlemine benzer şekilde yapılır. Bunun için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır.

⇒ Bölünen ve bölen polinomlar x değişkeninin azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
⇒ Bölünen polinomun soldan ilk terimi , bölen polinomun soldan ilk terimine bölünür. Çıkan sonuç bölümün ilk terimi olur.
⇒ Bulunan bu sonuç bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak aynı dereceli terimler alt alta gelecek şekilde bölünen polinomun altına yazılır.
⇒ Bölünenin altına yazılan çarpım polinomu , bölünenin polinomdan çıkarılır.
⇒ Yukarıdaki işlemlere , kalan polinomun derecesi , bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam eder.

Örnek:

Örnek:

P(x) = 4x³– 3x² + x + 2 polinomunun ve Q(x) = x + 1 polinomu ile bölümünden bulunan kalanı ,bölüm polinomunu bulmadan bulunuz.

Çözüm:

K(x) polinomunu bölme yapmadan bulmamız isteniyor.

P(x) = Q(x) . B(x) + K(x) dir.
Der[ K(x)] < der[ Q(x) ] olacağı için, K(x) = c olur. ( c ∈ R )
P(x) = ( x + 1) . B(x) + c eşitliğinde x yerine -1 yazalım.
P(x) = ( -1 + 1) . B(- 1) + c
P(-1) = c bulunur.
P(-1 ) = 4 (- 1)³ – 3( -1)²– 1 + 2
P(-1 ) = 4 . (- 1) – 3 – 1 + 2
P(-1 ) = – 4 -3 – 1 + 2
P(-1 ) = – 6 olur.