Denklem Ve Eşitsizlik Sistemleri 11 Sınıf Çözümlü Sorular

Bu bölümde Eşitsizlikler ve Eşitsizlik Sistemleri ile ilgili 23 adet soru bulunmaktadır. Sorularınızı çözdükten sonra düşündüğünüz şıkka tıklayarak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol edebilirsiniz. Eğer soruları çözmekte zorlanırsanız; kolay anlaşılır detaylı çözümlere “Çözüm için Tıklayınız” seçeneği ile ulaşabilirsiniz. İyi Çalışmalar…

Eğer sorular ya da çözümler konusunda bir problem görür veyahut da bir tavsiye de bulunmak isterseniz; sayfanın en altında yer alan “Yorum Yap” seçeneği ile bunları anlık olarak iletebilirsiniz.

Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)

EŞİTSİZLİKLER VE EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ TESTİ www.matematikkolay.net 1) 2 x 5x 3 x 2 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 2 B) 5 C) 9 D) 12 E) 14 ÇÖZÜM: 2 2 2 ( 1).( 5) 2 Eşitsizliğin bir tarafını 0 bırakalım. x 5x 3 x 2 0 x 6x 5 0 olur. x 6x 5 0 denkleminin köklerini bulalım. (x 1)(x 5) 0 Kökler 1 ve 5 tir. x nin katsayısı da pozitif. İşaret tablosunu çizdikte n sonra, en sağ bölge olacak şekilde başlarız. Her kökte işaret değiştiririz. 0’dan küçük olan yerleri istiyoruz. O halde olan bölge, çözüm kümesidir. Eşitlik olmadığı için, kökler dahil değildir. Çözüm Kümesi (1, 5) aralığıdır. Buna göre, x tam sayıları 2, 3 ve 4 olabilir. Toplamları 2 3 4 9 dur. Cevap: C 2) 2 4x 2 8x 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi￾dir? A) B) {0} C) R {1} D) R E) {1} ÇÖZÜM: 2 2 2 2 2 4x 8x 4 0 her tarafı 4’e bölelim. x 2x 1 0 x 2x 1 0 denkleminin köklerini bulalım. (x 1) 0 x 1 (çift katlı kök vardır.) x nin katsayısı da pozitif. İşaret tablosunu çizdikten sonra, en sağ bölge olacak şekilde başlarız. Çift katlı kök olduğu için işaret değiştirmeyiz. 0’dan küçük ve 0’a eşit olan yerler isteniyordu. Bölge olarak hiç bir bölge, çözüme dahil değil. Eşitlik olduğu için kök, çözüme dahil olur. Buna göre, Çözüm kümesi {1} dir. Cevap : E 3) 2 a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, x 8x a 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi R {b} olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? A) 96 B) 64 C) 16 D) 48 E) 72 ÇÖZÜM: 2 2 2 b hariç tüm reel değerler için eşitsizlik sağlanıyormuş. O halde bu denklemin çift katlı bir kökü vardır, o da x b değeridir. Bunun için 0 olmalıdır. Not : ax bx c 0 denkleminde b 4ac dir. 8 4.( 1 2 2 2 ).a 0 64 4a 0 a 16 dır. x 8x 16 0 denkleminin kökünü bulalım. x 8x 16 0 (her taraf ile çarpıldı.) (x 4) 0 x 4 tür. Demek ki b 4 tür. Buna göre, a.b 16.4 64 tür. Cevap: B www.matematikkolay.net 4) 2 a bir gerçel sayı olmak üzere, ax 12x 3 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi R olduğuna göre, a’nın değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 14 B) 9 C) 10 D) 13 E) 15 ÇÖZÜM: 2 2 0 olursa denklemin kökü olmaz. x nin işareti ( ) pozitif olursa işaret tablosunda tüm ifade sürekli pozitif kalır ve bu şekilde eşitsizlik sürekli sağlanır. 0 12 4.a.3 0 144 12a 0 144 12a 12 a a 12 ol malıdır. Cevap : D 5) 2 (x 5x 4)(x 1) 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi￾dir? A) ( , 4) B) ( , 4) {1} C) (4, ) {1} D) ( , 1] E) ( , 4] {1} ÇÖZÜM: 2 ( 1)( 4) 2 Denklemin köklerini bulalım. (x 5x 4 )(x 1) 0 (x 1)(x 4)(x 1) 0 Kökler x 1 (çift katlı kök) ve x 4 tür. İşareti tespit edelim. (x 5x 4)(x 1) ( ).( ) olur. İşaret tablosunu çizelim. (En sağdan başlıyoruz ve çift katlı köklerde işaret değiştirmiyoruz.) Eşitlik olmadığı için kökler dahil değildir. Buna göre, çözüm kümesi ( , 4) {1} dir. Cevap: B 6) a, b, c, d ardışık çift sayılar ve a b c d olmak üzere, (x a)(x b)(x c)(x d) 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÇÖZÜM: Denklemin kökleri a, b, c ve d dir. İşareti tespit edelim. (x a)(x b)(x c)(x d) dır. Buna göre, tabloyu çizelim. Çözüm kümesi (a, b) (c, d) dir. Ardışık çift sayılar olduklarından a ile b arasında sadece 1 tam sayı vardır (Ör : 4 ile 6 arasında sadece 5 var dır.). Aynı şekilde c ile d arasında da sadece 1 tam sayı va r dır. Toplamda 2 tam sayı olur. Cevap: B 7) 4 (9 x )(x 2) 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangi￾dir? A) ( 2, 3) (3, ) B) ( 3, 2) C) ( 2, 3) (2, ) D) ( 3, 3) E) ( 2, 3) ( 3, ) www.matematikkolay.net ÇÖZÜM: 2 2 2 kök yok x 2 x 3 x 3 4 (3 x )(3 x )(x 2) 0 ( 3 x)( 3 x)(3 x )(x 2) 0 İşareti bulalım. (9 x )(x 2) dir. Çözüm kümesi ( 2, 3) ( 3, ) dur. Cevap: E 8) 2 2 x 8x 15 0 x 9 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi￾dir? A) {3} [5, ) B) [5, ) C) ( 3, 5] {3} D) ( , 3) (3, 5] E) ( 3, 3) ÇÖZÜM: 2 ( 5)( 3) x 5 x 3 2 x 3 x 3 Pay ve paydadaki ifadelerin köklerini bulalım. x 8x 15 0 (x 5)(x 3) 0 x 9 0 (x 3)(x 3) 0 x 3 kökü iki defa geçtiğinden çift katlı köktür. Paydayı 0 yapan x 3 ve x 3 değerl 2 2 eri, çözüme dahil edilmez. x 8x 15 İşareti tespit edelim. dır. x 9 Çözüm kümesi ( 3, 5] {3} tür. Cevap: C 9) 2 2 (x 3x 2)( x 3) 0 (x 2) (x 1) eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÇÖZÜM: 2 ( 2)( 1) x 2 x 1 2 Pay ve paydadaki ifadelerin köklerini bulalım. x 3x 2 0 (x 2)(x 1) 0 x 3 0 x 3 tür. (x 2) 0 x 2 dir (2 defa). x 1 0 x 1 dir. x 2 kökü toplamda 3 defa geçtiği için tek kat Not : 2 2 lı köktür. (x 3x 2)( x 3) İşareti tespit edelim. dir. (x 2) (x 1) Paydayı 0 yapan değerleri çözüme eklemiyoruz. Not : Çözüm kümesi [ 3, 1) [1, 2) dir. Buna göre, 3, 2 ve 1 tam sayıları eşitsizliği sağlar. Toplamları da 4 tür. Cevap : D 10) 2 x 8 .(x 5) 0 (x 4) (x 1) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 www.matematikkolay.net ÇÖZÜM: Mutlak değerli ifadeler negatif olamayacağı için eşitsizlik tablosunda bunların köklerine yer verme – yebiliriz (Yer verirsek çift katlı kök olarak gösterme￾liyiz ). Daha sonra kökün durumunu ayrıyeten in 2 celeriz. x 8 0 x 8 kökü eşitsizliği sağlar. Bu kökü işaret tablosunda göstermeyeceğiz ama çözüme dahil edeceğiz. x 5 0 x 5 (x 4) 0 x 4 (2 defa) x 1 0 x 1 dir. x 8 .(x İşareti tespit edelim. 2 5) dır. (x 4) (x 1) Çözüm kümesi (1, 5] { 8} dir. Tam sayı olarak 8, 2, 3, 4, 5 5 tanedir. Cevap : E

Sayfalar: 123

1. iKiNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİ

A) İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler

a, b, c, d, e, f gerçek sayılar ve a, b, c sayılarından en az ikisi sıfırdan farklı olsun.

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 

şeklindeki denklemlere ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

B) Denklem Sistemleri

İki bilinmeyenli en az iki denklemden oluşan denklem sisteminde, denklemlerden en az biri ikinci dereceden ise bu sisteme ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.

Dikkat:
Denklem sistemindeki denklemlerin ortak çözümü de, denklem sisteminin çözüm kümesini verir. Bu çözüm kümesi genellikle sorularda ÇK ile gösterilir.
Örneğin;
x² – y = – 10   (I)
2x – y = 7       (II)
denklem sisteminde II nolu denklemde
2x – y = 7 ve y = 2x -y
olduğundan I nolu denklemde y yerine 2x – 7 yazılıp çözüme gidilebilir.

2. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER

A) İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Fonksiyonun İşareti

a ≠ 0 ve f: R → R olmak üzere

f(x) = y = ax² + bx + c fonksiyonunun işareti aşağıdaki gibi incelenir.

B) İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözümü

a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c ≤ 0
ifadelerinin her birine ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir. Çözüm yapılırken;

• Önce, f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun işaret tablosu yapılır.
• Sonrada eşitsizliğin yönüne göre, tabloda belirtilen aralık çözüm kümesini oluşturur.

Dikkat:
a ∈ R⁺ olmak üzere
ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ (x₁ < x₂) olsun.

• ax² + bx + c < O eşitsizliğininin çözüm kümesi kökler arası, yani (x₁, x₂) aralığıdır.
• ax² + bx + c > O eşitsizliğininin çözüm kümesi de kökler dışı yani (-∞, x₁) u (x₁, ∞) olur.

C) Eşitsizliğin Daima Sağlanması Durumu

• ax² + bx + c < 0 eşitsizliğinin daima (her x gerçek sayısı için) sağlanması için
  Δ < 0 ve a < 0 olmalı.
• ax² + bx + c > 0 eşitsizliğinin daima (her x gerçek sayısı için) sağlanması için
  Δ < 0 ve a > 0olmalı.

D) Gerçek Sayılardaki Çözüm Kümesinin Boş Küme Olması Durumu

• ax² + bx + c < 0 eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm kümesinin Ø olması için
  Δ < 0 ve a > 0olmalıdır.
• ax² + bx + c > 0 eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm kümesinin Ø olması için
• Δ < 0 ve a < 0olmalıdır.

E) Poinomların Çarpımı Şeklindeki Eşitsizlikler

P(x) . Q(x) . R(x) < 0

veya

P(x) . Q(x) . R(x) > 0

şeklindeki eşitsizliklere ait işaret tablosu yapılırken

P(x) . Q(x) . R(x)

ifadesinin sıfırlayanları tabloda yerleştirilir. P(x), Q(x) ve R(x) ifadelerinin her birinin işaret durumuna göre çarpımın işareti bulunup, işaret tablosunda en sağdaki bölmeden başlayarak

… ← Aynısı ← Tersi ← Aynısı

şeklinde işaretlenir. Bu işaretlemede çift katlı köklere (çift miktarda olan köklere) dikkat edilir.

F) Polinomların Bölümü Şeklindeki Eşitsizlikler

gibi eşitsizliklere ait işaret tablosu yapılırken

P(x) = 0 ve Q(x) = 0 olmasını sağlayan x değerleri tabl

oda yerleştirilir.

 ifadesinin işareti bulunup en sağ bölmeden başlayarak

… ← Aynısı ← Tersi ← Aynısı

şeklinde işaretlenir.

G) Eşitsizlik Sistemleri

Verilen bir eşitsizlik sisteminin çözümü bulunurken

• Her bir eşitsizliğin çözüm aralığı bulunur.
• Bulunan çözüm aralıklarının kesişim kümesi bulunur.

Bu kesişim kümesi eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini oluşturur.

Matematik 11.Sınıf

istediğin  kadar aynı konuyu tekrar yapabilirsin. Çözemediğin  soruları  cep telefonunla çek gönder, anında çözümü gelsin. Çözemediğin soru, öğrenmediğin konu kalmasın. Türkiye geneli deneme sınavlarına ücretsiz katıl. Arkadaşlarınla fark oluştur.

Paket içeriği:

10 saat canlı ders

11.sınıf Matematik  konularının tamamını sınırsız izleme imkanı

Sınırsız 7/24 tüm derslerden   soru sorma imkânı (1 Ay Boyunca)

Türkiye geneli deneme sınavlarına katılma imkanı (Canlı dersin  alındığı ay yapılan denemelere)

11. Sınıf Matematik Konuları

1. Ünite: Trigonometri

• Yönlü Açılar
  • Yönlü Açı
  • Açı Ölçü Birimleri
• Trigonometrik Fonksiyonlar
  • Trigonometrik Fonksiyonların Birim Çember Yardımıyla Açıklanması
  • Kosinüs Teoremi
  • Sinüs Teoremi
  • Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri
  • Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

2. Ünite: Analitik Geometri

• Doğrunun Analitik İncelenmesi
  • Analitik Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık
  • Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları
  • Analitik Düzlemde Doğrular
  • Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı

3. Ünite: Fonksiyonlarda Uygulamalar

• Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar
  • Fonksiyonun Grafik ve Tablo Temsilini Kullanarak Problem Çözme
• İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri
  • İkinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyon Grafiğinin Çizimi
  • İkinci Dereceden Fonksiyonlarla Modellenebilen Problemler
• Fonksiyonların Dönüşümleri

4. Ünite: Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

• İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
  • İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Kümesi
• İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve Eşitsizlik Sistemleri
  • İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi
  • İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemlerinin Çözüm Kümesi

5. Ünite: Çember ve Daire

• Çemberin Temel Elemanları
  • Çemberde Teğet, Kiriş, Çap, Yay ve Kesen
  • Çemberde Kirişin Özellikleri
• Çemberde Açılar
  • Bir Çemberde Merkez Açı, Çevre Açı, İç Açı ve Teğet-Kiriş Açı
• Çemberde Teğet
  • Çemberde Teğetin Özellikleri
• Dairenin Çevresi ve Alanı
  • Dairenin Çevre ve Alan Bağıntıları

6. Ünite: Uzay Geometri

• Katı Cisimler
  • Dik Dairesel Silindir
  • Dik Dairesel Koni
  • Kürenin Alan ve Hacim Bağıntıları

7. Ünite: Olasılık

• Koşullu Olasılık
  • Koşullu Olasılık
  • Bağımlı ve Bağımsız Olaylar
  • Bileşik Olaylar
• Deneysel ve Teorik Olasılık
  • Deneysel Olasılık ile Teorik Olasılığın İlişkilendirilmesi