Denklem Ve Eşitsizlikler Sistemi

Thesis Type: Postgraduate

Institution Of The Thesis: Gazi &#;niversitesi, Eğitim Bilimleri Enstit&#;s&#;, Turkey

Approval Date:

Student: AZER BURCU YARDIM

Supervisor: DEVRİM ÇAKMAK

In this study, it was aimed to investigate the effects of 5E learning cycle usage on students' linear equations systems and inequalities and their effect on meaningful learning. The universe of this research is a state school in the province of Siverek in Şanlıurfa province in the academic year of The students to participate in the study were selected from the 8th grade branches as a class experimental group and a class as the control group and randomly selected according to the average of the pretest point averages. There are 29 students in the experimental group and 28 students in the control group. In the study, pre-test-post test matched control group pattern was used from experimental designs. The study was taught with the activities of the 5E learning cycle model for the experimental group for four weeks and the activities in the current program according to the traditional method for the control group. Qualitative and quantitative data collection methods using mixed method were used in the research. Mathematics Achievement Test (MBT) was used as a quantitative data collection tool and semi-structured interview questions were used to obtain qualitative data. The item multiple choice MBT was used as pretest, posttest and retention test. For the analysis of the data, Microsoft Office Excel and SPSS program were used. As a result of the analyzes performed, there was an increase in favor of the experimental group on average between the posttest point averages of the experimental and control groups, but no statistical significance was found. When the analyzes of the data obtained from the retention test were examined, it was seen that there was a statistically significant difference between experiment and control group. When the data of the interviews with the experiment group were analyzed, it was found that the training of the 5E learning cycle model enabled the learning to be taught more permanently. Results have been obtained that support the view that the 5E learning cycle model emerges from previous learners and that new knowledge is synthesized by existing knowledge. The 5E learning cycle model has resulted in a meaningful learning of learners and a positive effect on retention.

1. iKiNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİ

A) İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler

a, b, c, d, e, f gerçek sayılar ve a, b, c sayılarından en az ikisi sıfırdan farklı olsun.

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 

şeklindeki denklemlere ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

B) Denklem Sistemleri

İki bilinmeyenli en az iki denklemden oluşan denklem sisteminde, denklemlerden en az biri ikinci dereceden ise bu sisteme ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.

Dikkat:
Denklem sistemindeki denklemlerin ortak çözümü de, denklem sisteminin çözüm kümesini verir. Bu çözüm kümesi genellikle sorularda ÇK ile gösterilir.
Örneğin;
x² &#; y = &#; 10   (I)
2x &#; y = 7       (II)
denklem sisteminde II nolu denklemde
2x &#; y = 7 ve y = 2x -y
olduğundan I nolu denklemde y yerine 2x &#; 7 yazılıp çözüme gidilebilir.

2. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER

A) İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Fonksiyonun İşareti

a ≠ 0 ve f: R → R olmak üzere

f(x) = y = ax² + bx + c fonksiyonunun işareti aşağıdaki gibi incelenir.

B) İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Çözümü

a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c ≤ 0
ifadelerinin her birine ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir. Çözüm yapılırken;

• Önce, f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun işaret tablosu yapılır.
• Sonrada eşitsizliğin yönüne göre, tabloda belirtilen aralık çözüm kümesini oluşturur.

Dikkat:
a ∈ R⁺ olmak üzere
ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ (x₁ < x₂) olsun.

• ax² + bx + c < O eşitsizliğininin çözüm kümesi kökler arası, yani (x₁, x₂) aralığıdır.
• ax² + bx + c > O eşitsizliğininin çözüm kümesi de kökler dışı yani (-∞, x₁) u (x₁, ∞) olur.

C) Eşitsizliğin Daima Sağlanması Durumu

• ax² + bx + c < 0 eşitsizliğinin daima (her x gerçek sayısı için) sağlanması için
  Δ < 0 ve a < 0 olmalı.
• ax² + bx + c > 0 eşitsizliğinin daima (her x gerçek sayısı için) sağlanması için
  Δ < 0 ve a > 0olmalı.

D) Gerçek Sayılardaki Çözüm Kümesinin Boş Küme Olması Durumu

• ax² + bx + c < 0 eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm kümesinin Ø olması için
  Δ < 0 ve a > 0olmalıdır.
• ax² + bx + c > 0 eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm kümesinin Ø olması için
• Δ < 0 ve a < 0olmalıdır.

E) Poinomların Çarpımı Şeklindeki Eşitsizlikler

P(x) . Q(x) . R(x) < 0

veya

P(x) . Q(x) . R(x) > 0

şeklindeki eşitsizliklere ait işaret tablosu yapılırken

P(x) . Q(x) . R(x)

ifadesinin sıfırlayanları tabloda yerleştirilir. P(x), Q(x) ve R(x) ifadelerinin her birinin işaret durumuna göre çarpımın işareti bulunup, işaret tablosunda en sağdaki bölmeden başlayarak

&#; ← Aynısı ← Tersi ← Aynısı

şeklinde işaretlenir. Bu işaretlemede çift katlı köklere (çift miktarda olan köklere) dikkat edilir.

F) Polinomların Bölümü Şeklindeki Eşitsizlikler

gibi eşitsizliklere ait işaret tablosu yapılırken

P(x) = 0 ve Q(x) = 0 olmasını sağlayan x değerleri tabl

oda yerleştirilir.

 ifadesinin işareti bulunup en sağ bölmeden başlayarak

&#; ← Aynısı ← Tersi ← Aynısı

şeklinde işaretlenir.

G) Eşitsizlik Sistemleri

Verilen bir eşitsizlik sisteminin çözümü bulunurken

• Her bir eşitsizliğin çözüm aralığı bulunur.
• Bulunan çözüm aralıklarının kesişim kümesi bulunur.

Bu kesişim kümesi eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini oluşturur.