Dönerek Öteleme

Dönme hareketini ve dönerek öteleme hareketini incelemiştik. Şimdi bu hareket çeşitlerinde kinetik enerji nasıl bulunur formülü nedir, inceleyeceğiz. Önce kinetik enerji öteleme hareketinde nasıldı, hatırlayalım. m kütleli bir cisim h süratiyle hareket ediyorsa kinetik enerjisi şöyledir:
KE = \frac{1}{2}mv^2

Peki olduğu yerde dönen bir cismin kinetik enerjisi nasıldır? En basit haliyle düzgün çembersel hareket yapan m kütleli bir cismi inceleyelim. Aşağıdaki resimde m kütleli bir cisim r yarıçaplı bir çember etrafında v çizgisel hızıyla düzgün çember hareket yapıyor olsun. Bu cismin kinetik enerjisini nasıl buluruz?

KE = \frac{1}{2}mv^2

Açısal hız ile çizgisel hız arasındaki ilişkiyi hatırlayalım:
v = \omega r

Şimdi bunu yerine yazalım:
KE = \frac{1}{2}m(\omega r)^2 = \frac{1}{2}mr^2\omega^2

Eylemsizlik momentini de öğrenmiştik. Düzgün çembersel hareket yapan böyle bir cismin eylemsizlik momenti:
I = mr^2

Bunu da yerine yazalım:
KE = \frac{1}{2}I\omega^2

Dönen bir cismin kinetik enerjisinin cismin eylemsizlik momenti ile ve açısal hızının karesiyle doğru orantılı olduğunu bulmuş olduk. Peki şimdi bir örnek çözelim.

Örnek soru 1:

m kütleli L uzunluğunda bir çubuk dönme ekseni ortasında olacak şekilde ve dönme ekseni çubuğun bir ucunda olacak şekilde döndürülüyor. Her iki durumda da kinetik enerjileri eşit olduğuna göre çubuğun birinci durumdaki açısal hızının ikinci durumdaki açısal hızına oranı kaç olur?

Çözüm

Öncelikle eylemsizlik momentlerini ezberlemenize gerek yok, bunlar sorularda verilir. Bir çubuk için dönme ekseni ortasındaysa ve ucundaysa I değerleri şöyleydi:
I_{orta} = \frac{1}{12}mL^2; I_{uc} = \frac{1}{3}mL^2

Artık kolay bu soruyu çözmek:
KE_{orta} = \frac{1}{2}(\frac{1}{12}m(\frac{L}{2})^2)\omega_{orta}^2

Kinetik enerjiler eşit olduğuna göre:
\frac{1}{2}(\frac{1}{12}m(\frac{L}{2})^2)\omega_{orta}^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}m(\frac{L}{2})^2)\omega_{uc}^2

Dönerek öteleme hareketinde kinetik enerji

Şimdi de dönerek öteleme hareketinde kinetik enerjiyi inceleyelim. Aşağıdaki resimde m kütleli bir cisim yatay bir zeminde kaymadan dönerek öteleme hareketi yapıyor. Cismin kütle merkezinin v hızıyla gittiğini ve cismin de ω açısal hızıyla döndüğünü görüyoruz. Bu cismin kinetik enerjisi hem cismin kütle merkezinin öteleme hareketinden hem de dönme hareketinden kaynaklanıyor, dolayısıyla ikisinin toplamına eşit.

Örnek soru 2

Yukarıdaki şekilde h yüksekliğinde bir eğik düzlemden içi dolu bir silindir serbest bırakılıyor. İlk durumda silindir eğik düzlemde sadece kayarak ilerliyor. İkinci durumda ise hiç kaymadan sadece dönerek hareket ediyor. Silindirin yarıçapı 1 metre ise, ilk durumda eğik düzlemin sonuna geldiğindeki hızının ikinci durumda eğik düzlemin sonuna geldiğindeki oranı kaç olur? (I=1/2mr²)

Çözüm

Silindir sadece kayıyorsa, sadece öteleme hareketi yapıyor demektir. Öyleyse kimetik enerjisi:
KE_1 = \frac{1}{2}mv_1^2

silindir sadece dönüyor hiç kaymıyorsa o zaman dönerek öteleme hareketi yapıyor demektir. Öyleyse:
KE_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 + \frac{1}{2}I\omega^2

Başlangıçta potansiyel enerjileri aynı olduğuna göre, eğik düzlemin sonuna geldiklerinde kinetik enerjileri de aynı demektir.
KE_1 = KE_2 = mgh

Şimdi dönen silindirin açısal hızını bulalım:
v = \omega r; \omega = \frac{v}{r}

Eşitliği yazalım ve bunu yerine koyalım:
\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mv_2^2 + \frac{1}{2}I \frac{v_2^2}{r^2}

Şimdi eylemsizlik momentini yazalım:
I = \frac{1}{2}mr^2; r = 1; I = \frac{m}{2}

Tekrar düzenleyelim:
\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mv_2^2 + \frac{1}{2}\frac{m}{2} \frac{v_2^2}{1^2} = \frac{1}{4}mv_2^2

Dönme ve dönerek öteleme hareketi ile ilgili kazanımlar

Dönme ve dönerek öteleme hareketi yapan cismin kinetik enerjisinin bağlı olduğu değişkenleri açıklar.

• Matematiksel hesaplamalara girilmez.

Daha önce hareket çeşitleriniöğrendiğinizde öteleme hareketinin bir cismin düz bir yol (bu yola yörünge denir) boyunca, belirli bir doğrultuda ve yönde ilerlemesi olduğunu öğrenmiştiniz. Dönme hareketinin de bir cismin belli bir nokta (bu noktaya eksen denir) etrafında dönmesi olduğunu görmüştünüz. Dönme hareketi yapan bir cismin ekseni etrafındaki tüm noktalarçembersel hareket yapar; ancak dönme ekseni üzerinde kalan noktalar olduğu yerde döner. Dönerek öteleme hareketi bu iki hareket çeşidinin aynı anda olmasıdır. Bu hareket türünün en güzel örneği de bir tekerleğin kaymadan dönme ve öteleme hareketini birlikte yaparak ilerlemesidir. Şimdi bir bisiklet tekerini bir çember olarak modelleyip bu hareket neye benziyor aşağıdaki animasyonda inceleyelim.

Tekerleğin üzerinde seçtiğimiz kırmızı noktanın hareketine dikkatli bakın. Hangi tür hareketi yapıyor? Dönme değil mi? Peki tekerleğin ağırlık merkezi hangi tür hareketi yapıyor? Ağırlık merkezi çemberin de merkezi, küçük siyah nokta. Öteleme hareketi yapıyor. Ayrıca tekerleğin kaymadığına da dikkat edin. Kırmızı noktanın kırmızı eğri ile gösterilen yörüngesinin özel bir adı var: sikloid (parabol ya da doğru gibi).

Şimdi de dönerek öteleme hareketinde hızı inceleyelim. Hızın vektörel bir büyüklük olduğunu hatırlatalım. Aşağıdaki animasyonda az önceki tekerleğin bu kez hız vektörleri gösteriliyor.

Kırmızı noktaya odaklanın. Bu noktanın yatay bir hızı olduğuna (x eksenine paralel) dikkat edin. Bu yatay hız vektörünün yönü hiç değişmiyor. Bir de kırmızı noktanın çembere teğet olan, dönme hareketinden kaynaklanan hızı var. Bu hız vektörünün yönü sürekli değişiyor. Yatay ve dikey hız vektörlerinin vektörel toplamı, yani bileşke hızın da hem büyüklüğü hem de yönü değişiyor. Peki yatay ve dikey hız bileşenlerinin büyüklüğünün aynı olduğunu farkedebildiniz mi? Açıklayalım.

Yukarıdaki resimde kırmızı noktanın çemberin üstünde bir tam tur atıp tekrar başladığı yere dönmesi gösteriliyor. Bir tam tur demek çemberin çevresi demek yani aldığı yol 2πr. Bu yolun t saniye kadar sürdüğünü varsayarsak, dönme hızı v_dönme = 2πr/t olur. Tekerlek kaymadan sadece dönerek ilerlediği için t sürede çemberin merkezinin aldığı yol da çemberin çevresine eşit olur yani 2πr’ye. Öyleyse çemberin öteleme hızı da v_öteleme = 2πr/t olur.

Peki verilen bir noktanın yere göre anlık hızını nasıl hesaplarız? Bunu da gösterelim.

Yukarıdaki resim biraz karışık gibi gelebilir. Adım adım anlatalım. Dönerek ilerleyen çemberin üstündeki noktaları görüyoruz. Çemberin öteleme hızı v, mavi okla gösterilmiş. Çemberin merkezinin yere göre sadece öteleme hızı, çemberin üzerindeki diğer tüm noktaların ise yere göre hem öteleme hem de dönme hızları olduğuna dikkat edin. Çemberin üstündeki noktaların dönme hızlarının büyüklüğü de v, ama yönleri değişiyor, bu dönme hız vektörü de kırmızı okla gösterilmiş. Yeşil ok da bileşke hız vektörünü gösteriyor. Şimdi sırayla bakalım:

• A noktasında öteleme ve dönme hızları zıt yönlü, büyüklükleri de eşit. Vektörleri topladığımızda bileşkenin sıfır olduğunu görüyoruz. Yani tekerlek yere temas ettikleri anda yerden bakan bir gözlemciye göre duruyormuş gibi görünüyor. Bağıl hızı hatırlayın.
• B noktasında birbirine öteleme ve dönme hız vektörlerinin birbirine dik olduğunu görüyoruz. Vektör toplamı yaparsak bu noktadaki bileşke hızın büyüklüğü kaç v olur? v√2.
• C noktasında öteleme ve dönme vektörleri aynı yönlü, vektörleri topladığımızda bu noktadaki bileşke hızın 2v olduğunu görüyoruz.
• D noktası tıpkı B noktası gibi. v√2
• E noktası ise en genel hali: İki hız vektörünün bileşkesini kosinüs teoremine göre bulabiliriz:

v²_bileşke = v² + v² + 2vv(cosθ) = 2v² (1+cosθ)
v_bileşke = (v√2)√(1+cosθ)

Örnek soru

Bir araba 20 m/s süratle düzgün doğrusal hareket yapmaktadır. Arabanın tekerleklerinden birinin üzerindeki bir noktanın yatayla yaptığı açı 120° olduğuna göre, yerden bakan gözlemci bu noktanın hızını kaç m/s olarak görür?

Çözüm

Bu soru yukarıdaki şekildeki E noktasını tarif ediyor. İstersek vektörleri çizip bulabiliriz, istersek cosinus teoremini kullanabiliriz. Ben ikinci yoldan çözeyim:

v_{bileske} = v\sqrt{2}(\sqrt{1 + cos\theta})v_{bileske} = 20\sqrt{2}(\sqrt{1+(-\frac{1}{2})}) = 20\sqrt{2}(\sqrt{\frac{1}{2}}) = 20 m/s

Dönerek öteleme hareketi ile ilgili kazanımlar

• Öteleme ve dönme hareketini karşılaştırır.

Dönerek öteleme hareketi yapan silindir şeklindeki bir cisim için sürtünme kuvveti önemli midir? Şekil çizerek açıklayınız. ‘a ulaşabilmek ve dersinizi kolayca yapabilmek için aşağıdaki yayınımızı mutlaka inceleyiniz.

Dönerek öteleme hareketi yapan silindir şeklindeki bir cisim için sürtünme kuvveti önemli midir? Şekil çizerek açıklayınız.

Dönerek öteleme hareketi yapan silindir şeklindeki bir cisim için sürtünme kuvveti önemli midir? Şekil çizerek açıklayınız.

• Cevap: Aslında şekle gerek yok. Sürtünme kuvveti, birbirine temas eden iki yüzey arasında oluşur. Silindir dönerken temasa yüzey ettiği için sürtünme kuvveti oluşur. Sürtünme kuvveti de zemine temas ettiği alana göre değişiklik gösterir.

9. Sınıf Fizik Meb Yayınları Ders Kitabı Sayfa 159 Cevabı ile ilgili aşağıda bulunan emojileri kullanarak duygularınızı belirtebilir aynı zamanda sosyal medyada paylaşarak bizlere katkıda bulunabilirsiniz.

Bir cismin kütle merkezinin bir noktadan başka bir noktaya belirli bir doğrultuda yer değiştirmesine öteleme hareketi denir. Sabit bir eksen etrafında bir cismin dolanmasına da dönme hareketi denir.

Arabanın tekerleği dönme hareketi yaparken araba öteleme hareketi yapmaktadır. Öteleme hareketi yapan bir cisim için bütün noktalarında öteleme hızı aynıdır ve kütle merkezinin hızına eşittir.

• Öteleme hızı ile gösterilir.
• Dönme hızı ile gösterilir.

Rüzgar gülünü düşündüğümüzde merkeze doğru dönme hızı azalırken pervane uçlarına doğru dönme hızı yarıçapa bağlı olarak artmaktadır.

Bisiklete binen bir kişiyi düşünelim. Bisikleti süren kişi sadece öteleme hareketi yaparken bisikletin tekerleği öteleme ve dönme hareketi yapmaktadır. Tekerleğin herhangi bir noktasının hızı ise dönme ve öteleme hızlarının bileşkesidir. Tekerleğin kütle merkezi ise sadece öteleme hareketi yapar.

Eylemsizlik Momenti

Bir cismin hareketinde veya hareketsizliğinde meydana gelen bir değişime karşı gösterdiği direnme eğilimine eylemsizlik denir. Buradan hareketle, belirli bir eksen etrafında dönmekte olan cismin açısal hızında meydana gelen değişikliğe karşı gösterdiği direnme eğilimine eylemsizlik momenti denir. Skaler bir büyüklük olup I ile gösterilen eylemsizlik momentinin birimi ise ‘dir.

Eylemsizlik momenti; parçacıkların kütlesine, parçacıkların dönme eksenine olan uzaklığına ve cismin şekline bağlıdır. m kütleli bir noktasal cismin, r uzaklıktaki bir eksen etrafında dolanırken eylemsizlik momenti ile ifade edilir. Eğer cisim birden çok parçadan oluşuyor ise eylemsizlik momenti her bir parçacığa ait değerlerinin toplamına eşittir.

Dönmeye karşı cismin direncini belirleyen eylemsizlik momentinin özellikleri aşağıda sıralanmıştır.

1. Öteleme hareketindeki kütlenin yerine dönme hareketinde eylemsizlik momenti alınır.
2. Eylemsizlik momenti cismin şekline ve kütle merkezinin dönme eksenine olan dik uzaklığına bağlıdır.

Aşağıda düzgün geometrik şekilli cisimlerin eylemsizlik momentleri verilmiştir.

• İçi Dolu Küre
• İçi Dolu Silindir
• Çubuk
• Halka
• Disk

Dönme ve Dönerek Öteleme Hareketi Yapan Cisimlerin Kinetik Enerjisi

Noktasal binlerce cisimden oluşan bir topaç düşünelim. Bu topaç belli bir eksen etrafında dönerken dönmeden kaynaklı bir kinetik enerji oluşur ve bu enerjiye dönme kinetik enerjisi denir. Dönme kinetik enerjisi cismi oluşturan her bir kütlenin kinetik enerjisi toplamı ile hesaplanır. Kinetik enerji hesabında çizgisel hız yerine formülü kullanıldığında

• şeklinde hesaplanır.
• Düzenlenir ise;
• Eylemsizlik momenti (I) yerine yazılır ise;
• Öteleme hareketi yapan ve kütlesi m, hızı v olan bir cismin öteleme kinetik enerjisi;
• Dönerek ilerleyen bir cisimde ise hem öteleme hem de dönme kinetik enerjisi vardır. Bu cisim için toplam kinetik enerji öteleme ve kinetik enerji toplamı ile bulunur.