Dört Bilinmeyenli Denklem Çözümü

Matlab (Matrix Laboratory)bir çok matematiksel ve grafiksel işlemlerin yapıldığı, genellikle matematikçilerin ve mühendislerin kullandığı bir bilgisayar programıdır. Çoğu kişilerce matlab yazılım dili olarak kabul edilmez. Çünkü kullanılacak kodlar hazırdır ve kullanıcının kolay ve hızlı erişebileceği şekildedir.


             
Bu yazımızda matlabile çok bilinmeyenli denklem sistemlerinin kolayca çözülmesini sağlayan bir komuttan bahsedeceğiz. Matlab'da bu çözümleri sağlayan bir çok komut ve algoritma vardır.Kullanım kolaylığı ve anlaşılabilirlik açısından bu yazımızda ''linsolve''komutundan bahsedeceğiz.

* İlk önce denklemlerimizi yazalım.

2x+5y-3z=10
4x-5y+7z=5
x+y-z=4

*Yazdığımız 3 bilinmeyenli 3 denklem için ''linsolve''komutunu kullanalım
             
A=[2 5 -3;4 -5 7;1 1 -1];
B=[10;5;4];
sonuc=linsolve(A,B)



Görüldüğü gibi  eşitliğin sol tarafındaki bilinmeyenlerin katsayılarını editörümüze 3x3 lük
A matrisi ile tanıttık.Daha sonra 3x1 lik B matrisi ile eşitliğin sağ tarafındaki sonuçlarımızı programımıza tanıttık.''linsolve'' komutu ile de denklemimizi çözdük.

Denklem çözüldüğünde aşağıdaki gibi bir sonuç çıkması gerekmektedir. Çözümde sırasıyla x,y,z değerleri verilmiştir.

         sonuc =

                      2.9167
                      0.4583
                     -0.6250

Daha önce belirttiğimiz gibi çok bilinmeyenli denklemleri matlab ile çözmek için birden çok yöntem vardır. En kolay ve anlaşılır olanlardan bir tanesini yazımızda anlatmaya çalıştık. Herhangi bir eksik ya da sorunuz için yorum yapabilirsiniz.

Share:

Bu gibi çok bilinmeyenli denklemleri çözmek için matrisler kullanılarak bir çok yöntem geliştirilmiş. Kaynak olarak matematik ve cebir kitaplarını kullanabilirsin. Hatta http://www.ercangurvit.com/numerikanaliz/numerik.htmgibi bir çok siteyi kaynak kullanabilirsin. Aklımda en çok kalan teknik yok etme etoduydu. Mesela:

D1->2a+3b-4c+d=2
D2->a-b+c+d=2
D3->-a+2b+3c+4d=8
D4->-2a+2b-5c+6d=1

şeklinde 4 denklem olsun, D2,D3 ve D4 denklemlerinde ilk adımda a değişkenlerini yok edeceğiz. Bunun için D2 yerine D1-2xD2 yazılacak, buna göre D3->D1+2xD3, D4->D1+D2 olacak.

D2->
2a+3b-4c+d=2
-2.(a-b+c+d)=-2.2
--------------------------
2a+3b-4c+d=2
-2a+2b-2c-2d=-4
---------------------------
5b-6c-d=-2 çıkacak ve bu bizim D2'mizin yeni hali olacak.

D3->
2a+3b-4c+d=2
-2a+4b+6c+8d=16
--------------------
7b+2c+9d=18

D4->
2a+3b-4c+d=2
-2a+2b-5c+6d=1
-----------------
5b-9c+7d=3

buna göre yeni denklem sistemimiz
D1->2a+3b-4c+d=2
D2-> 5b-6c-d=-2
D3-> 7b+2c+9d=18
D4-> 5b-9c+7d=3
olacak, dikkat edilirse 3 bilinmeyenli bir alt denklem sistemi oluşturduk (D2,D3,D4). Aynı işlemi bu alt sisteme uygulamak gerekmektedir.
D3->7xD2-5xD3, D4->D2-D4
D3->
7.(5b-6c-d)=7.-2
-5.(7b+2c+9d)=-5.18
-------------------
35b-42c-7d=-14
-35b-10c-45d=-90
----------------
-52c-52d=-104 bunu da 52 ile sadeleştirirsek
-c-d=-2 olacaktır Sadeleştirme program için şart değil ama maksat örnek için kalabalık kalksın.

D4->
5b-6c-d=-2
-5b+9c-7d=-3
---------------
3c-8d=-5

yeni denklem sistemimiz
D1->2a+3b-4c+d=2
D2-> 5b-6c-d=-2
D3-> -c-d=-2
D4-> 3c-8d=-5

D3 ve D4 denklemleri şu anda 2 bilinmeyenli denklem oluşturmaktalar ve D4->3xD3+D4 şekline getirilirse
D4->
3.(-c-d)=3.-2
3c-8d=-5
-----------------
-3c-3d=-6
3c-8d=-5
--------------
-11d=-11 olacaktır ve denklem sisteminin en son durumu
D1->2a+3b-4c+d=2
D2-> 5b-6c-d=-2
D3-> -c-d=-2
D4-> -11d=-11
halini alacaktır, D4'ten yukarıya doğru denklem çorap söküğü gibi çözümü getirecektir. Bunlar matrislerle ifade edilerek bu işlemlerden çok rahatlıkla geçirilebilir. İyi çalışmalar.

Not:Hem matris hemde program olarak kullanılması gereken yapıyı şu anda hatırlayamıyorum ama matrislerle bu yöntemi kullanan bir kaynak bulursan bunu çok kolay bir biçimde halledebilirsin.