Faiz Formülü Matematik

faiz formülü matematik

Borçla ilgili tek iyi şey, matematikteki en önemli sabitlerden biriyle bağlantılı olmasıdır. Bu sayı Euler sayısı ya da Euler sabiti diğer adıyla e sayısıdır. Matematik ve fizikte yaygın olarak logaritmik ve üstel fonksiyonlarda karşımıza çıkar. Aslında yaşamda değişim ya da büyümeyi içeren bir şey yapmak istediğimizde muhtemelen arka planda bir yerlerde bu sayı gizlidir. Bu yerlerden birisi de bileşik faiz ile bağlantılıdır.

yüzyılda İskoç matematikçi, fizikçi ve astronom Napier, çok büyük sayıları çarpmanın daha basit bir yolunu aramaya başlamıştı. Özellikle, üsler için bir kısayol bulmak istiyordu. Bu çalışmaları esnasında e sayısını keşfetmese de oluşturduğu logaritma listesinin üslerle ilişkilendirilmesine vesile oldu.

’te İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli, bileşik faizle ilgili bir finansal problemi çözerken de e sabitini keşfetti. Bunu elbette kredi kartı borçlarımızın çığ gibi neden büyüdüğünü araştırırken değil (1+1/n)ⁿ limitinin ne olacağı konusunda çalışırken bulmuştur. Konuyu sonrasında Euler el attı. Sonucunda da bu sabit onun adı ile anılmaya başladı.

e Sayısı ile Bileşik Faiz Nasıl İlişki İçindedir?

Diyelim ki bir yerden %3 yıllık faizle lira borç para aldınız. 3 yıl boyunca da borcunuzu geri ödemediniz. Ödemeye karar verdiğiniz gün ne kadar para planlamanız gerekiyor dersiniz? Eğer matematik ile aranız iyi değilse yıl başına 3 lira fazla ödeyeceğinizi düşünebilirsiniz. Ancak geri ödemeyi planladığınız lira eksik kalacaktır.

Gerçekten de bir yılın sonunda geri ödeme yapmanız gereken miktar liradır. Bunu +0,03 x= biçiminde kolayca hesaplayabilirsiniz. Ancak bir sonraki yıl ne kadar borcunuz olduğunu öğrenmek için ikinci yılın faizini eklemeniz gerekir. Önce ödememiz gereken faize bakalım. Bu faiz 0,03x ( x (1+0,03)) = 3,09 kadar olacaktır. Bunun sonucunda da ikinci yılın sonunda borcunuz. +3,09=,9 lira olmuştur.

Üçüncü yıla geçtiğinizde ise faiz 0,03x ( x (1+0,03)²)= 3,18 lira olacaktır. Yani üç yılın sonunda ödemeniz gereken toplam borç aslında ,9+3,18= ,27 liradır. Bu hesaplamanın neticesinde, her yıl tahakkuk eden faiz tutarının bir önceki yıl tahakkuk eden tutardan fazla olduğunu görebilirsiniz.

Hesaplamanın kolay olması açısından lira borç aldığımızı varsaymıştık. Bu nedenle tahmin ettiğimiz ile hesaplanan sonuç arasındaki fark size fazla rahatsız edici gelmeyebilir. Ancak daha fazlasını aldıysanız, faizin artışı çok belirgindir. Bu da hem borcun laneti ve hem de tasarrufun nimetidir.

Bileşik Faiz Hesaplaması

Yukarıdaki faiz hesaplamasında bir kalıp görmüş olmalısınız. Aslında bu kalıp da bizi bir formüle götürecektir. Bu formül anapara x (1+ borç yüzdesi) ^yıl biçimindedir. Matematik dilinde ifade etmemiz gerekirse formül P( 1+ r)ⁿbiçiminde yazılabilir. ( Hesaplamalarda faiz yüzdesi yani r ondalık sayı olarak yazılmalıdır. Yani %3=0,03 haline dönüşür.)

Şimdi bu formülün nasıl çalıştığını ve yazının başında söylediğimiz gibi e sayısı ile bağlantısını anlayabilmek için yine işi basitten tutalım. Diyelim ki bu sefer 1 lira paranız var ve bunu bankaya yatırmaya karar veriyorsunuz. Yani P=1. Olmaz ama diyelim ki çok cömert bir banka buldunuz ve yıllık faiz yüzdeniz % Bu durum da r=1 olacaktır. Bunları formülde yerine yazıp ilk yılın sonunda toplam ne kadar paranız olduğunu hesaplayalım. Sonuç 1. ( 1+1)² = 2 liradır.

Şimdi de bankamız size yıllık faiz yerine 3 aylık faiz vermeyi öneriyor. 3 ay bir yılın dörtte biridir. Bu durumda size 4 defa faiz verecek. Şimdi bu bilgileri yerine yazınca bakalım neler olacak. Sonuç 1.(1+1/4)⁴ = 2,44 lira olacaktır.

Eğer bankanız aylık faiz üzerinden çalışmaya karar verirse bu durumda 1.(1+1/12)¹² =2,61 lira elde ederseniz. Ayrıca günlük faiz hesaplaması da yapabilir. Bu da 1.(1+1/) =2,71 lira biçiminde olacaktır. Gördüğünüz gibi elde ettiğimiz formül 1.(1+1/n)ⁿbiçimine dönüştü. n sayısı büyüdükçe kazancınız ( çoğu zaman elbette borcunuz) büyümektedir. Saatlik, saniyelik vs gibi bu hesaplamayı çok daha uzatırsanız ulaşacağınız sayı giderek 2,… gibi bir sonuca ulaşacaktır.

Euler Sabiti ile Başka Ne Yapabilirsiniz?

Euler sabiti sadece finansta yardımcı olmaz. Diğer bazı yaygın kullanım durumları aşağıda yer almaktadır.

Olasılık teorisi: Bir rulet oyunu oynuyorsanız ve tek bir sayı üzerine bahis yapıyorsanız, 37 oyun boyunca her oyunu kaybetme olasılığınız yaklaşık 1/e’dir .
Radyoaktif kimyasalların yarı ömürlerinin hesaplanması.
Fizikte dalgaların (ışık, ses ve kuantum dalgaları gibi) denklemler hesaplamaları.

Sonucunda başta da dediğimiz gibi yaşamda bir yerlerde bu sayı gizlidir.

Göz atmak isterseniz…

Kaynaklar ve İleri Okumalar

Maths in a minute: Compound interest and e; Yayınlanma Tarihi: 7, Şubat, ; Yayınlandığı Yer: monash.pw; Bağlantı: monash.pw
Wednesday Is E Day. Can We Make It As Fun As Pi Day?; Yayınlanma Tarihi: 7, Şubat, ; Yayınlandığı Yer: Slate; Bağlantı: monash.pw

Dip Not:

Matematiksel, yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel

Sürekli Bileşik Faizi Hesaplama Formülü

If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *monash.pw ve *monash.pw adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Video açıklaması

Arkadaşlar merhaba Diyelim ki 50 Lira borç bulmaya çalışıyoruz. Yani anaparamız 50 Lira 3 yıllığına borç alacağız. O halde zaman, yani yıl cinsinden t, 3’e eşit Ve diyelim ki faiz yılda bir kez tahakkuk etmeyecek. Yılda dört kez tahakkuk edecek. Yani 3 ayda bir. Faiz oranımız da Eğer yılda bir kez tahakkuk etseydi, %10 olacaktı Ama yılda dört kez tahakkuk edeceği için, ifadede de görüldüğü gibi, bunu 4’e böleceğiz Her devrede ne kadar faiz tahakkuk ettiğini böyle bulacağız %10, 0,10’la aynı şey oluyor bunu karıştırmayalım Şimdi bir ifade yazalım. Hatta lütfen videoyu duraklatın ve böyle bir borç aldığınızda geri ödemeniz gereken miktarı veren bir ifade yazmaya çalışın. 3 yıllığına 50 Liralık bir borç alıyorsunuz. Faiz yılda 4 kez tahakkuk ediyor. Her devrede tahakkuk eden faiz oranı, %10 bölü 4. 3 yılın sonunda toplam ne kadar ödemiş olursunuz? ona bakalım Yazalım. 50 Lira. Bu anaparanız. Bunu neyle çarpacağız? Daha doğrusu buna ne tahakkuk ettireceğiz? Her defasında Her devrede 3 çarpı 4 adet devrenin her birinde Süremiz 3 yıl. Her biri 4 devreye bölünmüş. O halde toplam 12 devre vardır İşte bu devrelerin her birinde tahakkuk edecek faiz, 1 artı buradaki r. Ondalık sayı olarak yazacağım. 0, Bölü, faizin bir yılda tahakkuk etme sayısı Şimdi, süre 1 yıl olsaydı, n’inci kuvvetini alacaktık. Süre sadece 1 yıl olsaydı. Yani 1 yılda 4 devre olduğuna göre, bu kuvvet de 4 olacaktı Ama süre, 3 yıl Yani burada kuvvet4 çarpı 3. kuvvet olacak. Videoyu duraklatıp bu ifadenin kaça eşit olduğunu hesap makinesiyle hesaplayabilirsiniz. Ama bu örneğin amacı, gerçek sayılar kullanarak ifadenin neden mantıklı olduğunu göstermek Anaparanız monash.pw devrede, bunu 1 virgül ’le çarpacaksınız Yani geri ödeyeceğiniz para her devrede %2,5 artacak. Ve bunu 12 kez tekrarlayacaksınız. Çünkü toplamda 12 devre var. Yılda 4 devre, çarpı 3 yıl. Yani bu ifade, geri ödemeniz gereken miktarı veriyor. Bunu biraz daha soyut terimlerle yazacak olursak P çarpı 1 artı Parantezi şimdiden kapatıyorum ki tekrar renk değiştirmem gerekmesin r bölü n, üzeri n çarpı t. Yani P, t, n ve r’lerinizi alıp bu ifadede yerine yazarsanız, geri ödemeniz gereken miktarı bulabilirsiniz Bir önceki videodan kalan bu ifadeyi görüyorsunuz n sonsuza giderken limitini almıştık Aynısını burada da yapalım Ve bunun ne anlama gelebileceğini düşünelim. Bu ifadenin n sonsuza giderken limitini alırsak. Bu kavramsal olarak ne anlama gelir? Yılı, çok çok çok küçük parçalara – sonsuz sayıda parçaya – bölüyoruz O halde şöyle diyebiliriz: “Bu, sürekli bileşik faizi hesaplamanın yoludur.” Çok büyüleyici bir şey bence bu. Süreyi sonsuz sayıda devreye bölecek olsak ve her bir devrede sonsuz küçük faizler tahakkuk ettirmek istesek ortaya çıkacak ifade bu olurdu. Ve gördüğünüz gibi bu, sınırı olmayan çılgın sonuçlar vermiyor bize o halde O halde bu ifadeden hareketle, sürekli bileşik faiz formülüne ulaşmonash.pw bu formül finans ve bankacılık sektöründe çok yaygın olarak kullanılıyor Aslında finans ve bankacılık dışında da bir sürü yerde karşımıza çıkıyor. Mesela üstel büyümede, vesaire, vesaire Şimdi, bakalım bu ifadeyi bir formül haline nasıl getireceğiz. Bunu sadeleştirmek için ilk olarak “değişken değiştirme” yöntemini uygulayacağım. Bir değişken tanımlıyorum. Amaç, bu ifadeyi buna benzer bir biçime sokmak. Bir x değişkeni tanımlıyorum Ve diyorum ki x, r bölü n’in çarpmaya göre tersidir. ki burası, 1 bölü x olsun Yazıyorum: x eşittir n bölü r. x eşittir n bölü r. Bunu şöyle de yazabiliriz: n eşittir x çarpı r. Bu değişken değiştirme işlemini yaptığımız zaman x sonsuza giderken limit alırsak, n de sonsuza gider Veya n sonsuza giderken, x de sonsuza gider r bir sabit. r’nin verildiğini varsayıyoruz burada Değişik değerler alabilen terimimiz n. O halde, bu ifadeyi yeniden yazalım. Çok fazla üzerinize varmak istemiyorum ama, birazdan göreceğimiz formülün nereden geldiğine dair bir ipucu olsun . Bunu, x sonsuza giderken limit olarak yazalım. Limit x sonsuza giderken. Arkadaşlar bir sabitle bir değişkenin çarpımının limitini alırken, sabiti dışarı atabiliriz. Gönül rahatlığıyla yapabiliriz bunu .O halde P çarpı limit x sonsuza giderken. 1 artı. r bölü n, 1 bölü x’e eşit, demiştik 1 artı 1 bölü x, üzeri. n de x çarpı r idi Öyleyse, n eşittir x çarpı r. Şimdi yazayım Üzeri x çarpı r çarpı t. Bu aynı zamanda neye eşit? Bunu yeniden yazayım Bu kısmı kopyalayıp yapıştıracağım. Bu aynı zamanda şuna eşit olucak P çarpı Parantez açalım. Çarpı Yok, çok büyük oldu bu Çarpı limit. Buradaki limit yani. Bir ifadenin üssü olarak bu çarpımı yazmakla. Yani x çarpı r çarpı t yazmakla İfadenin önce x’inci kuvvetini, sonra onun da r çarpı t’inci kuvvetini almak aynı şey Üzeri r çarpı t. Üslü sayıların özelliklerinden biri bu Muhtemelen önceden biliyorsunuzdur. Bu iki ifade birbirine eşit. Bir defada birden çok adım attık ama umarım yeterince anlaşılır olmuştur. Yaptığım şey, şu özelliği kullanıyorum Limit x c’ye giderken f(x) üzeri xrt ifadesiyle Limit x c’ye giderken f(x) üzeri x, üzeri rt ifadesi aynı şeydir Peki bu parantezin içi neye eşit? Önceden biliyoruz. Tüm bu ifade, e’ye eşittir Müthiş bir şey değil mi? Sürekli bileşik faizin formülü bu. Yani bileşik faizle bir borç alırsak, geri ödememiz gereken miktar şudur Anaparamız, çarpı e, üzeri rt Evet Üzeri rt. Şimdi dilerseniz bunu somut bir örnek çözelim 50 Lira borç aldık. 3 yıl boyunca %10 faiz ödeyeceğiz. Ama faiz yılda dört kez değil, sonsuz kez tahakkuk edecek Buraya dikkat edelim sürekli bileşik faiz ödeyeceğiz yani. Bakalım ödeyeceğimiz toplam tutar ne olacak Şu olacak: 50 çarpı e, üzeri r Faiz oranımız yani r, 0,1. Parantez içinde yazayım. 0,1 çarpı süre. Yani çarpı 3 yıl. t’nin birimi “yıl”dı. Yıl olduğunu kabul etmiştik. Demek ki geri ödememiz gereken toplam para, 67 Yuvarlarsak, 67,49 Lira olacakmış. Bir sonraki videoda tekrardan görüşmek üzere arkadaşlar , hoşça kalın

Bir miktar paranın bir bankada belirli bir süre kullanılmasına karşılık olarak bankanın müşterilerine verdiği paraya faiz denir. Faiz almak için bankaya yazırılan paraya anapara veya kapital denir. Anaparanın bankada faizde kaldığı süreye zaman denir. Anaparaya uygulanan faiz oranına faiz yüzdesi denir.

Basit Faiz

Anaparanın değişmemesi şartıyla elde edilen faize basit faiz denir.
faiz problemleriyüzde problemleri gibi de çözülebilir.
Faiz hesaplarında 1 ay = 30 gün ve 1 yıl = gün olarak alınır.
F : Faiz geliri
A : Anapara
n : Faiz yüzdesi
t: Zaman

Bileşik Faiz

Anapara faize yatırılıp her süre sonunda faizi ile birlikte tekrar faize yatırılırsa elde edilen toplam faize bileşik faiz denir.

Bileşik faiz formülü

YTL yıllık % 30 basit faizle bankaya yatırılıyor.
Buna göre, anaparanın 9 ay sonraki faizi kaç YTL olur?
A) 54 B) 56 C) 58 D) 60 E) 62

YTL yıllık % 20 basit faizle bankaya yatırılıyor.
Buna göre, anaparanın kaç aylık faiz geliri 90 YTL dir?
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

60 YTL % 10 basit faizle 3 yıllığına bankaya yatırılıyor.
Buna göre, 3 yıl sonra bankada biriken toplam para kaç YTL dir?
A) 74 B) 76 C) 78 D) 80 E) 82

Matematik 1 YGS Konu Anlatımı ve Konu Testine Geri Dön

nest...

38922 38923 38924 38925 38926