A)−1(B) = A ∩ f -1(B).
1.f: {1,2,3} → {a,b,c,d} fonksiyonu
şeklinde tanımlansın. {2,3} kümesinin f altındaki görüntüsü f({2,3}) = {d,c} olur. f 'nin görüntü kümesi ise {a,d,c} kümesidir. {a,c}'nin ters görüntü kümesi f -1({a,c}) = {1,3} olur.
2.f: R → R fonksiyonu f(x) = x2 şeklinde tanımlansın.
{-2,3} kümesinin f altındaki görüntüsü f({-2,3}) = {4,9}, f 'nin görüntüsü R+, {4,9} kümesinin f altındaki ters görüntü kümesi f -1({4,9}) = {-3,-2,2,3} olur.
SORU 1:
\( A = \{4, 5, 7, 8\} \)
\( B = \{10, 12, 13, 15, 19, 22\} \)
\( f: A \to B \)
\( f(x) = 3x - 2 \) olduğuna göre, \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Çözümü Göster\( x \) yerine tanım kümesindeki tüm elemanları sırayla yazarak \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( f(4) = 3 \cdot 4 - 2 = 10 \)
\( f(5) = 3 \cdot 5 - 2 = 13 \)
\( f(7) = 3 \cdot 7 - 2 = 19 \)
\( f(8) = 3 \cdot 8 - 2 = 22 \)
\( f(A) = \{10, 13, 19, 22\} \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( f: A \to B \)
\( f(x) = \dfrac{x - 2}{2} \)
\( f(A) = \{2, 4, 6\} \) olduğuna göre, \( A \) kümesi nedir?
Çözümü Göster\( f(A) \) fonksiyonun görüntü kümesidir. Bu görüntü değerlerini veren \( x \) değerlerini bulalım.
\( \dfrac{x - 2}{2} = 2 \Longrightarrow x = 6 \)
\( \dfrac{x - 2}{2} = 4 \Longrightarrow x = 10 \)
\( \dfrac{x - 2}{2} = 6 \Longrightarrow x = 14 \)
Buna göre görüntüsü \( f(A) \) olan tanım kümesi \( A = \{ 6, 10, 14 \} \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( f: (-2, 4] \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = \dfrac{4x + 1}{2} \) olduğuna göre, fonksiyonun görüntü kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyon doğrusal olduğu için tanım kümesinin sınır değerlerini fonksiyonda yerine koyarak görüntü kümesinin sınır değerlerini bulabiliriz.
\( \dfrac{4(-2) + 1}{2} = -\dfrac{7}{2} \)
\( \dfrac{4(4) + 1}{2} = \dfrac{17}{2} \)
Görüntü kümesi: \( (-\frac{7}{2}, \frac{17}{2}] \)
Fonksiyon doğrusal olduğu için bu aralıktaki her reel sayı değeri alır.
Buna göre görüntü kümesindeki tam sayılar aşağıdaki gibidir.
\( \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \)
Bu sayıların toplamı \( 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( f = \{ (1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 1) \} \)
\( f \) fonksiyonunun tanım, değer ve görüntü kümelerinden hangisi ya da hangileri \( \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olabilir?
Çözümü GösterFonksiyonun eşlemelerindeki birinci bileşenler tanım kümesini verir. Buna göre \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \{ 1, 2, 3, 4 \} \) olur.
Fonksiyonun eşlemelerindeki ikinci bileşenler görüntü kümesini verir. Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( \{ 1, 2, 4 \} \) olur.
Değer kümesi görüntü kümesini kapsayan herhangi bir küme olabilir. \( \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) görüntü kümesini kapsadığı için değer kümesi olabilir.
Buna göre \( \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \) sadece değer kümesi olabilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = x^2 - 5 \) fonksiyonu veriliyor.
\( f(A) = \{4, 11, 20\} \) olduğuna göre, \( A \) kümesinin elemanları toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
(a) \( 0 \quad \) (b) \( 2 \quad \) (c) \( 6 \quad \) (d) \( 8 \quad \) (e) \( 10 \)
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonuna göre görüntüsü \( f(A) \) kümesinin elemanları olabilecek değerleri bulalım.
\( x^2 - 5 = 4 \Longrightarrow x \in \{-3, 3\} \)
Hem -3 hem de 3'ün görüntüsü 4 olduğu için, tanım kümesi bu iki değerden en az birini içermelidir, ama ikisini birlikte içermek zorunda değildir.
\( x^2 - 5 = 11 \Longrightarrow x \in \{-4, 4\} \)
Hem -4 hem de 4'ün görüntüsü 11 olduğu için, tanım kümesi bu iki değerden en az birini içermelidir, ama ikisini birlikte içermek zorunda değildir.
\( x^2 - 5 = 20 \Longrightarrow x \in \{-5, 5\} \)
Hem -5 hem de 5'in görüntüsü 20 olduğu için, tanım kümesi bu iki değerden en az birini içermelidir, ama ikisini birlikte içermek zorunda değildir.
Buna göre tanım kümesi 3, 4, 5 ya da 6 elemanlı olabilir.
Seçeneklerden hangisinin tanım kümesindeki elemanların toplamı olabileceğini bulalım.
(a) \( A = \{-3, 3, -4, 4, -5, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 0 olur.
(b) \( A = \{-3, -4, 4, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 2 olur.
(c) \( A = \{-3, 4, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 6 olur.
(d) \( A = \{3, -4, 4, 5\} \) olduğu durumda elemanların toplamı 8 olur.
(e) Bu 6 değerle elemanları toplamı 10 olan bir tanım kümesi oluşturulamaz.
Doğru seçenek (e) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
Yukarıda \( f \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. \( f(0) = 7 \)
II. Tanım kümesi \( [-3, 6) \) aralığıdır.
III. Görüntü kümesi \( [-3, 7] \) aralığıdır.
IV. Fonksiyonun \( [-3, 6] \) aralığında tanımsız olduğu 3 nokta vardır.
V. \( f(-3) = f(4) \)
Çözümü GösterI. öncül: Fonksiyonun \( x = 0 \) noktasındaki değeri 2 değil 7'dir. Bu öncül doğrudur.
II. öncül: Fonksiyon \( x = 4 \) noktasında tanımsız olduğu için tanım kümesi \( [-3, 6) - \{4\} \) olur. Bu öncül yanlıştır.
III. öncül: Fonksiyon \( [-3, 7] \) aralığındaki tüm değerleri alır. Bu öncül doğrudur.
IV. öncül: Fonksiyonun belirtilen aralıkta tanımsız olduğu noktalar \( x = 4 \) ve \( x = 6 \)'dır. Fonksiyon \( x = 0 \) noktasında tanımlıdır ve değeri 7'dir. Bu öncül yanlıştır.
V. öncül: Fonksiyon \( x = 4 \) noktasında tanımsızdır. Bu öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve III. öncüller doğrudur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( f: [1, \infty) \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = (x - 3)^2 + 2 \)
fonksiyonunun grafiğini çizerek görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterParabolün başkatsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı yönlüdür.
\( f(x) = (x - r)^2 + k \) formundaki bir parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) noktasıdır.
Buna göre verilen parabolün tepe noktası \( T(3, 2) \) olur.
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) yazalım.
\( f(0) = (0 - 3)^2 + 2 = 11 \)
\( A \) noktasındaki fonksiyon değerini bulmak için \( x = 1 \) yazalım.
\( f(1) = (1 - 3)^2 + 2 = 6 \)
Buna göre parabolün \( x \in [1, \infty) \) aralığındaki grafiği aşağıdaki gibidir.
Grafikte görülebileceği üzere, parabolün en küçük değeri tepe noktasındaki \( y = 2 \) değeridir, ayrıca parabol pozitif sonsuza gider.
Görüntü kümesi: \( [2, \infty) \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( f: [2, 8] \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 4x + 3 \)
fonksiyonunun grafiğini çizerek görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterParabolün başkatsayısı negatif olduğu için kolları aşağı yönlüdür.
Parabolün tepe noktasının (\( T(r, k) \) ) koordinatlarını bulalım.
\( r = -\dfrac{4}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 4 \)
\( k = f(4) = -\dfrac{1}{2}(4)^2 + 4(4) + 3 = 11 \)
Buna göre verilen parabolün tepe noktası \( T(4, 11) \) olur.
Parabolün \( y \) eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) yazalım.
\( f(0) = -\dfrac{1}{2}0^2 + 4(0) + 3 = 3 \)
\( A \) noktasındaki fonksiyon değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.
\( f(2) = -\dfrac{1}{2}2^2 + 4(2) + 3 = 9 \)
\( B \) noktasındaki fonksiyon değerini bulmak için \( x = 8 \) yazalım.
\( f(8) = -\dfrac{1}{2}8^2 + 4(8) + 3 = 3 \)
Buna göre parabolün \( x \in [2, 8] \) aralığındaki grafiği aşağıdaki gibidir.
Grafikte görülebileceği üzere, parabolün en küçük değeri \( B \) noktasındaki \( y = 3 \) değeri, en büyük değeri de tepe noktasındaki \( y = 11 \) değeridir.
Görüntü kümesi: \( [3, 11] \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( f(x) = (2x - 9)^2 + (7 - 2x)^2 \) fonksiyonunun en küçük değeri nedir?
Çözümü GösterParantez içindeki ifadeleri açalım.
\( f(x) = 4x^2 - 36x + 81 + 49 - 28x + 4x^2 \)
\( = 8x^2 - 64x + 130 \)
Fonksiyon başkatsayısı sıfırdan büyük olan, dolayısıyla kolları yukarı yönlü olan bir paraboldür. Bu nedenle fonksiyonun en küçük değerini aldığı nokta parabolün tepe noktası olur.
Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,
\( a = 8, \quad b = -64, \quad c = 130 \)
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-64}{16} = 4 \)
Fonksiyonun tepe noktasındaki değerini bulmak için \( x = 4 \) yazalım.
\( k = f(4) = 8 \cdot 4^2 - 64 \cdot 4 + 130 \)
\( = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 10:
\( A = \{ 2, 3, 4, 5 \} \) ve \( B = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} \) olduğuna göre,
\( A \)'dan \( B \)'ye tanımlanacak bir fonksiyonun görüntü kümesi kaç farklı şekilde olabilir?
Çözümü GösterTanım kümesi 4 elemanlı olduğu için bu 4 eleman hiçbir zaman değer kümesindeki 5 elemanla eşlenemez, dolayısıyla görüntü kümesi 1, 2, 3 ya da 4 elemanlı olabilir.
5 elemanlı değer kümesinin elemanları içinden belirli sayıda eleman aşağıdaki şekillerde seçilebilir.
1 elemanlı görüntü kümeleri: \( C(5, 1) = 5 \)
2 elemanlı görüntü kümeleri: \( C(5, 2) = 10 \)
3 elemanlı görüntü kümeleri: \( C(5, 3) = 10 \)
4 elemanlı görüntü kümeleri: \( C(5, 4) = 5 \)
Buna göre görüntü kümesi \( 5 + 10 + 10 + 5 = 30 \) farklı şekilde olabilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 11:
\( A = \{x, y, z, t\} \)
\( B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) olmak üzere,
\( f(y) = 5 \) olacak şekilde \( A \) kümesinden \( B \) kümesine tanımlanacak \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi kaç farklı şekilde olabilir?
Çözümü GösterTanım kümesi 4 elemanlı olduğu için görüntü kümesi de en çok 4 elemanlı olabilir.
Durum 1: Görüntü kümesi 1 elemanlı
\( f(y) = 5 \) olarak verildiği için 1 elemanlı sadece bir görüntü kümesi olur.
Durum 2: Görüntü kümesi 2 elemanlı
"5" dışında değer kümesinin 6 elemanı içinden 1 eleman \( C(6, 1) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.
Durum 3: Görüntü kümesi 3 elemanlı
"5" dışında değer kümesinin 6 elemanı içinden 2 eleman \( C(6, 2) = 15 \) farklı şekilde seçilebilir.
Durum 4: Görüntü kümesi 4 elemanlı
"5" dışında değer kümesinin 6 elemanı içinden 3 eleman \( C(6, 3) = 20 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre görüntü kümesi \( 1 + 6 + 15 + 20 = 42 \) farklı şekilde olabilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 12:
Yukarıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğine göre aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. \( y = -f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-3 , +\infty) \) aralığıdır.
II. \( y = 2f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (-\infty, 6] \) aralığıdır.
III. \( y = f^2(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (-\infty, 9] \) aralığıdır.
Çözümü Göster\( f(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (- \infty, 3] \) aralığıdır.
I. öncül: \( y = -f(x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenine göre simetriğidir ve görüntü kümesi \( [-3 , +\infty) \) aralığıdır. Bu öncül doğrudur.
II. öncül: \( 2f(x) \) fonksiyonunda grafik üzerindeki tüm noktalar \( x \) ekseninden iki kat uzaklaşır ve görüntü kümesi \( (-\infty, 6] \) olur. Bu öncül doğrudur.
III. öncül: \( f^2(x) \) fonksiyonunda ordinat değeri 0 ya da pozitif olan noktaların ordinat değerlerinin karesi alınır ve bu noktaların görüntü kümesi \( [0, 9] \) olur. Ordinat değeri negatif olan noktalar ise eksenin pozitif tarafına taşınır ve bu noktaların görüntü kümesi \( [0, +\infty] \) olur. Sonuç olarak fonksiyonun görüntü kümesi \( [0, +\infty] \) olur. Bu öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II öncüller doğrudur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 13:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{9x + 3a}{(2a + 2)x + 2} \) olduğuna göre, \( f(a) \) kaçtır?
Çözümü GösterFonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar olduğu için tanımsız olduğu bir nokta yoktur, dolayısıyla payda hiçbir \( x \) değeri için sıfır olmamalıdır.
Paydadaki \( x \)'in katsayısı sıfırdan farklı olduğunda paydayı sıfır yapan bir \( x \) değeri mutlaka olacağı için \( x \)'in katsayısı sıfır olmalıdır.
\( 2a + 2 = 0 \Longrightarrow a = -1 \)
Fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.
\( f(x) = \dfrac{9x - 3}{2} \)
\( f(a) = f(-1) = \dfrac{9(-1) - 3}{2} = -6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 14:
\( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x - 21} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterDerecesi çift sayı olan köklü ifadelerin içi negatif olamaz.
\( x^2 + 4x - 21 \ge 0 \)
\( (x + 7)(x - 3) \ge 0 \)
Bu eşitsizliğin çözüm kümesi \( (-\infty, -7] \cup [3, \infty) \) aralığıdır.
Buna göre \( f \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Tanım kümesi \( = (-\infty, -7] \cup [3, \infty) \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 15:
\( f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9}}} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözümü GösterEn dıştaki köklü ifadeden en içtekine adım adım ilerleyerek fonksiyonun tanım kümesini bulalım.
Derecesi çift sayı olan bir köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( 2 - \sqrt{1 + \sqrt{x^2 -6x + 9}} \ge 0 \)
\( \sqrt{1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9}} \le 2 \)
Kök işaretinden kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafının karesini alalım. Ayrıca kök içi negatif olamaz.
\( 0 \le 1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 4 \)
\( -1 \le \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 3 \)
Bir karekök ifadesinin sonucu negatif olamayacağı için eşitsizliğin alt sınır değerini sıfır yapalım.
\( 0 \le \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 3 \)
\( 0 \le \sqrt{(x - 3)^2} \le 3 \)
Kök içindeki ifade mutlak değerin tanımıdır.
\( 0 \le \abs{x - 3} \le 3 \)
\( -3 \le x - 3 \le 3 \)
\( 0 \le x \le 6 \)
Tanım kümesi: \( x \in [0, 6] \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 16:
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 8x + 25} \) fonksiyonunun en geniş tanım ve görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterKök içerisindeki ifadede tam kare elde etmeye çalışalım.
\( x^2 - 8x + 25 = x^2 - 8x + 16 + 9 \)
\( = (x - 4)^2 + 9 \)
\( f(x) = \sqrt{(x - 4)^2 + 9} \)
Derecesi çift sayı olan bir köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( (x - 4)^2 \) ifadesi negatif olamayacağı için \( (x - 4)^2 + 9 \) ifadesi de negatif olamaz.
Dolayısıyla fonksiyon her \( x \) değeri için tanımlıdır.
Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)
Görüntü kümesini bulmak için verilen ifadeyi inceleyelim.
\( (x - 4)^2 + 9 \) ifadesi \( x^2 \) parabolünün 4 birim sağa, 9 birim yukarıya ötelenmiş halidir.
Parabolün tepe noktası \( T(4, 9) \) noktası ve başkatsayısı pozitif olduğuna göre görüntü kümesi aşağıdaki aralıkta olur.
\( 9 \le (x - 4)^2 + 9 \lt \infty \)
Eşitsizliğin taraflarının karekökünü aldığımızda \( f(x) \)'i elde ederiz.
\( 3 \le \sqrt{(x - 4)^2 + 9} \lt \infty \)
\( 3 \le f(x) \lt \infty \)
Görüntü kümesi: \( f(x) = [3, \infty) \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 17:
\( f(x) = \dfrac{\sqrt{25 - x^2}}{\sqrt{x - 4}} \)
\( g(x) = \sqrt{\dfrac{25 - x^2}{x - 4}} \)
fonksiyonlarının tanımlı olduğu \( x \) reel sayı aralıklarını bulunuz.
Çözümü GösterDerecesi çift sayı olan köklü ifadelerin içini negatif yapan ve rasyonel bir ifadenin paydasını sıfır yapan \( x \) değerleri fonksiyonu tanımsız yapar.
\( f \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
Paydaki köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( 25 - x^2 \ge 0 \)
\( x^2 \le 25 \)
\( -5 \le x \le 5 \)
Paydadaki köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( x - 4 \ge 0 \)
\( x \ge 4 \)
Paydadaki köklü ifadenin içi sıfır olamaz.
\( x \ne 4 \)
Yukarıda bulduğumuz aralıkların kesişim kümesi \( f \) fonksiyonunun tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( x \in (4, 5] \)
\( g \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
Köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( \dfrac{25 - x^2}{x - 4} \ge 0 \)
Bu eşitsizliği çözmek için işaret tablosu yapalım.
Buna göre bu eşitsizliğin çözüm kümesi aşağıdaki aralıktır.
\( x \in (-\infty, -5] \cup (4, 5] \)
Paydadaki köklü ifadenin içi sıfır olamaz.
\( x \ne 4 \)
Bulduğumuz aralıkların kesişim kümesi \( g \) fonksiyonunun tanım kümesini verir.
Tanım kümesi: \( x \in [-\infty, 5) \cup (4, 5] \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 18:
\( f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{4x - 8} - 2} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterKöklü ifadenin içi negatif olamayacağı için kök içini negatif yapan \( x \) değerleri tanım kümesinde yer alamaz.
\( 4x - 8 \ge 0 \)
\( x \ge 2 \)
İfadenin paydası sıfır olmayacağı için paydayı sıfır yapan \( x \) değerleri de tanım kümesinde yer alamaz.
\( \sqrt{4x - 8} - 2 \ne 0 \)
\( \sqrt{4x - 8} \ne 2 \)
\( 4x - 8 \ne 4 \)
\( x \ne 3 \)
Bu iki koşulu sağlayan reel sayılar fonksiyonun en geniş tanım kümesini oluşturur.
Tanım kümesi: \( [2, +\infty) - \{3\} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 19:
\( f(x) = \dfrac{3x + 1}{\abs{x + 1} - 2} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterVerilen rasyonel fonksiyon paydasını sıfır yapan değerler hariç tüm reel sayılarda tanımlıdır.
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( \abs{x + 1} - 2 = 0 \)
\( \abs{x + 1} = 2 \)
\( x + 1 = 2 \) veya \( x + 1 = -2 \)
\( x = 1 \) veya \( x = -3 \)
Buna göre fonksiyonun en geniş tanım kümesi aşağıdaki gibidir.
Tanım kümesi: \( \mathbb{R} - \{-3, 1\} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 20:
\( f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 3} + \sqrt{7 - x}}{x^2 - 9x + 20} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü GösterDerecesi çift sayı olan köklü ifadelerin içi negatif olamaz.
\( x - 3 \ge 0 \Longrightarrow x \ge 3 \)
\( 7 - x \ge 0 \Longrightarrow x \le 7 \)
\( 3 \le x \le 7 \)
Rasyonel ifadelerde payda sıfır olamaz.
\( x^2 - 9x + 20 \ne 0 \)
\( (x - 4)(x - 5) \ne 0 \)
\( x \ne 4 \) ve \( x \ne 5 \)
Buna göre fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayı değerleri \( \{ 3, 6, 7 \} \) olur.
\( 3 + 6 + 7 = 16 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 21:
\( f(x) = \sqrt{6 - \sqrt{x}} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç tam sayı eleman vardır?
Çözümü GösterDerecesi çift sayı olan köklü ifadelerin içi negatif olamaz.
İçteki karekök ifadesi için:
\( x \ge 0 \)
Dıştaki karekök ifadesi için:
\( 6 - \sqrt{x} \ge 0 \)
\( \sqrt{x} \le 6 \)
\( 0 \le x \le 36 \)
Bu iki aralığın kesişimini alalım.
\( 0 \le x \le 36 \)
Buna göre fonksiyonun en geniş tanım aralığında \( 36 - 0 + 1 = 37 \) tam sayı eleman vardır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 22:
\( f(x) = \sqrt{3 - \abs{x + 1}} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç tam sayı eleman vardır?
Çözümü GösterDerecesi çift sayı olan köklü ifadelerin içi negatif olamaz.
\( 3 - \abs{x + 1} \ge 0 \)
\( \abs{x + 1} \le 3 \)
\( -3 \le x + 1 \le 3 \)
\( -4 \le x \le 2 \)
Buna göre fonksiyonun en geniş tanım aralığında \( 2 - (-4) + 1 = 7 \) tam sayı eleman vardır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 23:
\( f(x) = \dfrac{2xf(x) + 3x + 1}{3x - 2} \) olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü Göster\( f(x) \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( f(x)(3x - 2) = 2xf(x) + 3x + 1 \)
\( 3xf(x) - 2f(x) = 2xf(x) + 3x + 1 \)
\( f(x)(x - 2) = 3x + 1 \)
\( f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2} \)
\( f \) bir rasyonel fonksiyondur ve en geniş tanım kümesi paydayı sıfır yapan değerler hariç tüm reel sayılardır.
Buna göre fonksiyon \( x = 2 \) için tanımsızdır ve en geniş tanım kümesi bu değer hariç tüm reel sayılardır.
Tanım kümesi \( = \mathbb{R} - \{ 2 \} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 24:
\( f(x) = \dfrac{2x + 6}{x^2 - 2x - 8} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir?
Çözümü Göster\( f \) bir rasyonel fonksiyondur ve en geniş tanım kümesi paydayı sıfır yapan değerler hariç tüm reel sayılardır.
Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)
\( (x + 2)(x - 4) = 0 \)
Buna göre fonksiyon \( x = -2 \) ve \( x = 4 \) için tanımsızdır ve en geniş tanım kümesi bu iki değer hariç tüm reel sayılardır.
Tanım kümesi \( = \mathbb{R} - \{ -2, 4 \} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 25:
\( f(x) = 6 - \sqrt{x - 5} \) fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi nedir?
Çözümü GösterKarekök içindeki ifadenin alabileceği en küçük değer 0 olduğu için fonksiyonun en büyük değeri 6'dır.
Karekök içindeki ifadenin alabileceği en büyük değer pozitif sonsuz olduğu için fonksiyonun en küçük değeri negatif sonsuzdur.
Buna göre fonksiyonun en geniş görüntü kümesi aşağıdaki gibi bulunur.
Görüntü kümesi \( = (- \infty, 6] \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 26:
\( f(x) = 3^{2 - x} + 5 \) fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi nedir?
Çözümü GösterFonksiyonun tanımsız olduğu bir değer olmadığı için en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.
\( 3^{2 - x} = (\dfrac{1}{3})^{x - 2} = 9 \cdot (\dfrac{1}{3})^x \)
\( (\frac{1}{3})^x \) ifadesi bir üstel fonksiyondur ve grafiğini düşündüğümüzde görüntü kümesi \( (0, +\infty) \) aralığıdır.
Bu aralığa sabit terim olarak 5 eklediğimizde görüntü kümesi \( (5, +\infty) \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 27:
\( f(x) = 3 + 2^{2x - x^2} \) fonksiyonunun en geniş görüntü kümesi nedir?
Çözümü GösterFonksiyonun tanımsız olduğu bir değer olmadığı için en geniş tanım kümesi tüm reel sayılardır.
\( 2^{2x - x^2} \) ifadesi tabanı 1'den büyük olan bir üstel fonksiyondur ve grafiğini düşündüğümüzde fonksiyon en küçük değerini üssünün en küçük değerinde, en büyük değerini üssünün en büyük değerinde alır.
\( 2x - x^2 \) ifadesi bir paraboldür ve başkatsayısı negatif olduğu için en küçük değeri \( -\infty \) olur, en büyük değerini de tepe noktasında alır.
\( T(r, k) \) parabolün tepe noktası olmak üzere,
\( a = -1, \quad b = 2, \quad c = 0 \)
\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{-2} = 1 \)
Buna göre \( x = 1 \) noktasında \( 2x - x^2 \) parabolü, dolayısıyla \( 2^{2x - x^2} \) ifadesi ve \( f(x) \) en büyük değerini alır.
\( f(1) = 3 + 2^{2 \cdot 1 - 1^2} = 5 \)
Fonksiyonun en küçük değerini bulalım.
\( 2x - x^2 \) ifadesi negatif sonsuza giderken \( 2^{2x - x^2} \) ifadesi 0'a yaklaşır, ama 0 değerini almaz. \( f(x) \) de bu durumda sabit terim olan 3'e yaklaşır, ama 3 değerini almaz.
Buna göre fonksiyonun en geniş görüntü kümesi \( (3, 5] \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 28:
\( f(x) = 2^x + 5^x + 2^{-x} + 5^{-x} + 6 \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi için görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( 6 = 10 - 2 - 2 \) yazarak fonksiyonu düzenleyelim.
\( f(x) = 2^x - 2 + 2^{-x} + 5^x - 2 + 5^{-x} + 10 \)
Son terim dışındaki terimleri iki ayrı parantez karesi şeklinde yazalım.
\( = 2^x - 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + 2^{-x} + 5^x - 2 \cdot 5^x \cdot 5^{-x} + 5^{-x} + 10 \)
\( = (2^x - 2^{-x})^2 + (5^x - 5^{-x})^2 + 10 \)
İlk iki terim tam kare ifadeler olduğu için negatif olamazlar. \( x = 0 \) olduğunda iki ifadenin de içi sıfır olduğu için bu iki ifade ayrı ayrı sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olur.
Ayrıca \( x \) pozitif sonsuza giderken iki ifade de ayrı ayrı pozitif sonsuza gider.
\( 0 \le (2^x - 2^{-x})^2 + (5^x - 5^{-x})^2 \lt \infty \)
Eşitsizliğin taraflarına 10 eklediğimizde \( f(x) \)'i elde ederiz.
\( 10 \le (2^x - 2^{-x})^2 + (5^x - 5^{-x})^2 + 10 \lt \infty \)
\( 10 \le f(x) \lt \infty \)
Görüntü kümesi: \( f(x) = [10, \infty) \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 29:
\( f(x) = \sqrt{\dfrac{4^{-x} - 2}{3^x - 1 }} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözümü GösterBu fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifade sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olmalıdır ve paydadaki ifade sıfırdan farklı olmalıdır.
\( \dfrac{4^{-x} - 2}{3^x - 1} \ge 0 \)
Payı sıfır yapan değeri bulalım.
\( 4^{-x} - 2 = 0 \)
\( 4^{-x} = 2 \)
\( 2^{-2x} = 2^1 \)
Üslü ifadeler arasındaki eşitlikte tabanlar birbirine eşit ve -1, 0, 1'den farklı ise üsler de eşittir.
\( -2x = 1 \)
\( x = -\dfrac{1}{2} \)
Paydayı sıfır yapan değeri bulalım.
\( 3^x - 1 = 0 \)
\( x = 0 \)
Bu değerleri kullanarak eşitsizlik için işaret tablosu yapalım.
Buna göre verilen ifade \( [-\frac{1}{2}, 0) \) aralığında tanımlıdır.
Tanım kümesi: \( x \in [-\frac{1}{2}, 0) \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 30:
\( f(x) = 3\sqrt{4 - x^2} \) fonksiyonun reel sayılardaki en geniş tanım kümesi \( A \) ve görüntü kümesi \( B \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. \( A = [-2, 2] \)
II. \( B = [0, 6] \)
III. \( A \cap B = [-2, 6] \)
Çözümü GösterDerecesi çift sayı olan köklü ifadelerin içi negatif olamaz.
\( 4 - x^2 \ge 0 \)
\( (2 - x)(2 + x) \ge 0 \)
\( x \in [-2, 2] \)
Buna göre fonksiyonun en geniş tanım kümesi \( A = [-2, 2] \) olur. I. öncül doğrudur.
Kök içindeki ifade negatif başkatsayılı bir paraboldür ve kolları aşağı yönlüdür. Bu parabolün alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulmak için tepe noktasındaki ve tanım kümesinin sınır değerlerindeki fonksiyon değerlerini bulalım.
Denklemi \( y = 4 - x^2 \) olan parabolün tepe noktasının apsis değeri \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{-2} = 0 \) olur.
\( f(0) = 3\sqrt{4 - 0^2} = 6 \)
\( f(-2) = 3\sqrt{4 - (-2)^2} = 0 \)
\( f(2) = 3\sqrt{4 - 2^2} = 0 \)
Buna göre fonksiyonun tanım aralığında aldığı en küçük ve en büyük değerler \( 0 \) ve \( 6 \)'dır, dolayısıyla görüntü kümesi \( B = [0, 6] \) olur. II. öncül doğrudur.
Tanım ve görüntü kümelerinin kesişimi \( A \cap B = [0, 2] \) aralığıdır. III. öncül yanlıştır.
Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 31:
\( f(x) = \begin{cases} 2\sin{x} + 3 & 0 \le x \lt \pi \\ 3\cos{x} & \pi \le x \le 2\pi \end{cases} \)
şeklinde tanımlanan \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözümü GösterVerilen parçalı fonksiyonun iki aralığı için görüntü kümesini ayrı ayrı bulalım.
\( 0 \le x \lt \pi \) aralığı için:
Sinüs fonksiyonu bu aralıkta \( [0, 1] \) aralığında değer alır.
\( 0 \le \sin{x} \le 1 \)
\( 0 \le 2\sin{x} \le 2 \)
\( 3 \le 2\sin{x} + 3 \le 5 \)
\( \pi \le x \le 2\pi \) aralığı için:
Kosinüs fonksiyonu bu aralıkta \( [-1, 1] \) aralığında değer alır.
\( -1 \le \cos{x} \le 1 \)
\( -3 \le 3\cos{x} \le 3 \)
Buna göre \( f \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [3, 5] \cup [-3, 3] = [-3, 5] \) aralığıdır.
Soru sorun Soruda hata bildirin