Irrasyonel Sayılar
Ek İrrasyonel Sayılar
\( \sqrt{2} \)'nin irrasyonel bir sayı olduğunu ispatlamak için çelişkiyle ispat yöntemini kullanalım.
İlk önce \( \sqrt{2} \)'nin rasyonel bir sayı olduğunu varsayalım. \( \sqrt{2} \) rasyonel ise tanım gereği aralarında asal \( a \) ve \( b \) tam sayılarının oranı şeklinde yazılabilir.
\( \sqrt{2} = \dfrac{a}{b} \)
İki tarafın karesini alalım ve \( a^2 \)'yi yalnız bırakalım.
\( 2 = \dfrac{a^2}{b^2} \)
\( a^2 = 2b^2 \)
Eşitliğin sağ tarafında 2 çarpanı olduğu için ifadenin her iki tarafı, dolayısıyla \( a^2 \) çift sayı olmak zorundadır (herhangi bir tam sayının çift bir sayı ile çarpımının sonucu çift olur). \( a^2 \) çift ise \( a \) da çift olmak zorundadır (bir çift sayının karesi çift, bir tek sayının karesi tektir).
\( a \) bir çift sayı olduğu için bir diğer \( k \) tam sayısı cinsinden aşağıdaki şekilde yazılabilir (\( k \in \mathbb{Z} \)).
\( a = 2k \)
\( a^2 = 4k^2 \)
\( a^2 \)'nin eşitini yukarıdaki eşitlikte yerine koyup \( b^2 \)'yi yalnız bırakalım.
\( 4k^2 = 2b^2 \)
\( b^2 = 2k^2 \)
Yukarıda \( a \) için gösterdiğimiz şekilde, eşitliğin sağ tarafında 2 çarpanı olduğu için ifadenin her iki tarafı, dolayısıyla \( b^2 \) çift sayı olmak zorundadır. \( b^2 \) çift ise \( b \) de çift olmak zorundadır.
İspata \( a \) ve \( b \)'nin aralarında asal tam sayılar ve \( \sqrt{2} \)'nin rasyonel bir sayı olduğu varsayımı ile başlamıştık, ama bu varsayımın \( a \) ve \( b \)'nin birer çift sayı olmasını gerektirdiğini bulmuş olduk. 2 sayısı iki çift sayının ortak bir çarpanı olduğu için iki çift sayı aralarında asal olamaz, dolayısıyla ispatın başında yaptığımız aralarında asal varsayımı doğru olamaz.
Sonuç olarak oranları \( \sqrt{2} \)'ye eşit olacak ve aynı zamanda aralarında asal iki tam sayı bulamayacağımızı, dolayısıyla \( \sqrt{2} \)'nin rasyonel olamayacağını ve irrasyonel olmak zorunda olduğunu göstermiş olduk.
İspatta hata bildirin
İrrasyonel Sayılar Nedir, Nelerdir Ve Hangi Harfle G&#;sterilir? İrrasyonel Sayılar &#;rnekleri İle Konu Anlatımı
İrrasyonel Sayılar Nelerdir ve Hangi Harfle Gösterilir?
İrrasyonel sayılar, hiçbir şekilde tam sayı kesirleri ile birlikte ifade edilemeyen sayılardır. İrrasyonel sayıların hepsini bulmak mümkün olmamaktadır. Fakat irrasyonel sayılar ile rasyonel sayıları ayırmanın bir yolu bulunmaktadır. 1 – 10 – – gibi tam sayı olarak verilmiş olan sayılar ile devirli ondalık sayılar rasyonel sayılar olma özelliği taşımaktadır.
İrrasyonel sayıların devreden kısımları mevcut değildir. Ondalık kısımlarında yer alan sayılar belli bir örüntüyle kendini tekrarlamazlar. İrrasyonel sayıların mevcut durumda olan pek çok özelliği bulunmaktadır ve bu özelliklere uyan sayılar irrasyonel sayılar olarak tanımlanmaktadır.
Öncelikle şunu bilmek gerekliliği söz konusudur ki irrasyonel sayılar rasyonel sayılar ile bütün matematiksel işlemlerin içerisine girebilirler. Bu işlemlere çıkarma, toplama, çarpma ve bölme işlemleri örnek verilebilir.
İrrasyonel sayıların sahip oldukları bir diğer özelliği ise rasyonel ve irrasyonel sayılar beraberliğinde yapılmakta olan tüm işlemler neticesinde çıkan cevap her zaman irrasyonel olacaktır. Bunun anlamı bir rasyonel sayının irrasyonel sayı ile 4 işleme tabi tutulması durumunda çıkan sonuç her daim irrasyonel olur.
İrrasyonel sayılar hangi harfle gösterilir şeklindeki sorusunun yanıtı ise "I" harfi olacaktır. İrrasyonel sayılar "Q" harfi ile gösterilirler. Bunun beraberinde irrasyonel sayıların başka bir tanımını da ifade etmek gerekirse; irrasyonel sayılar a/b biçiminde yazımı yapılamayan, tam kesirler kullanılmayan sayılar olarak öne çıkmaktadır. İrrasyonel sayılar oransız sayılar kümesi olarak da bilinir ve hiçbir rasyonel yani oranlı sayı irrasyonel yani oransız sayı kümesinin içerisinde yer almaz.
I =irrasyonel
Q =rasyonel
İrrasyonel Sayılar Örnekleri İle Konu Anlatımı
İrrasyonel sayıların örnekleri ve pi sayısı irrasyonel mi sorusunun yanıtı çok fazla merak edilmekte ve araştırılmaktadır. Öncelikle pi sayısı irrasyonel bir sayı olma özelliğine sahiptir. Pi sayısının beraberinde matematik, fizik, kimya formüllerinde kullanımı söz konusu durumda olan pek çok sabit sayı da irrasyoneldir. Konun her birey tarafından net olarak anlaşılabilir olması adına irrasyonel sayılara bir örnek vermek son derece büyük bir fayda sağlayacaktır. Bunun için şu şekilde örnekler verilecektir:
- Tam kare olmayan köklü sayılar
- Pi sayısı
- Ondalık kısmı tekrara girmeyen durumdaki sonsuz basamaklı olan sayılar
İrrasyonel sayılara örnekler ve çözümleri ile ele almak daha fazla açıklayıcı bir etki yaratabilmektedir. Bu sebeple özellikle de öğrenci olan bireylerin daha iyi anlaması noktasında örneklemeler irrasyonelin nasıl bir yapıya sahip olduğunun ortaya konulmasına büyük katkı sağlar. Bunun için hangi rakamların İrrasyonel olduğunu göstermekle başlamak gerekliliği söz konusudur.
- Virgülün sağında kalan kısmın tek rakam olması bir irrasyonel sayıdır.
- ‘Pi’ sayısı bir İrrasyonel sayıdır.
- Tam kare olmayan kare köklü sayılar irrasyonel sayıdır.
- 0’dan sonra virgülle ondalık sayının karekökünün sonucunda İrrasyonel durumu gelmesi.
Başka bir ifadeyle 1, 2 veya 5 ve 10 gibi tüm normal sayıların haricindeki diğer rakamlar İrrasyonel olarak bilinmektedir. Bu kapsamda irrasyonel sayılar herhangi bir biçimde rasyonel hale gelmezler. Bundan dolayı da İrrasyonel sayı olarak bilinmektedirler. Yani bir karekök içerisinde yer alan sayıyı herhangi bir biçimde normal olarak dışarı çıkmaz. Bu durum da o sayıyı İrrasyonel yapar. Aynı zamanda 'pi' ve benzeri gibi şekiller kullanılarak anlatılmakta olan tüm rakamlar İrrasyonel sayılardır.