Itme Formulu

itme formulu

kaynağı değiştir]

Maddesel bir gövdenin hareketi

Birçok-parçacıklı sistemin çizgisel momentumu, toplam kütle m ile kütle merkezi hızı v_km’nin çarpımı olarak da tanımlanabilir.

$\sum {\mathbf {F} }={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{km}}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} _{km}\,$

Bu Newton'un ikinci yasasının özel bir halidir (eğer kütle sabitse).

Tensörler kullanılarak yapılacak daha genel bir türetim için, bir t anında, V hacmini kaplayan, bir S yüzey alanına sahip, stres vektörü $\scriptstyle T_{i}^{(n)}\,$ ile temsil edilen birim yüzey alanı başına yüzey kuvvetinin ettiği, V hacmi içinde her noktadaki birim hacim başına olan F_i gövde kuvvetinin etkidiği, cismin gövdesi boyunca belirlenmiş v_i hız alanı ile belirlenmiş, sürekli bir ortam olduğu varsayılan, hareket halindeki bir cismi düşünelim(şekile bakın).

$\int _{S}T_{i}^{(n)}dS+\int _{V}F_{i}dV={\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \,v_{i}\,dV\,.$

Tanım gereği stres vektörü $\scriptstyle T_{i}^{(n)}\equiv \sigma _{ij}n_{j}\,$ ’dir, o halde

$\int _{S}\sigma _{ij}n_{j}\,dS+\int _{V}F_{i}\,dV={\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \,v_{i}\,dV\,.$

Gauss'un diverjans teoremini kullanarak, yüzey integrali hacim integraline çevrilirse, (burada $\scriptstyle \partial _{j}\equiv {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\,$ ile diferansiyel işlemci belirtilmektedir), bu bize şunu verir:

$\int _{V}\partial _{j}\sigma _{ij}\,dV+\int _{V}F_{i}\,dV={\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \,v_{i}\,dV\,.$

Artık sadece bu eşitliğin sağ tarafıyla ilgilenebiliriz. Bu noktada dikkat etmemiz gereken, diferansiyel işlemciyi sadece integranda uygulamamaktır. Çünkü bu sürekli ortama sahip gövdenin hareketi esnasında, gövde katı bir cisim olmak zorunda olmadığından, integre ettiğimiz hacim de zaman içinde değişebilir. O halde yukarıdaki integral şu hali alır:

${\frac {d}{dt}}\int \rho \,v_{i}\,dV=\int {\frac {\partial (\rho v_{i})}{\partial t}}\,dV+\oint \rho v_{i}v_{k}n_{k}dA\,.$

Birinci kısımda türev alınır ve ikinci kısma diverjans teoremi uygulanırsa:

${\frac {d}{dt}}\int \rho \,v_{i}\,dV=\int \left[\left(\rho {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{i}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)+\partial _{k}(\rho v_{i}v_{k})\right]\,dV\,.$ elde edilir.

Artık integralin içindeki ikinci terim şudur: $\partial _{k}(\rho v_{i}v_{k})=\rho v_{k}\cdot \partial _{k}v_{i}+v_{i}\partial _{k}(\rho v_{k})\,.$ Bunu önceki denklemde yerine koyup, terimleri düzenledikten sonra, şunu elde ederiz:

${\frac {d}{dt}}\int \rho \,v_{i}\,dV=\int \rho \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+v_{k}\partial _{k}\right]v_{i}\,dV+\int \left[{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\partial _{k}(\rho v_{k})\right]v_{i}\,dV\,.$

Yukarıdaki denklemlerdeki iki integral terimini kolayca tanıyabiliriz. İlk integral hız alanının konvektif türevini ve ikinci integral ise kütlenin zaman içindeki akışını ve değişimini ihtiva eder. Şimdi ise sistemde ne bir kaynak (source) ne de bir gider (sink) olduğunu varsayalım, yani kütle korunuyor olsun, o halde bu ikinci terim sıfırdır. Böylece şunu elde ederiz:

${\frac {d}{dt}}\int \rho \,v_{i}\,dV=\int \rho \,{\frac {Dv_{i}}{Dt}}\,dV\,$

Bunu orijinal denkleme geri koyarsak:

$\int _{V}\left[\partial _{j}\sigma _{ij}+F_{i}-\rho {\frac {Dv_{i}}{Dt}}\right]\,dV=0\,.$

Herhangi bir hacim için integrand sıfır olması gerektiğinden, Cauchy hareket denklemlerini elde ederiz

$\partial _{j}\sigma _{ij}+F_{i}=\rho {\frac {Dv_{i}}{Dt}}\,.$

Görüldüğü gibi bunu elde etmek için sadece hiçbir kütle kaynağı veya kütle giderinin olmadığını, yani kütlenin korunduğu varsayımını yaptık. O halde bu denklem herhangi bir sürekli sistem için, akışkan sistemlerde dahi geçerlidir. Eğer yalnızca elastic sürekliliği inceliyorsak, konvektif türevin ikinci terimi ihmal edilebilir ve bu durumda bize hız alanının sıradan zaman türevi kalır. Bir sistem dengede ise, ivmesi olmayacağından, momentumunun zamana göre değişimi sıfırdır.

$\sum {\mathbf {F} }={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}=\ m\mathbf {a} _{cm}=0\,.$

Ya da tensör gösterimiyle,

$\partial _{j}\sigma _{ij}+F_{i}=0\,.$

Bunlar, çizgisel elastisite problemlerini çözmek için katılar mekaniğinde kullanılan denge denklemleridir. Mühendislik gösteriminde, denge denklemleri kartezyen koordinatlarda şöyle ifade edilirler:

${\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0\,$

${\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0\,$

${\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0\,.$

Çizgisel momentumun korunumu[değiştir kaynağı değiştir]

Ana madde: Coefficient of Restitution

Tazmin(restitution) katsayısı, göreli uzaklaşma hızının, göreli yaklaşma hızına oranı olarak tanımlanır. Bir oran olduğundan, boyutsuz bir niceliktir. Tazmin katsayısı, iki çarpışan nesne için, şöyle verilir:

$C_{R}={\frac {v_{2}-v_{1}}{u_{1}-u_{2}}}$

burada

v₁ çarpışmadan sonra, birinci nesnenin son skaler hızı

v₂ çarpışmadan sonra, ikinci nesnenin son skaler hızı

u₁ çarpışmadan önce, birinci nesnenin ilk skaler hızı

u₂ .çarpışmadan önce, ikinci nesnenin ilk skaler hızı.

Mükemmel bir esnek çarpışma, C_R ‘nin 1 olduğunu ima eder. Böylece mükemmel esnek çarpışmada, çarpışan cisimlerin göreli yaklaşma ve göreli uzaklaşma hızları eşittir.

Esnek-olmayan çarpışmalar, (C_R < 1) eşitsizliğine sahiptirler. Mükemmel bir esnek-olmayan çarpışma durumunda, çarpışan cisimlerin kütle merkezlerine göre hızları sıfırdır. Böylece cisimler, çarpışmadan sonra birbirlerine yapışırlar.

Itme Formulu

Çizgisel momentumun korunumu[değiştir kaynağı değiştir]

Patlamalar[değiştir Sınıf Fizik nest... 48119 48120 48121 48122 48123

Patlamalar[değiştir Sınıf Fizik
nest...
48119 48120 48121 48122 48123