Çıkarma Işleminde Eksilen Çıkan Fark

Günlük hayatta sıklıkla kullandığımız toplama- çıkarma işlemleri, küçük yaşlardan bu yana bize öğretilen temel işlemlerdir. Matematikte pek çok soruyu çözmek için bu basit işlemleri hatasız yapmak önemlidir. Genellikle matematikte farkı kaç olduğu sorular karşımıza çıkar. Bu da bizi doğruca sorunun cevabına götürür. Bazen ise eksilen veya çıkan verilmez ve bu işlemlerden birisinin kaç olduğu sorusu, başka farklı işlemleri de ön plana çıkartır. Bu durumda çıkarma işleminde üç farklı kavram ile karşı karşıya kalırız. Peki; eksilen, çıkan, fark nedir, çıkarma işleminde nasıl bulunur? Çıkarma işlemini doğru yapabilmek için, bu kavramların anlamını bilmek önemlidir.

Eksilen Çıkan Fark Nedir?

Matematikte sıkça kullandığımız işlemlerden birisi olan çıkarma işleminde üç ayrı kavram karşımıza çıkacaktır. Bu kavramlardan ilki olan eksilen, azalan sayıdır. Yani bir sayı verildiği zaman, bu sayı üzerinden çıkarma işlemi yapılır ve sayı eksilir.

Çıkarma işleminde en üstte yer alan bir kavramdır. Çıkan, çıkarma işleminin ikinci elemanıdır. İşlemlerde, eksilen bölümünün hemen altında bulunur. Fark ise, bu işlemin sonucunu ifade edilir. Bir işlemde sonuç olarak fark ortaya çıkar.

Eksilen Çıkan Fark Nasıl Bulunur?

Çıkarma işleminde eksileni, çıkanı ve farklı bulmak için belirli işlemleri yapmak gerekir. Çıkarma işleminde farkı bulmak için eksilenden çıkan çıkarılır ve sonuç elde edilir. Eksilenin verilmediği durumlarda ise çıkan ve farkın toplanması gerekir. Çünkü çıkan ile farkın toplamı, eksilene eşittir. Bazı işlemlerde ise çıkan verilmez. Çıkanı bulmak için eksilen üzerinden fark çıkarıldığı zaman sonuç bulunur.

Eksilen Çıkan Fark Örnekleri ve Problemleri

Çıkarma işlemini anlamak için bazen örnek sorulara bakmak gerekebilir. Çıkarma işleminde eksilen, çıkan ve fark olmak üzere 3 farklı kavramla karşılaşırız. Bu işlemin matematiksel söylemi ise şu şekildedir:

Eksilen-Çıkan= Fark

Örneğin; eksilen sayı , çıkan sayı ise olsun. Çıkarma işlem şu şekilde karşımıza çıkacaktır:

= 53

Bu işlemle ilgili çıkan problemler de dikkat edilmelidir. Örneğin bir problemde;

• Bir çıkarma işleminde eksilen, çıkan ve farkın toplamı ise eksilen kaçtır?

Soruda eksilen, çıkan ve fark toplamı verilmiştir. E-Ç=F denkleminde E= F+ Ç olur. Böylelikle 2. denklemde çıkan farkın yerine E'yi koyduğumuzda 2E= olur. Burada Eksilen= çıkar.

A: SAYI

Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

B. SAYI KÜMELERİ

1. Sayma Sayıları: {1, 2, 3,  … , n , …} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.

2. Doğal Sayılar: {0, 1, 2, 3, … , n , …} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.  şeklinde gösterilir.

• Pozitif Doğal Sayılar= {1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına pozitif doğal sayı denir. şeklinde gösterilir.

3. Tam Sayılar: {… , – n , … – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, … , n , …} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.  Şeklinde gösterilir.

Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi :  şeklinde, pozitif tam sayılar kümesi :  şeklinde gösterilir ve sıfırı eleman kabul eden : {0} kümenin birleşim kümesidir.

Buna göre,  dır.

4. Rasyonal Sayılar:a ve b birer tam sayı ve b ¹ 0 olmak koşuluyla biçiminde yazılabilen sayılararasyonel sayılar denir.

Şeklinde gösterilir.

5. İrrasyonel Sayılar: Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayılar monash.pwülden sonra belli bir kurala göre gitmeyen sayılar irrasyonel sayılardır. İrrasyonel sayılar kümesi şeklinde gösterilir.

Buna göre,  kümesinin elemanları  şeklinde gösterilemez.

(a, b Î ve b ¹0)

  sayıları  irrasyonel sayısına birer örnektir.

6. Reel (Gerçel) Sayılar: Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel (gerçel) sayılar kümesi denir.

şeklinde gösterilir.

7. Karmaşık (Kompleks) Sayılar: (Bu konu karmaşık sayılar isimli konuda daha detaylı anlatımı ve konu anlatımlı videosu bulunmaktadır.)

C. SAYI ÇEŞİTLERİ

1. Çift Sayı

 olmak üzere (yani tam sayı) 2n genel ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir.

Ç = {… , –2n , … , –4, –2, 0, 2, 4, … , 2n , …} kümesinin elemanlarının her biri çift sayıdır.

2. Tek Sayı
olmak  üzere 2n + 1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir.

T = {… , –(2n + 1), … , –3, –1, 1, 3, … , (2n + 1), …} kümesinin elemanlarının her biri tek sayıdır.

İki tek sayının farkı çift , toplama çift ve çarpımı tek sayıdır

 K bir tek sayı olmak üzere,

• K + K  sonucu çift sayıdır.
• K – K sonucu çift sayıdır.
• K × K işleminin soncu tek sayıdır.

İki çift sayının toplamı, farkı ve çarpımı çift sayıdır.

Ç bir çift sayı olmak üzere,

• Ç + Ç işleminin sonucu çift
• Ç – Ç işleminin sonucu çift
• Ç × Ç işleminin sonucu çift sayıdır.

Bir tek sayı ile bir çift sayının toplamı ve farkı tek sayı çarpımı çift sayıdır.

T bir tek sayı ve Ç bir çift sayı olmak üzere,

• T + Ç işleminin sonucu tek,
• Ç + T işleminin sonucu tek,
• T – Ç işleminin sonucu tek,
• Ç – T işleminin sonucu tek,
• T × Ç işleminin sonucu çift sayıdır.

• Not 1: Tam sayılar kümesinde bir çarpma işleminin sonucunda sonuç çift ise, çarpma işlemine giren sayılardan en az biri çifttir.Not 2: Tam sayılar kümesinde bir çarpma işleminin sonucunda sonuç tek ise, çarpma işlemine giren sayıların her biri  tek sayıdır.Not 3: Çift sayıların tüm pozitif tam kuvvetleri yine bir çift sayıdır.Çünkü Not:1 deki kural geçerli olur. Buna göre, n pozitif tam sayı ve Ç bir çift sayı olmak üzere, Çn nin sonucu daima çift sayıdır.Not 3:Tek sayıların tüm doğal sayı kuvvetleri yine bir tek sayıdır.Çünkü Not 2 deki kural geçerli olmakdadır. Buna göre, n bir doğal sayı ve T bir tek sayı olmak üzere, Tn nin sonucu daima tek sayıdır Not 4 :Bölme işlemi için yukarıdaki şekilde bir genelleme yapmak yanlış olur.

  Not: Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur. Hem tek aynı zamanda da çift olan bir sayı yoktur. Sıfır (0) çift sayıdır.

• 3. Pozitif Sayılar – Negatif Sayılar
  Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayılara pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayılara negatif sayıdenir.a < b < 0 < c < d  olmak üzere,
  • a ve b negatif sayı
  • c ve d pozitif sayıdır.
  • İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)
  • İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b < 0)
  • Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur.

  

  • Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.
  • Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.
  • Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.
  • Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.
  • Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.
  • Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.
  • 4. Asal Sayı
    Kendisinden ve 1 den başka pozitif tam sayılara tam bölünmeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir.2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sayıları birer asal sayıdır.
    • En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur.
    • Asal sayıların çarpımı asal değildir.

    Not: Asal olmayan, 1 den büyük tam sayılarabileşik sayıdenir.

    5. Aralarında Asal
    Ortak bölenlerinin en büyüğü 1 olan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.

  • a ile b aralarında asal ise, aralarındaki oran en sade biçimdedir.
    

    D. ARDIŞIK SAYILAR

    Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir.

    n bir tam sayı olmak üzere,

    • Ardışık dört tam sayı sırasıyla;

    n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.

    • Ardışık dört çift sayı sırasıyla;

    2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.

    • Ardışık dört tek sayı sırasıyla;

    2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.

    • Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;

    3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.

    Bazı Ardışık Sayıların Toplamı
    n bir sayma sayısı olmak üzere,

    • Ardışık sayma sayılarının toplamı

    Şeklinde formül ortaya çıkar.

  • • Ardışık pozitif çift doğal sayıların toplamı ise

    2 + 4 + 6 + … + (2n) = n(n + 1)

    • Ardışık tek doğal sayıların toplamı

    1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²

    • Artış miktarı eşit olan ardışık tam sayıların toplamı

    Terim sayısı

    Terim Sayı=[(Son Terim – İlk Terim) / Artış Miktarı] + 1

    r : İlk terim

    n : Son terim

    x : Artış miktarı olmak üzere,

    Şeklinde olur.

    Not: Artış miktarı eşit olan ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir.