SORU 1:
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
aşağıdaki ifadelerden hangisinin karekökü \( a + b\sqrt{3} \) şeklinde olamaz?
(a) \( 28 + 16\sqrt{3} \)
(b) \( 52 + 16\sqrt{3} \)
(c) \( 67 + 16\sqrt{3} \)
(d) \( 88 + 16\sqrt{3} \)
(e) \( + 16\sqrt{3} \)
Çözümü GösterSeçeneklerdeki ifadelerin tümü \( m + 16\sqrt{3} \) şeklindedir. Buna göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
\( \sqrt{m + 16\sqrt{3}} = a + b\sqrt{3} \)
İki tarafın karesini alalım.
\( m + 16\sqrt{3} = (a + b\sqrt{3})^2 \)
\( = a^2 + 2ab\sqrt{3} + (b\sqrt{3})^2 \)
\( = a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2 \)
\( = a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{3} \)
Eşitliğin iki tarafında \( \sqrt{3} \) ifadelerinin katsayıları için \( 16 = 2ab \) eşitliğini sağlayan tüm \( a \) ve \( b \) pozitif tam sayı değerlerini yazalım.
\( a = 1, \quad b = 8 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 1^2 + 3 \cdot 8^2 = \)
Bu durumda cevap \( + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 2, \quad b = 4 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 2^2 + 3 \cdot 4^2 = 52 \)
Bu durumda cevap \( 52 + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 4, \quad b = 2 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 4^2 + 3 \cdot 2^2 = 28 \)
Bu durumda cevap \( 28 + 16\sqrt{3} \) olur.
\( a = 8, \quad b = 1 \) için:
\( m = a^2 + 3b^2 = 8^2 + 3 \cdot 1^2 = 67 \)
Bu durumda cevap \( 67 + 16\sqrt{3} \) olur.
Buna göre karekökü \( a + b\sqrt{3} \) şeklinde olamayacak olan ifade (d) seçeneğidir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( x \) asal sayı, \( b \) doğal sayıdır.
Buna göre \( \sqrt[3]{x + 19} = b \) işleminde \( x \)'in alabileceği en küçük değer nedir?
Çözümü Göster\( \sqrt[3]{x + 19} = b \)
İki tarafın küpünü alalım.
\( x + 19 = b^3 \)
\( x = b^3 - 19 \)
Buna göre küpünün 19 eksiği bir asal sayı olan en küçük \( x \) sayısını bulmalıyız. Farklı \( b \) sayıları için yukarıdaki ifadeyi hesaplayalım.
\( 3^3 - 19 = 8 \Longrightarrow \) Asal değil
\( 4^3 - 19 = 45 \Longrightarrow \) Asal değil
\( 5^3 - 19 = \Longrightarrow \) Asal değil
\( 6^3 - 19 = \Longrightarrow \) Asal
Buna göre \( x \)'in alabileceği en küçük değer olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( \sqrt{} \) metre uzunluğundaki bir ipin yarısı her biri \( 5\sqrt{2} \) metre uzunluğunda olacak şekilde kaç parçaya ayrılabilir?
Çözümü Göster\( \dfrac{\sqrt{} \cdot \frac{1}{2}}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{}}{10\sqrt{2}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{}}{\sqrt{}} = \sqrt{\dfrac{}{}} \)
\( = \sqrt{9} = 3 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( \dfrac{6\sqrt{}}{\sqrt{7}} + \dfrac{6\sqrt{}}{\sqrt{3}} - \dfrac{89\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterKöklü ifadelerin hepsini kök dışına çıkaralım.
\( \dfrac{6 \cdot 9\sqrt{3}}{ \sqrt{7}} + \dfrac{6 \cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{3}} - \dfrac{89\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \)
Tüm kesirlerin paydalarını \( \sqrt{21} \)'de eşitleyelim.
\( = \dfrac{54\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{21}} + \dfrac{24\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{21}} - \dfrac{89\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{21}} \)
\( = \dfrac{ + - }{\sqrt{21}} = \dfrac{63}{\sqrt{21}} \)
Paydayı rasyonel yapmak için payı ve paydayı \( \sqrt{21} \) ile çarpalım.
\( = \dfrac{63 \cdot \sqrt{21}}{21} = 3\sqrt{21} \) olarak buluruz.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( (\sqrt[8]{\sqrt[3]{7^8}})^9 \cdot (\sqrt[3]{\sqrt[8]{7^9}})^8 \)
ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterKöklü ifadeleri üslü ifade biçiminde yazalım.
\( (\sqrt[8]{7^{\frac{8}{3}}})^9 \cdot (\sqrt[3]{7^{\frac{9}{8}}})^8 \)
\( = (7^{\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{8}})^9 \cdot (7^{\frac{9}{8} \cdot \frac{1}{3}})^8 \)
\( = (7^{\frac{1}{3}})^9 \cdot (7^{\frac{3}{8}})^8 \)
\( = 7^3 \cdot 7^3 = 7^6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( \sqrt[4]{(9! + 10! + 11!) \cdot A} \) işleminin sonucunu rasyonel yapan en küçük \( A \) tam sayısı kaçtır?
Çözümü GösterKök içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \sqrt[4]{(9! + 10 \cdot 9! + 11 \cdot 10 \cdot 9!) \cdot A} \)
\( = \sqrt[4]{9! \cdot (1 + 10 + ) \cdot A} = \sqrt[4]{9! \cdot \cdot A} \)
Kök içindeki ifadeyi asal çarpanlarına ayıralım.
\( = \sqrt[4]{2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^2 \cdot A} \)
Köklü ifadenin derecesi 4 olduğu için, ifadenin rasyonel olabilmesi tüm asal çarpanların üsleri 4 ya da 4'ün bir tam sayı katı olmalıdır.
Buna göre bu ifadeyi rasyonel hale getirecek en küçük \( A \) sayısı içinde 2 çarpanı 1 kez, 5 ve 7 çarpanları 3'er kez, 11 çarpanı da 2 kez bulunmalıdır.
\( A = 2^1 \cdot 5^3 \cdot 7^3 \cdot 11^2 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{3} + 1} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{3} + 1} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{3} + 1)^2} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{3} + 1} \)
İkinci ve üçüncü çarpanların dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{3} + 1)^3} \)
İkinci çarpanın derecesini ve kök içinin üssünü 3'e bölelim.
\( = \sqrt{\sqrt{3} - 1} \cdot \sqrt{\sqrt{3} + 1} \)
İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1}) \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( \sqrt{\sqrt{20} + \sqrt{45}} \cdot (\sqrt[4]{80} - \sqrt[4]{5}) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterKök içindeki sayıları asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 5} + \sqrt{3^2 \cdot 5}} \cdot (\sqrt[4]{2^4 \cdot 5} - \sqrt[4]{5}) \)
\( = \sqrt{2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}} \cdot (2\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5}) \)
\( = \sqrt{5\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{5} \)
Birinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( = \sqrt[4]{(5\sqrt{5})^2} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{5^2 \cdot 5} \cdot \sqrt[4]{5}\)
\( = \sqrt[4]{5^3} \cdot \sqrt[4]{5} \)
İki çarpanın dereceleri eşit olduğu için kök içlerini birleştirebiliriz.
\( = \sqrt[4]{5^3 \cdot 5} = \sqrt[4]{5^4} = 5 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( \sqrt{7 + x} - \sqrt{x + 3} = A \) olduğuna göre,
\( \sqrt{7 + x} + \sqrt{x + 3} = B \) ifadesinin \( A \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( A \) ve \( B \) eşitliklerini birbiri ile çarpalım.
\( A \cdot B = (\sqrt{7 + x} - \sqrt{x + 3})(\sqrt{7 + x} + \sqrt{x + 3}) \)
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = (\sqrt{7 + x})^2 - (\sqrt{x + 3})^2 \)
\( = (7 + x) - (x + 3) \)
\( A \cdot B = 4 \)
\( B = \dfrac{4}{A} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{1}{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1} = A \) olduğuna göre,
\( \sqrt[3]{3} - 1 = B \) ifadesinin \( A \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü GösterKüp farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
\( B \) ifadesi ile \( A \) ifadesinin paydası bir küp farkı özdeşliğinin iki çarpanıdır.
\( A \) ifadesinin payını ve paydasını \( \sqrt[3]{3} - 1 \) ile çarpalım.
\( A = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3} - 1)(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3} - 1)((\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} + 1)} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{(\sqrt[3]{3})^3 - 1} \)
\( = \dfrac{\sqrt[3]{3} - 1}{2} = \dfrac{B}{2} \)
\( B \)'yi yalnız bırakalım.
\( B = 2A \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{10} + \sqrt{2}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİki çarpanı birbiri ile çarpabilmek için önce derecelerini eşitleyelim.
İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{10} + \sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{20} + (\sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{12 + 2\sqrt{20}} \)
\( = \sqrt[4]{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{12 + 4\sqrt{5}} \)
Derecelerini eşitlediğimiz köklü ifadeleri çarpalım.
\( = \sqrt[4]{(3 - \sqrt{5}) \cdot (12 + 4\sqrt{5})} \)
\( = \sqrt[4]{36 + 12\sqrt{5} - 12\sqrt{5} - 20} \)
\( = \sqrt[4]{16} = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \sqrt{2} = a, \quad \sqrt{3} = b, \quad \sqrt{5} = c \) olmak üzere,
\( \sqrt[4]{0,} \) ifadesinin \( a \), \( b \) ve \( c \) cinsinden eşiti nedir?
Çözümü GösterSorudaki ifadeyi asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( \sqrt[4]{\dfrac{36}{}} = \sqrt[4]{\dfrac{2^2 \cdot 3^2}{10^3}} \)
\( = \sqrt[4]{\dfrac{2^2 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 5^3}} = \sqrt[4]{\dfrac{3^2}{2 \cdot 5^3}} \)
\( = \dfrac{\sqrt[4]{3^2}}{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{5^3}} \)
Köklü ifadeleri üslü ifade şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{3^\frac{1}{2}}{2^\frac{1}{4} \cdot 5^\frac{3}{4}} = \dfrac{3^\frac{1}{2}}{(2^\frac{1}{2})^\frac{1}{2} \cdot (5^\frac{1}{2})^\frac{3}{2}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{5})^\frac{3}{2}} \)
Köklü ifadelerin yerlerine karşılıklarını yazalım.
\( = \dfrac{b}{a^\frac{1}{2} \cdot c^\frac{3}{2}} \)
Üslü ifadeleri köklü ifade şeklinde yazalım.
\( = \dfrac{b}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{c^3}} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{(\sqrt[3]{9} - 1)(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1)}{(\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt{5} + 1)} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterSorunun çözümü için önce payı düzenleyelim.
Küp farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
Paydaki ifadeyi bir küp farkının açılımı olarak düşünebiliriz.
\( (\sqrt[3]{9} - 1)(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1) \)
\( = (\sqrt[3]{9} - 1)((\sqrt[3]{9})^2 + \sqrt[3]{9} + 1) \)
\( = (\sqrt[3]{9})^3 - 1^3 = 8 \)
Şimdi paydayı düzenleyelim.
\( (\sqrt[4]{5} - 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt{5} + 1) \)
İlk iki çarpana kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( = ((\sqrt[4]{5})^2 - 1^2)(\sqrt{5} + 1) \)
\( = (\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) \)
İki çarpana tekrar kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( = (\sqrt{5})^2 - 1^1 = 4 \)
Pay ve paydanın sadeleştirilmiş hallerini birbirine bölelim.
\( \dfrac{8}{4} = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \sqrt[4]{4 + \sqrt{12}} \cdot \sqrt{\sqrt{3} - 1} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi düzenleyelim.
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\sqrt{3} - 1} \)
İkinci çarpanın derecesini 2 ile çarpıp kök içinin karesini alalım.
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{(\sqrt{3} - 1)^2} \)
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{3 - 2\sqrt{3} + 1} \)
\( = \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{4 - 2\sqrt{3}} \)
\( = \sqrt[4]{(4 + 2\sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})} \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt[4]{4^2 - (2\sqrt{3})^2} \)
\( = \sqrt[4]{16 - 12} = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \sqrt[a]{4} = \sqrt[b]{64}, \quad \sqrt[b]{27} = \sqrt[c]{81} \) ve
\( a \cdot b \cdot c = 12 \) olduğuna göre, \( a + b + c \) kaçtır?
Çözümü GösterKöklü ifadelerin içini düzenleyelim.
\( \sqrt[a]{4} = \sqrt[b]{4^3} \)
\( \sqrt[b]{3^3} = \sqrt[c]{3^4} \)
Köklü ifadeleri üslü ifadelere çevirelim.
\( 4^{\frac{1}{a}} = 4^{\frac{3}{b}} \)
\( 3^{\frac{3}{b}} = 3^{\frac{4}{c}} \)
Tabanları -1, 0, 1'den farklı ve birbirine eşit iki üslü ifade birbirine eşitse üsleri de eşittir.
\( \dfrac{1}{a} = \dfrac{3}{b} \)
\( \dfrac{3}{b} = \dfrac{4}{c} \)
Buna göre orantı sabiti \( \frac{1}{k} \) olacak şekilde aşağıdaki orantıyı yazabiliriz.
\( \dfrac{1}{a} = \dfrac{3}{b} = \dfrac{4}{c} = \dfrac{1}{k} \)
\( a = k, \quad b = 3k, \quad c = 4k \)
\( k \cdot 3k \cdot 4k = 12k^3 = 12 \)
\( k = 1 \)
\( a = k = 1, \quad b = 3k = 3, \quad c = 4k = 4 \)
\( a + b + c = 1 + 3 + 4 = 8 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \sqrt{x} + 1 = \sqrt{6} \) olduğuna göre, \( x + \dfrac{10}{\sqrt{x}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \sqrt{x} = \sqrt{6} - 1 \)
\( (\sqrt{x})^2 = (\sqrt{6} - 1)^2 \)
\( x = 6 - 2\sqrt{6} + 1 = 7 - 2\sqrt{6} \)
Bu değeri sonucu istenen işlemde yerine koyalım.
\( x + \dfrac{10}{\sqrt{x}} = 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10}{\sqrt{6} - 1} \)
İkinci terimin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10(\sqrt{6} + 1)}{(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1) } \)
\( 7 - 2\sqrt{6} + \dfrac{10(\sqrt{6} + 1)}{5} \)
\( 7 - 2\sqrt{6} + 2(\sqrt{6} + 1) \)
\( 7 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} + 2 \)
\( = 9\) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{\sqrt{10} - 2 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{7 - \sqrt{40}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterÖnce paydayı düzenleyelim.
Köklü ifadeden kurtulmak için kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{7 - \sqrt{4 \cdot 10}} = \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} \)
\( = \sqrt{(5 + 2) - 2\sqrt{5 \cdot 2}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt{5} - \sqrt{2} \)
Soruda verilen işlem aşağıdaki şekilde olur.
\( \dfrac{\sqrt{10} - 2 + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
Paydaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + \sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
\( = \dfrac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
\( = \sqrt{2} + 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \sqrt{\sqrt{28 + 8\sqrt{12}}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİçteki köklü ifadeden kurtulmak için kök içini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{\sqrt{28 + (2 \cdot 4)\sqrt{12}}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{(16 + 12) + 2\sqrt{16 \cdot 12}}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{(\sqrt{16} + \sqrt{12})^2}} \)
\( = \sqrt{\sqrt{16} + \sqrt{12}} \)
\( = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} \)
Aynı işlemi tekrarlayalım.
\( = \sqrt{(3 + 1) + 2\sqrt{3 \cdot 1}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} \)
\( = \sqrt{3} + 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \sqrt{11 + 4\sqrt{6}} - \sqrt{11 - 4\sqrt{6}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi düzenleyelim.
\( \sqrt{11 + 2\sqrt{6 \cdot 4}} - \sqrt{11 - 2\sqrt{6 \cdot 4}} \)
\( = \sqrt{11 + 2\sqrt{24}} - \sqrt{11 - 2\sqrt{24}} \)
Dıştaki köklü ifadelerden kurtulmak için kök içlerini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( = \sqrt{(8 + 3) + 2\sqrt{8 \cdot 3}} - \sqrt{(8 + 3) - 2\sqrt{8 \cdot 3}} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{8} + \sqrt{3})^2} - \sqrt{(\sqrt{8} - \sqrt{3})^2} \)
\( = (\sqrt{8} + \sqrt{3}) - (\sqrt{8} - \sqrt{3}) \)
\( = 2\sqrt{3} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot (\sqrt{5 + \sqrt{21}}) \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci köklü ifadeyi \( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \) ile çarpalım.
\( (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{(\sqrt{5 + \sqrt{21}}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{10 + 2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}} \)
\( \sqrt{10 + 2\sqrt{21}} \) ifadesini parantez karesi şeklinde yazalım.
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{(7 + 3) + 2\sqrt{7 \cdot 3}}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}} \)
\( = (\sqrt{28} - \sqrt{12}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
Parantez içindeki köklü ifadeyi düzenleyelim.
\( = (2\sqrt{7} - 2\sqrt{3}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
\( = 2(\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
\( = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sqrt{2} \cdot ((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2) = 4\sqrt{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \sqrt[4]{a^3} \) sayısı \( a^{\frac{2}{3}} \) sayısından \( \%25 \) daha büyük olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterSoruda verilen ilişkiyi eşitlik olarak yazalım.
\( \sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{2}{3}} \cdot (1 + \dfrac{25}{}) \)
\( a^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{2}{3}} \cdot \dfrac{5}{4} \)
\( \dfrac{a^{\frac{3}{4}}}{a^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{5}{4} \)
\( a^{\frac{3}{4} - \frac{2}{3}} = \dfrac{5}{4} \)
\( a^{\frac{1}{12}} = \dfrac{5}{4} \)
\( a = (\dfrac{5}{4})^{12} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x = 14 - 6\sqrt{5} \) olduğuna göre, \( \sqrt{x} + 4 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Gösterx'i tam kare şeklinde yazalım.
\( x = 14 - 2\sqrt{45} \)
\( = (9 + 5) - 2\sqrt{9 \cdot 5} \)
\( = (\sqrt{9} - \sqrt{5})^2 \)
\( = (3 - \sqrt{5})^2 \)
Bulduğumuz \( x \) değerini sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{x} + 4 \cdot x^{-\frac{1}{2}} \)
\( = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} + 4 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{(3 - \sqrt{5})^2}} \)
\( = 3 - \sqrt{5} + 4 \cdot \dfrac{1}{3 - \sqrt{5}} \)
Kesirli ifadenin payını ve paydasını paydanın eşleniği ile çarpalım.
\( = 3 - \sqrt{5} + 4 \cdot \dfrac{3 + \sqrt{5}}{3^2 - (\sqrt{5})^2} \)
\( = 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} \)
\( = 6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \dfrac{3}{\sqrt{7 + \sqrt{40}}} - \dfrac{4}{\sqrt{8 + \sqrt{48}}} + \dfrac{1}{\sqrt{11 + \sqrt{}}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 7 + \sqrt{40} = (5 + 2) + 2\sqrt{5 \cdot 2} \)
\( = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 \)
\( 8 + \sqrt{48} = (6 + 2) + 2\sqrt{6 \cdot 2} \)
\( = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 \)
\( 11 + \sqrt{} = (6 + 5) + 2\sqrt{6 \cdot 5} \)
\( = (\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 \)
Değeri istenen ifadeyi düzenleyelim.
\( \dfrac{3}{\sqrt{7 + \sqrt{40}}} - \dfrac{4}{\sqrt{8 + \sqrt{48}}} + \dfrac{1}{\sqrt{11 + \sqrt{}}} \)
\( = \dfrac{3}{\sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2}} - \dfrac{4}{\sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{5})^2}} \)
\( = \dfrac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} - \dfrac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \)
Kesirlerin pay ve paydalarını paydaların eşlenikleri ile çarpalım.
\( = \dfrac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} - \dfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} + \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} \)
\( = \dfrac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} - \dfrac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} + \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{1} \)
\( = \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{5} \)
\( = 0 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \sqrt[3]{\dfrac{2\sqrt{28} + 29}{\sqrt{28} - 1}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterPaydadaki köklü ifadeden kurtulmak için paydayı eşleniği olan \( \sqrt{28} + 1 \) ile genişletelim.
\( \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{(\sqrt{28} - 1)(\sqrt{28} + 1)}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{(\sqrt{28})^2 - 1}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(2\sqrt{28} + 29)(\sqrt{28} + 1)}{27}} \)
Paydaki ilk çarpanı parantez karesi şeklinde yazalım.
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( 2\sqrt{28} + 29 = 2\sqrt{28 \cdot 1} + 28 + 1 \)
\( a = \sqrt{28}, \quad b = 1 \) olmak üzere,
\( = (\sqrt{28} + 1)^2 \)
Denklemde yerine yazalım.
\( x = \sqrt[3]{\dfrac{(\sqrt{28} + 1)^2(\sqrt{28} + 1)}{27}} \)
\( = \sqrt[3]{\dfrac{(\sqrt{28} + 1)^3}{27}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{28} + 1}{3} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( x = 3 - \sqrt{2} + \sqrt{11} \) olduğuna göre, \( x^2 - 6x - 4 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri istenen ifadeyi tam kareye tamamlamak için \( -4 = 9 - 13 \) yazalım.
\( x^2 - 6x + 9 - 13 = (x - 3)^2 - 13 \)
\( x \)'i yerine koyalım.
\( (3 - \sqrt{2} + \sqrt{11} - 3)^2 - 13 \)
\( = (\sqrt{11} - \sqrt{2})^2 - 13 \)
\( = 11 - 2\sqrt{11}\sqrt{2} + 2 - 13 \)
\( = -2\sqrt{22} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU
\( \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 4\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterEn içteki köklü ifadeden başlayarak köklerden kurtulmaya çalışalım.
\( \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} \) ifadesini bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{9 + 5 + 2\sqrt{9 \cdot 5}} = \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} \)
\( = 3 + \sqrt{5} \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 4 \cdot (3 + \sqrt{5})}} = \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{-3 + 12 + 4\sqrt{5}}} \)
\( = \sqrt{-\sqrt{5} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}} \)
\( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} \) ifadesini yine bir ifadenin parantez karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{4 + 5 + 2\sqrt{4 \cdot 5}} = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} \)
\( = 2 + \sqrt{5} \)
Bu değeri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( \sqrt{-\sqrt{5} + 2 + \sqrt{5}} \)
\( = \sqrt{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Kareköklü sayılar, küpkök sayılar ve kök değeri farklı olan kök içinde ki sayıları bu hesaplama aracı ile dışarı çıkarabilirsiniz.
Kareköklü bir sayıyı dışarı çıkarmak istiyorsanız ilk bölümden yapabilirsiniz. Farklı üslere sahip kök içleri için altında ki bölmeyi kullanabilirsiniz.
Köklü sayı örnekleri :
3√27 = 3√33 = 3 (Sonuç)
√81 = √92 = 9 (Sonuç)
√1 = 1 | √ = 11 | √ = 21 |
√4 = 2 | √ = 12 | √ = 22 |
√9 = 3 | √ = 13 | √ = 23 |
√16 = 4 | √ = 14 | √ = 24 |
√25 = 5 | √ = 15 | √ = 25 |
√36 = 6 | √ = 16 | √ = 26 |
√49 = 7 | √ = 17 | √ = 27 |
√64 = 8 | √ = 18 | √ = 28 |
√81 = 9 | √ = 19 | √ = 29 |
√ = 10 | √ = 20 | √ = 30 |