Köklü Sayılar Ales

köklü sayılar ales

Kareköklü Sayılar

Köklü Sayılar nasıl oluşur? Bir tanımla anlatalım bunu:

n, 1’den büyük pozitif bir tam sayı olmak üzere, $\displaystyle {{a}^{n}}=x$ denklemini sağlayan a sayısına x’in ‘n’ dereceden kökü denir ve bu da $\displaystyle a=\sqrt[n]{x}$ şeklinde gösterilir.

Buradaki n kök derecesidir. x ise kök içi olarak tanımlanır.

Bu tanımdan sonra dikkat etmemiz gereken 2 nokta var. Bunlar:

Köklü bir ifadede kökün derecesi yazmıyorsa 2 olarak kabul edilir.
$\displaystyle \sqrt[x]{0}=0$ Yani kök içindeki sıfır, derecesi ne olursa olsun, dışarı hep 0 olarak çıkar.

Şimdi bu tanımlardan sonra 11 başlık altında köklü sayıların nasıl karşımıza çıktığına bakalım.

Köklü Sayılarda Tanımlılık

Az önce tanım yapmadık mı? Bu ne peki? Şöyle ki, bu bir tanım değil. Burada ‘Bir köklü ifadenin köklü sayı olarak tanımlanabilmesi için hangi şartlar gerekir?’ sorusunun cevabını vereceğiz.

$\displaystyle a=\sqrt[n]{x}$ diye karşımıza çıkan bir köklü ifadenin tanımlı olabilmesi için, diğer bir deyişle reel yani gerçek bir sayı belirtmesi için şu şartlar gerekir;

a) Kök derecesi çift ise kök içindeki sayı 0’dan büyük ya da sıfıra eşit olmalıdır.

Kısaca kökün derecesi çift sayı ise kök içi negatif olamaz!

Bu şart matematik dilinde şöyle tanımlanır:

n çift iken x<0 ise $\displaystyle \sqrt[n]{x}$ ifadesi tanımsızdır.

Örnekler

b) Kök derecesi tek ise kök içi aklınıza gelebilecek her değeri alabilir. Negatif, pozitif farketmez.

Kısaca kökün derecesi tek sayı ise kök içinin ne olduğunun (pozitif, negatif) önemi yok, bu sayı her zaman tanımlıdır.

Örnekler

Kök İçindeki Sayıyı Kök Dışına Çıkarma

Kök içindeki bir sayının kök dışına çıkması şu şekilde gerçekleşir:

Kök içindeki sayının kuvvetini kökün derecesine bölün.

Örnekler:

$\displaystyle \sqrt[4]{{16}}=\sqrt[4]{{{{2}^{4}}}}\Rightarrow \sqrt[{\not{4}}]{{{{2}^{{\not{4}}}}}}=2$

Şimdi burada 16 nasıl oldu da $\displaystyle {{2}^{4}}$ haline geldi diyorsanız demek ki üslü sayılar konusunu tam olarak anlayamamışsınız. Lütfen üslü sayılar konusunu tam olarak anlamadan köklü sayılar konusuna dönmeyin. Çünkü bundan sonra bu ifadeler karşınıza sık sık çıkacak.

$\displaystyle \sqrt[3]{{125}}=\sqrt[3]{{{{5}^{3}}}}\Rightarrow \sqrt[{\not{3}}]{{{{5}^{{\frac{3}{3}}}}}}=5$

$\displaystyle \sqrt[8]{{{{x}^{{56}}}}}={{x}^{{\frac{{56}}{8}}}}={{x}^{7}}$

$\displaystyle \sqrt[9]{{{{y}^{{38}}}}}={{y}^{{\frac{{38}}{9}}}}$

Köklü Sayılarda Sadeleştirme – Genişletme

a)Sadeleştirme: Kök derecesi ve kök içindeki sayının derecesine bakılır. Bunları, problem içinde ihtiyaç duyacağımız ve tam olarak bölebilecek bir sayıya böleriz ve ifade sadeleştirilir. Şöyle ki;

$\displaystyle \sqrt[6]{{{{9}^{3}}}}$ Bu köklü ifadeyi şu şekilde sadeleştirebiliriz:

$\displaystyle \sqrt[{6/3}]{{{{9}^{{3/3}}}}}=\sqrt{9}=3$ Bu şekilde her iki sayıyı da 3’e böldük ve sonuca ulaştık.

b)Genişletme: Bu sefer de genişletmek istediğimiz ortak sayı ile kökün derecesi ve kök içindeki sayının derecesi çarpılır.

$\displaystyle \sqrt[4]{{{{2}^{2}}}}$ ifadesini diyelim ki 3 ile genişletmek istiyoruz:

$\displaystyle \sqrt[{4.3}]{{{{2}^{{2.3}}}}}=\sqrt[{12}]{6}$ Her iki sayıyı da 3 ile çarpıyoruz ve istediğimiz sayıya ulaşıyoruz.

Köklü Sayıların Üslü Sayıya Çevrilmesi

İki başlık öncesini hatırlarsak kök içindeki sayının kuvvetini köklü ifadenin derecesine bölerek, sayıyı kök dışına çıkartıyorduk. İşte bu yöntemle köklü sayı üslü sayıya dönüştürülür. Matematik dilinde de şöyle tanımlayabiliriz:

$\displaystyle \sqrt[z]{{{{x}^{y}}}}={{x}^{{\frac{y}{z}}}}$

Örnekler:

$\displaystyle \sqrt{5}={{5}^{{\frac{1}{2}}}}$ şeklinde üslü sayıya çevirebiliriz.

$\displaystyle \sqrt[7]{6}={{6}^{{\frac{1}{7}}}}$

$\displaystyle \sqrt[3]{{{{5}^{2}}}}={{5}^{{\frac{2}{3}}}}$

Önemli Not:

Çift köklü sayılar kök dışına çıkarılırken mutlak değer içinde çıkmalıdır.

$\displaystyle \sqrt[{cift}]{{{{x}^{{cift}}}}}=\left $ olarak dışarı çıkmalıdır.

Örnek:

$\displaystyle \sqrt[8]{{-{{2}^{8}}}}={{\left