Köklü Sayılarda Toplama Nasıl Yapılır

Kareköklü sayılar, matematikte üslü sayılardan hemen sonra gelen ve birçok konuyla ilişkili olan bir konudur. Karekök içindeki sayı karesel olarak yazılabildiği durumda, bu sayı kök dışına çıkarılabilir. Bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma durumlarında karekök devreye girer. Karekök sayının içerisine üslü sayı girdiğinde ise, üssün yarısını alarak karekök dışına çıkabilirsiniz. Karekök ile yapılabilen pek çok işlem vardır. Bunlardan en çok bilineni ise, kareköklü sayılarda toplama ve çıkarmadır. Kareköklü sayılar hakkında konu anlatımı isteyen herkes araştırma yapmaktadır. Pek çok soru tipinde gördüğümüz karekök soruları son derece önemlidir.

Kareköklü Sayılar

Bir sayının karekökü, karesinin alınmasıyla beraber orijinal sayıyı veren bir sayıya eşittir. Bir sayının karekökü x√ (karekök x) şeklinde okunur. Kareköklü sayılarda bazı kurallar söz konusudur. Bir sayı negatif ise, onun karekökü alınamaz. Çünkü negatif bir sayı hiçbir sayının karesi olamaz.

Karekök sayılar tam kare ve tam kare olmamak üzere ikiye ayrılır. Karekök içerisinde negatif bir sayının çift kuvvetleri olduğunda, kökün içerisindeki negatif sayı dışarı mutlak değer ile pozitif çıkar. Tam kare sayılar, kök dışına bir tam sayı olarak çıkabilen sayılardır. Tam kare olmayan sayılar ise, kökün dışına tam olarak çıkamayan sayılardır.

Kareköklü Sayılarda Toplama Çarpma

Köklü sayılarda dört işlem de sıklıkla karşımıza çıkmaktadır. Köklü ifadelerde toplama ve çıkarma yapmak için köklerin içindeki sayının aynı olmasına dikkat edilmelidir. Kök içleri aynı olan terimler kendi aralarında toplanır veya çıkarılır.

• Kareköklü sayılarda toplama yapmanın matematiksel ifadesi şu şekildedir; a√x+ b√x = a+b√x
• Kareköklü sayılarda çıkarma işlemi ise aynı yöntemle yapılacaktır. Kareköklü sayılarda çıkarma işlemi şu şekildedir; a√x- b√x = a-b√x

Kareköklü Sayılar Konu Anlatımı

Kareköklü sayılar sınavlarda karşımıza çıkan, matematiğin önemli konularından birisidir. Bu durumda verilen bir sayının hangi sayının karesi olduğunu veya verilen sayı hangi iki sayının çarpımı sorusunun cevabını bulmada karekök devreye girer.

Karekök √ sembolüyle gösterilir. Bu sembolün içerisine negatif sayı yazılamayacağı için, bir sayının karekökü pozitif sayı olmalıdır. Bir sayının karekökünü bulmak için verilen sayının tam kare ya da eksi kare olduğunu bilmemiz gerekir.

Bu sayı 4,9,16 gibi tam kare sayılardan oluşuyorsa, asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanarak sayıyı çarpanlarına ayırabiliriz. Tam tersi bu sayı, 2,3,5 gibi sayılar ise kökü bulmak için uzun bir bölme yöntemini kullanmamız gerekir. Bu iki yöntemle bir sayının karekökünü alabilirsiniz.

Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için sayıların karekökleri aynı olmak zorundadır. Eğer farklı karekökler varsa bunları çevirebiliyorsanız aynı kareköke çevirmelisiniz, çeviremiyorsanız da bu durumda toplama ve çıkarma işlemi yapamayacağınızı unutmamalısınız. Örneğin 3√3 ve 5√3 sayıları hem  toplanabilir, hem de çıkarılabilir, ama  3√3 ve 3√5 sayıları birbirleriyle toplanıp çıkarılamaz. Karekökleri eşit olan sayılarda ya da eşitlenebilen sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerinin nasıl yapılacağını detaylı olarak öğrenmek için okumaya devam etmeniz yeterlidir. 

Temel İşlemler

1. Mümkün olduğunca kareköklerin içini basitleştirin. Kareköklerin içindeki sayıları dışarı çıkarıp, karekökleri kolaylaştırmak için karesi olan sayıları bulun. Örneğin 16 (4 x 4), 9 (3 x 3) gibi sayılar bulmaya çalışın. Bu şekilde sayılar bulduğunuz zaman o sayıları karekök dışına çıkarabilir ve karakökü sadeleştirmiş olursunuz.  Bir örnek üzerinden daha detaylı inceleyecek olursak: 7√50 – 3√8 + 6√12 toplamı için kareköklü ifadeleri basitleştirmenin nasıl yapılacağına bakacak olursak,

• 7√50 = 7√(25 x 2) = 7√(5² x 2) = (7 x 5)√2 = 35√2. Burada 50 sayısı 25 x 2 şeklinde çarpanlarına ayırırsak 25 sayısının 5’in karesi olduğunu görmüş olursunuz. 25 sayısı karekök dışına 5 olarak çıkar. Şimdi yapılması gereken 7 sayısının yanına 5 sayısını koymak ve  bu çarpma işlemini yapmaktır: 7 x 5 = 35. Karekökün dışındaki sayı (karekök katsayısı) artık 35 olmuştur ve karekökün içerisinde de 2 sayısı kalmıştır: “√2”
• 3√8 = 3√(4 x 2) = 3√(2² x 2) = (3 x 2)√2 = 6√2. Bu işlemde karekök içinde 8 sayısını 4 x 2 olarak ifade edersek 4 sayısının 2’nin karesi (4 = 2 x 2) olduğu görülmüş olur. Buradan karekök 4 sayısı karekök dışına 2 olarak çıkar. Şimdi 2 sayısı karekök dışındaki 3 sayısı ile çarpılır: 2 x 3 = 6. Karekök katsayısını 6 olarak bulmuş ve karekök içindeki sayıyı da 2 olarak bulmuş (√2) olduk.
• 6√12 = 6√(4 x 3) = 6√(2² x 3) =  (6 x 2)√3 = 12√3. Bu işlemde karekök içindeki 12 sayısı 4 x 3 olarak çarpanlara ayrılabilir. 4 sayısı 2 ile 2 nin çarpımı olduğundan dolayı karekök dışına  2 olarak çıkar. Sonrasında başlangıçtaki karekökün katsayısıyla çarpılır (2 x 6) = 12 yeni karekök katsayısı bulunur. Karekökün içerisinde 3 sayısı kaldığından dolayı yeni karekök değeri de 3 olmuş olur (√3).

1. Toplanabilen kareköklü ifadeleri çember içine alın. Basitleştirdiğiniz kareköklü ifadelerde karekök içindeki sayıları çember içine alarak toplanabilirliğini gösterin: 35√2 – 6√2 + 12√3.  Vermiş olduğumuz örnekte 35√2 ve 6√2 sayıları aynı kareköklü değerlere sahip olduğundan dolayı, karekök katsayıları normal bir şekilde çıkarılabilir. Bu iki sayı için de toplama işlemini aynı şekilde yapabilirsiniz. Tek bilinmesi gereken kareköklü sayılar aynıysa, o iki sayının toplanıp, çıkarılabileceğidir. Aynı paydaya sahip kesirlerin direk toplanması gibi.

1. Daha fazla kareköklü sayıyla toplama ya da çıkarma işlemi yapıyorsanız ve karekök içerisindeki sayıların aynı olduğu birkaç sayı varsa bu durumda her toplanabilecek sayıyı farklı bir sembolle gösterin. Örneğin: √3 olan sayıları “*” simgesi ile işaretleyin. √5 olan sayıların altını çizin ve √2 olan sayıları da bir çember içine alın. Bu sayede hangi sayıların toplanabildiğini çok daha kolay algılayabileceksiniz.

1. Karekök içindeki sayıların eşit olduğu kareköklü sayıları toplayın ya da çıkarın. Şimdi yapmanız gereken tek şey toplanabilir / çıkarılabilir kareköklü sayıları toplamak / çıkarmak sonrasında ise toplanmayan kareköklü sayıları olduğu gibi bırakmaktır. 1. ve 2. adımda vermiş olduğumuz örnek üzerinden işlemler yapılırsa:

• 35√2 – 6√2 + 12√3 =
• (35 – 6)√2 + 12√3 =
• 29√2 + 12√3 olarak işlemin sonucu bulunmuş olur.

Daha Detaylı Konu Anlatımı

1. Sadece toplama işlemi olan Farklı örnek üzerinden devam edelim.Diyelim ki √ (45) + 6√5 işleminin sonucunu bulmak istiyorsunuz.
   • Burada yapılması gereken ilk şey √ (45) ifadesinin içerisindeki karekök dışına çıkabilecek şayıyı bulmaktır. √ (45)=√ (9 x 5) şeklinde ifade edilebilir.
   • 9, 3’ün karesi olduğu için karekök içindeki 9 dışarıya 3 olarak çıkar. Yani √ (45)=√ (9 x 5) = 3√5 şeklinde bulunmuş olur.
   • Şimdi geriye işlemin devamını yapmak kalıyor.
   • √ (45) + 6√5
   • 3√5 + 6√5
   • Karekök değerlerinin ikisi de aynı olduğu için iki kareköklü sayı arasında toplama işlemi yapılabilir:
   • 3√5 + 6√5 = 9√5 olarak bulunmuş olur.

1. Toplama çıkarma işlemi karışık farklı bir örnek yapalım. “8√ (40) – 6√ (10) + 3√5” şeklinde bir sorumuz olsun ve bunu adım adım çözelim:
   • ilk yapıması gereken şey karekök dışına çıkabilecek olan 8√ (40) ifadesinde sayıyı çarpanlarına ayırmak ve karekök dışına çıkarılabilen kısmını çıkarmaktır. 40=4×10’dur. Buradan 8√ (40) =8√ (4×10) olur.
   • 4, 2’nin karesi olduğu için karekök içerisindeki 4 dışarıya 2 olarak çıkar. Yani 8√ (40)=8√ (4×10)=(8×2)√ (10) şekline dönüşmüş olur.
   • Bir adım daha ilerlersek
   • 8√ (40)=8√ (4×10)=(8×2)√ (10)=16√ 10 olarak bulunmuş olur.
   • Şimdi sorudan devam edersek:
   • 8√ (40) – 6√ (10) + 3√5
   • 16√ 10 – 6√ (10) + 3√5 şekline gelmiş olduk. İlk iki ifade aynı kök değerlerine sahip olduğu için aralarında çıkarma işlemi yapılabilir, son ifade ile ilgili ise kök değeri farklı olduğu için herhangi bir toplama ya da çıkarma işlemi yapılamaz.
   • 16√ 10 – 6√ 10 + 3√5
   • (16-6)√ 10+ 3√5
   • 10√ 10+ 3√5 şeklinde işlemin sonucu bulunur.

Video:

İpuçları:

• Kareköklü sayılarda toplama ya da çıkarma işlemi yapmadan önce sadeleştirme yapmayı alışkanlık haline getirmelisiniz. Böylelikle işlemleri çok daha hızlı bir şekilde yapmış olacaksınız.

Uyarılar:

• Karekök içindeki sayıların aynı olmadığı kareköklü sayıları asla toplamaya çalışmayın.
• 4 + (3x)^1/2  herhangi bir kareköklü sayının basitleşrilmiş hali olamaz.
  • 3x ‘in karekökü ile  (3x)^1/2 tamamen aynı şeyleri ifade etmektedir (3x’in 1/2 ‘nci kuvveti)

Sizlerin Merak Ettikleri

1. Soru: Kök 7 – Kök 3 ile Kök 7 + Kök 3 nasıl çarpılır, bunu yapmanın kolay yolu var mıdır?
   • Cevap: (x – y) (x + y) = x² – y² olduğundan dolayı (√7-√3) x (√7+√+3) ifadesi de (√7)²-(√3)² şeklinde ifade edilebilir. Bu da 7-3=4 şeklinde bulunmuş olur.

1. Soru: √3 + √3 işlemini nasıl çözerim?
   • Cevap: √3 + √3 = 2√3 isterseniz 2’yi kök içine 4 olarak alabilir ve 2√3=√(4*3)=√12 olarak da ifade edebilirsiniz.
2. Soru: Kök 5’e kök 5’i eklersem sonuç ne olur?
   • Cevap: √5 + √5 = 2√5 sonucu bulunmuş olur.
3. Soru: 2 karekök sekizden, karekök 8 nasıl çıkarılır?
   • Cevap: 2√8 – √8 = √8 şeklinde bulunur. √8 = √(4*2) =2√2 olarak sonuç bulunur.

İngilizcesi: How to Add and Subtract Square Roots

Hazırlayan: A. Kadir

Kaynak: 1 (Erişim: January 18, 2020) 2 (Erişim: January 18, 2020)

Toplama ve Çıkarma

Köklü sayılarda kök kuvvetleri ve kök içleri aynı olan terimler kendi aralarında toplanır ve çıkarılır.

Çarpma ve Bölme

Köklü sayılarda köklerinin kuvvetleri aynı olan sayılar kök içinde çarpılır veya bölünür. Eğer köklerin kuvvetleri aynı değilse önce köklerin kuvvetleri eşitlenir, sonra çarpma yapılır.

Matematik 1 YGS Konu Anlatımı ve Konu Testine Geri Dön