Kombinasyon Formülü
Kombinasyon Yöntemleri
Özdeş Gruplar
1'den 12'ye kadar numaralandırılmış tişörtler giyen 12 kişi arasından farklı ekipler seçeceğimizi düşünelim.
Gördüğümüz kombinasyon formülüne göre, bu 12 kişi arasından 8 kişilik bir ekibi \( C(12, 8) \) farklı şekilde seçebiliriz.
12 kişi arasından 8 kişilik bir ekibin farklı seçim sayısı:
\( = C(12, 8) \)
Aynı kişiler arasından 8 ve 4 kişilik iki ekibi ise \( C(12, 8) \cdot C(4, 4) \) farklı şekilde oluşturabiliriz ki \( C(4, 4) = 1 \) olduğu için bu da yukarıdaki seçim ile aynı sonucu verecektir (12 kişi arasından 8 kişilik bir ekip seçtiğimizde diğer 4 kişi de ikinci bir ekip olmuş olur).
12 kişi arasından 8 ve 4 kişilik iki ekibin farklı seçim sayısı:
\( = C(12, 8) \cdot C(4, 4) = C(12, 8) \)
12 kişi arasından 6 kişilik bir ekip seçmek istersek farklı seçim sayısı benzer şekilde \( C(12, 6) \) olacaktır.
12 kişi arasından 6 kişilik bir ekibin farklı seçim sayısı:
\( = C(12, 6) \)
12 kişi arasından 6'şar kişilik iki ekip seçmek istediğimizde ise farklı bir durum ortaya çıkmaktadır. İlk önce 1 - 6 numaralı kişileri seçtiğimizde diğer 6 kişi ile birlikte oluşan 6'şar kişilik iki ekip, ilk önce 7 - 12 numaralı kişileri seçtiğimizde diğer 6 kişi ile birlikte oluşan 6'şar kişilik iki ekip ile özdeş olmaktadır. Bu iki durumu birbirinden ayırt edemediğimiz için de bulduğumuz \( C(12, 6) \cdot C(6, 6) = C(12, 6) \) sonucunu bu iki ekibin aralarında yer değiştirme sayısı olan \( 2! \)'ye bölmemiz gerekir.
12 kişi arasından 6'şar kişilik iki ekibin farklı seçim sayısı:
\( = \dfrac{C(12, 6) \cdot C(6, 6)}{2!} \)
12 kişi arasından 4'er kişilik üç ekip seçmek istediğimizde yapabileceğimiz \( C(12, 4) \cdot C(8, 4) \cdot C(4, 4) \) farklı seçimi benzer bir yaklaşımla oluşan üç ekibin kendi aralarında diziliş sayısı olan \( 3! \)'e bölmemiz gerekir.
12 kişi arasından 4'er kişilik üç ekibin farklı seçim sayısı:
\( = \dfrac{C(12, 4) \cdot C(8, 4) \cdot C(4, 4)}{3!} \)
12 kişi arasından 3'er kişilik iki, 2'şer kişilik üç ekip seçmek istediğimizde oluşan farklı seçim sayısını aynı sayıdaki ekiplerin kendi aralarındaki diziliş sayıları olan \( 2! \) ve \( 3!\)'e bölmemiz gerekir.
12 kişi arasından 3'er kişilik iki, 2'şer kişilik üç ekibin farklı seçim sayısı:
\( = \frac{C(12, 3) \cdot C(9, 3) \cdot C(6, 2) \cdot C(4, 2) \cdot C(2, 2)}{2! \cdot 3!} \)
Seçilen ekipleri birbirinden ayırt edebileceğimiz bir ayrım söz konusu ise (ilk seçilen ekip A işinden, ikinci seçilen ekip B işinden sorumlu olacak gibi) yukarıdaki örneklerde oluşan özdeş durumlar oluşmayacaktır, dolayısıyla kombinasyon formülü ile bulduğumuz farklı seçim sayısını farklı diziliş sayılarına bölmemize gerek kalmayacaktır.
SORU 1:
Kaz Dağları'na kamp yapmaya giden 12 arkadaş 3'er kişilik 4 çadırda kalacaklardır.
(1) Her çadırın farklı renkte olduğu ve (2) çadırların özdeş olduğu iki durumda arkadaşlar bu çadırlarda kaç farklı şekilde kalabilirler?
Çözümü GösterÇadırların farklı olduğu birinci durumda, 12 kişi arasından 3 kişi 1. çadıra \( C(12, 3) = \) farklı şekilde, kalan 9 kişi arasından 3 kişi 2. çadıra \( C(9, 3) = 84 \) farklı şekilde, kalan 6 kişi arasından 3 kişi 3. çadıra \( C(6, 3) = 20 \) farklı şekilde, kalan 3 kişi arasından 3 kişi 4. çadıra \( C(3, 3) = 1 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre 12 kişinin bu çadırlarda farklı konaklama sayısı \( \cdot 84 \cdot 20 \cdot 1 = \) farklı şekilde olabilir.
Çadırların özdeş olduğu ikinci durumda ise bu sayıyı özdeş çadırların kendi aralarında yer değiştirme sayılarına bölmemiz gerekir. 3'er kişilik 4 çadır olduğu için farklı konaklama sayısı \( \frac{}{4!} = \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin