Kombinasyon Geometrik Soruları
Kombinasyon Test Soruları ve Çözümleri
Kombinasyon konusu ile ilgili çözümlü test sorularını konuyu pekiştirmeniz, yazılı sınav öncesi tekrar yaparak konuyu hatırlamanız için kullanabilirsiniz. Konu ile ilgili eksikleriniz varsa konu anlatımı sayfasını ziyaret etmenizi tavsiye ederiz.
Soru 18.Sınıf Matematik Kombinasyon Çözümlü Test
C (5,3) + C (6,0) + C(3,3) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 
C (6,0) = 1 , C (n,0) = 1
C (3,3) = 1 , C (n,n) = 1
10 + 1 + 1 = 12
Doğru Cevap C
Soru 2
Erdem, bir marketin rafında bulunan 5 çeşit meyve suyundan 2 tanesini kaç farklı şekilde seçebilir?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 n= 5 ve r = 2
Doğru Cevap A
Soru 3
13 kişinin bulunduğu bir toplantıda herkes birbiri ile tokalaşıyor. Buna göre bu toplantıda kaç tokalaşma olur?
A) 64 B) 68 C) 72 D) 78 
Doğru Cevap D
Soru 48.Sınıf Matematik Kombinasyon Çözümlü Test
C(n,3) = C(n,6) olduğuna göre ‘n' kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 Aynı sayıda olayın farklı kombinasyonları toplamı birbirine eşit olduğunda;
C(n,3) = C(n,6)
n = 3 + 6
n = 9
Doğru Cevap B
Soru 5
Aşağıda verilen çember üzerindeki 8 farklı noktadan herhangi üçü ile kaç farklı üçgen çizilebilir?
A) 48
B) 56
C) 72
D) 96 "Üçü aynı doğru üzerinde bulunmayan 3 noktanın ikişerli birleştirilmesiyle bir üçgen oluşur." kuralına uyacak olursak ;
8 elemanlı bir kümenin 3'lü seçimini bulmalıyız. 
Doğru Cevap B
Soru 6
Aşağıdaki çember üzerinden seçilecek 4 noktanın birleştirilmesiyle kaç farklı dörtgen çizilebilir?
A) 70
B) 76
C) 84
D) 120 Çember üzerinde bulunan 8 noktanın 4 tanesi birleştirilerek dörtgen çizilebilir. 
Doğru Cevap A
Soru 78.Sınıf Matematik Kombinasyon Çözümlü Test
a // b // c // d // e ve p // r // s
olduğuna göre aşağıdaki şekilde kaç tane paralel kenar vardır?
A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 Bir paralel kenarın oluşması için şekildeki yata doğrulardan 2 tane, eğik doğrulardan 2 tane olmak üzere 4 tane doğru seçmeliyiz.
1.adım → 3 eğik doğrudan 2.sini;
C(5,2) = 10
2.adım → 3 eğik doğrudan 2.sini;
C(3,2) = 3
Oluşturulacak paralel kenar sayısı, saymanın çarpım kurallarına göre;
10 . 3 = 30
Doğru Cevap D
Soru 8
Birbirine paralel a ve b doğruları üzerinde sırası ile 3 ve 5 tane nokta bulunmaktadır. a ve b doğruları üzerindeki noktalar köşeleri olacak şekilde kaç tane üçgen çizilebilir?
A) 45
B) 50
C) 55
D) 60 Doğrusal olmayan 3 nokta bir üçgen oluşturur.
Seçeceğimiz bu üç noktadan 2'si bir doğru üzerinde 1'i ise diğer doğru üzerinde olmalıdır.
a doğrusu üzerinde 3, b doğrusu üzerinde 5 nokta bulunuyor.
1.adım → 1 noktayı a doğrusundan diğer iki noktayı b doğrusundan alırsak;
C(3,1) . C(5,2) = 3 . 10 = 30
2.adım → 2 noktayı a doğrusundan, diğer 1 noktayı b doğrusundan alırsak;
C(3,2) . C(5,1) = 3 . 5 = 15
30 + 15 = 45 üçgen çizilebilir.
Doğru Cevap A
Soru 9
Bir çember üzerinde bulunan 8 noktadan kaç farklı doğru geçer?
A) 42 B) 36 C) 28 D) 24 "Düzlem üzerindeki 2 noktadan bir doğru geçer" kuralına uyarsak;
8 noktanın 2'li seçimlerini yapmalıyız. 
Doğru Cevap C
Soru 108.Sınıf Matematik Kombinasyon Çözümlü Test
Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) C(7,7) = C(4,4)
B) C(15,2) = C(15,13)
C) C(10,3) = C(10,7)
D) C(8,3) = C(8,4) A) Doğru. C(7,7) = C(4,4) = 1
B) Doğru. 13 + 2 = 15
C) Doğru. 3 + 7 = 10
D) Yanlış. 3 + 4 = 7
n = 8 olduğu için yanlıştır.
Doğru Cevap D
Benzer İçerikler
ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER TEST SORULARI
HİSTOGRAM TESTİ ÇÖZÜMLÜ TEST SORULARI
YANSIYAN DÖNEN ve ÖTELENEN ŞEKİLLER CEVAPLI TEST
TRİGONOMETRİ TEST ÇÖZ ÇÖZÜMLÜ SORULAR
TRİGONOMETRİK ORANLAR KONU ANLATIMI
YANSIYAN DÖNEN ve ÖTELENEN ŞEKİLLER TEST SORULARI
Geometrik Kombinasyon
Noktalardan Geçen Doğrular
İki farklı noktadan geçen tek bir doğru çizilebilir.
Doğrusal üç ya da daha fazla farklı noktadan geçen yine tek bir doğru çizilebilir.
Herhangi üçü doğrusal olmayan \( n \) tane farklı nokta içinden seçilecek herhangi iki nokta arasında benzersiz bir doğru çizilebilir, dolayısıyla çizilebilecek toplam doğru sayısı \( C(n, 2) \) olur.
\( m \) tanesi doğrusal olan, \( n \) tanesi doğrusal olmayan \( (m + n) \) farklı noktadan geçen kaç doğru çizilebileceğini bulmak için önce tüm noktaların doğrusal olmadığı durumda çizilebilecek doğru sayısını \( C(m + n, 2) \) olarak buluruz. Doğrusal olan \( m \) tane nokta doğrusal olmasalardı bu noktalardan geçen \( C(m, 2) \) doğru çizilebilirdi, ancak doğrusal oldukları için sadece bir doğru çizilebilir.
Buna göre, \( m \) tanesi doğrusal olan, \( n \) tanesi doğrusal olmayan \( (m + n) \) farklı noktadan geçen doğru sayısı \( C(m + n, 2) - C(m, 2) + 1 \) olur.
SORU 1:
Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 nokta kaç doğru belirtir?
Çözümü Gösterİki farklı noktadan geçen tek bir doğru çizilebilir. Herhangi üçü doğrusal olmayan \( n \) tane farklı nokta içinden seçilecek herhangi iki nokta arasında benzersiz bir doğru çizilebilir, dolayısıyla çizilebilecek toplam doğru sayısı \( C(n, 2) \) olur.
Buna göre, herhangi üçü doğrusal olmayan bu 6 noktadan geçen doğru sayısı:
\( C(6, 2) = \dfrac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
Yukarıdaki şekilde verilen 12 noktadan geçen en çok kaç farklı doğru çizilebilir?
Çözümü Göster12 nokta arasından seçebileceğimiz her 2 nokta bir doğru belirtir, ancak dikdörtgenin kenarları üzerindeki noktalar doğrusal oldukları için her kenar üzerindeki noktalar sadece bir doğru belirtir.
\( C(12, 2) \): 12 nokta içinde herhangi üç noktanın doğrusal olmadığı durumda çizilebilecek doğru sayısı
\( C(4, 2) \): \( [AD] \) kenarı üzerindeki noktalar doğrusal olduğu için çizilemeyecek doğru sayısı
\( C(3, 2) \): \( [DF] \) kenarı üzerindeki noktalar doğrusal olduğu için çizilemeyecek doğru sayısı
\( C(5, 2) \): \( [FL] \) kenarı üzerindeki noktalar doğrusal olduğu için çizilemeyecek doğru sayısı
\( C(4, 2) \): \( [LA] \) kenarı üzerindeki noktalar doğrusal olduğu için çizilemeyecek doğru sayısı
Tüm durumlardan doğrusal olan noktaların oluşturduğu tüm ikililerin sayısını çıkaralım.
\( C(12, 2) - C(4, 2) - C(3, 2) \) \( - C(5, 2) \) \( - C(4, 2) \)
\( = 66 - 6 - 3 - 10 - 6 \)
\( = 41 \)
Dikdörtgenin kenarları üzerindeki noktalar doğrusal olsalar da her bir kenar üzerindeki noktalar tek bir doğru oluşturur, dolayısıyla bu dört doğruyu yukarıda bulduğumuz sayıya ekleriz.
\( 41 + 4 = 45 \) tane doğru çizilebilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Noktaların Oluşturduğu Üçgenler
Doğrusal olmayan üç farklı nokta tek bir üçgen oluştururlar.
Doğrusal üç farklı nokta bir üçgen oluşturmazlar.
Herhangi üçü doğrusal olmayan \( n \) tane farklı nokta içinden seçilecek herhangi üç nokta benzersiz bir üçgen oluşturur, dolayısıyla bu noktaların oluşturduğu toplam üçgen sayısı \( C(n, 3) \) olur.
\( m \) tanesi doğrusal olan, \( n \) tanesi doğrusal olmayan \( (m + n) \) noktanın oluşturduğu üçgen sayısını bulmak için önce tüm noktaların doğrusal olmadığı durumda oluşacak üçgen sayısını \( C(m + n, 3) \) olarak buluruz. Doğrusal olan \( m \) tane nokta doğrusal olmasalardı bu noktalar \( C(m, 3) \) üçgen oluşturabilirlerdi, ancak doğrusal oldukları için bu doğrular hiçbir üçgen oluşturmazlar (\( n \) tane doğrusal noktadan bir doğru geçer, ama bu noktalar bir üçgen oluşturmazlasr).
Buna göre, \( m \) tanesi doğrusal olan, \( n \) tanesi doğrusal olmayan \( (m + n) \) noktanın oluşturduğu üçgen sayısı \( C(m + n, 3) - C(m, 3) \) olur.
SORU 3:
Herhangi üçü doğrusal olmayan 8 noktayı köşe kabul eden kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözümü GösterDoğrusal olmayan üç farklı nokta tek bir üçgen oluştururlar. Herhangi üçü doğrusal olmayan \( n \) tane farklı nokta içinden seçilecek herhangi üç nokta benzersiz bir üçgen oluşturur, dolayısıyla bu noktaların oluşturduğu toplam üçgen sayısı \( C(n, 3) \) olur.
Buna göre, herhangi üçü doğrusal olmayan bu 8 noktayı köşe kabul eden üçgen sayısı:
\( C(8, 3) = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
Herhangi üçü doğrusal olmayan 9 noktadan biri \( A \) noktasıdır. Köşeleri bu noktalar olan üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi \( A \) noktasıdır?
Çözümü GösterÇizilecek üçgenlerin bir köşesi \( A \) olduğundan, diğer iki köşesi kalan 8 nokta arasından seçilmelidir. Dolayısıyla 8 nokta içinden seçebileceğimiz 2 nokta sayısı kadar bir köşesi \( A \) olan üçgen çizebiliriz.
Buna göre, bir köşesi \( A \) olan üçgen sayısı:
\( C(8, 2) = \dfrac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
Yukarıdaki şekilde \( d_1 \parallel d_2 \) olmak üzere, \( d_1 \) doğrusu üzerinde 5, \( d_2 \) doğrusu üzerinde 4 farklı nokta bulunmaktadır.
Köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözümü Göster1. yöntem:
9 nokta içinde herhangi üç noktanın doğrusal olmadığı durumda çizilebilecek üçgen sayısından \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları üzerindeki noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgenlerin sayısını çıkarırsak verilen noktalarla çizilebilecek toplam üçgen sayısını buluruz.
\( C(9, 3) \): 9 nokta içinde herhangi üç noktanın doğrusal olmadığı durumda çizilebilecek üçgen sayısı
\( C(5, 3) \): \( d_1 \) doğrusu üzerindeki noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgen sayısı
\( C(4, 3) \): \( d_2 \) doğrusu üzerindeki noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgen sayısı
O halde,
\( C(9, 3) - C(5, 3) - C(4, 3) \)
\( = 84 - 10 - 4 = 70 \) tane üçgen çizilebilir.
2. yöntem:
Çizilebilecek üçgenlerin ya bir köşesi \( d_1 \) doğrusu üzerinde ve iki köşesi \( d_2 \) doğrusu üzerinde olur, ya da iki köşesi \( d_1 \) doğrusu üzerinde ve bir köşesi \( d_2 \) doğrusu üzerinde olur.
\( d_1 \) doğrusu üzerinden bir ve \( d_2 \) doğrusu üzerinden iki nokta için yapabileceğimiz farklı seçim sayısı: \( C(5, 1) \cdot C(4, 2) = 5 \cdot 6 = 30 \)
\( d_1 \) doğrusu üzerinden iki ve \( d_2 \) doğrusu üzerinden bir nokta için yapabileceğimiz farklı seçim sayısı: \( C(5, 2) \cdot C(4, 1) = 10 \cdot 4 = 40 \)
Her iki durumda çizilebilecek üçgen sayılarını toplarsak \( 30 + 40 = 70 \) buluruz.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
Şekilde \( y_1 \parallel y_2 \parallel y_3 \) ve \( d_1 \parallel d_2 \parallel d_3 \parallel d_4 \parallel d_5 \) olduğuna göre, bu doğruların kesişim noktalarından geçen kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözümü GösterVerilen 3 yatay ve 5 düşey doğrunun kesişimi ile \( 3 \cdot 5 = 15 \) nokta oluşur.
15 nokta içinde herhangi üç noktanın doğrusal olmadığı durumda çizilebilecek üçgen sayısından noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgenlerin sayısını çıkarırsak verilen noktalarla çizilebilecek toplam üçgen sayısını buluruz.
\( C(15, 3) \): 15 nokta içinde herhangi üç noktanın doğrusal olmadığı durumda çizilebilecek üçgen sayısı
\( 3 \cdot C(5, 3) \): \( y_1 \), \( y_2 \) ve \( y_3 \) doğruları üzerindeki noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgen sayısı
\( 5 \cdot C(3, 3) \): \( d_1 \), \( d_2 \), \( d_3 \), \( d_4 \) ve \( d_5 \) doğruları üzerindeki noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgen sayısı
O halde,
\( C(15, 3) - 3 \cdot C(5, 3) - 5 \cdot C(3, 3) \)
\( = 455 - 30 - 5 = 420 \) tane üçgen çizilebilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
Yukarıdaki şekilde \( B \) noktasında kesişen iki doğru üzerindeki noktalar verilmiştir.
Köşeleri bu 9 noktadan herhangi üçü olan kaç tane üçgen çizilebilir?
Çözümü Göster9 nokta içinde herhangi üç noktanın doğrusal olmadığı durumda çizilebilecek üçgen sayısından \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları üzerindeki noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgenlerin sayısını çıkarırsak verilen noktalarla çizilebilecek toplam üçgen sayısını buluruz.
\( C(9, 3) \): 9 nokta içinde herhangi üç noktanın doğrusal olmadığı durumda çizilebilecek üçgen sayısı
\( C(5, 3) \): \( d_1 \) doğrusu üzerindeki noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgen sayısı
\( C(5, 3) \): \( d_2 \) doğrusu üzerindeki noktaların doğrusallığı dolayısıyla çizilemeyecek üçgen sayısı
O halde,
\( C(9, 3) - C(5, 3) - C(5, 3) \)
\( = 84 - 10 - 10 = 64 \) tane üçgen çizilebilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
Aynı düzlemde bulunan 10 noktadan 6 tanesi doğrusaldır. Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç tane üçgen çizilebilir?
Çözümü Göster10 nokta arasından 3 nokta \( C(10, 3) \) farklı şekilde seçilebilir. Ancak 6 nokta doğrusal olduğu için bu seçimlerden \( C(6, 3) \) kadarı üçgen belirtmez. Tüm durumlardan üçgen belirtmeyen durumları çıkarırsak çizilebilecek üçgen sayısını buluruz.
\( C(10, 3) - C(6, 3) \)
\( = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} - \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \)
\( 120 - 20 = 100 \) tane üçgen çizilebilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
Yukarıdaki şekilde verilen 10 noktayı köşe kabul eden kaç tane üçgen çizilebilir?
Çözümü Göster10 nokta arasından 3 nokta \( C(10, 3) \) farklı şekilde seçilebilir. Ancak bu noktalardan 6'sı (\( A, B, C, D, E, F \) noktaları) doğrusal olduğu için bu seçimlerden \( C(6, 3) \) kadarı üçgen belirtmez. Tüm durumlardan üçgen belirtmeyen durumları çıkarırsak çizilebilecek üçgen sayısını buluruz.
\( C(10, 3) - C(6, 3) \)
\( = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} - \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \)
\( 120 - 20 = 100 \) tane üçgen çizilebilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 10:
Köşeleri yukarıdaki şekildeki 10 noktadan 3'ü olacak şekilde kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözümü GösterHerhangi üçü doğrusal olmayan 10 nokta \( C(10, 3) = 120 \) farklı üçgen oluşturur, ancak bu sayıdan doğrusal olan noktalarla oluşturulamayacak üçgenlerin sayısı çıkarılmalıdır.
Üzerinde 3 nokta bulunan kenar üzerindeki noktalar doğrusal olmasalardı \( C(3, 3) = 1 \) üçgen oluşturulabilirdi.
Üzerinde 4 nokta bulunan kenar üzerindeki noktalar doğrusal olmasalardı \( C(4, 3) = 4 \) üçgen oluşturulabilirdi.
Üzerinde 6 nokta bulunan kenar üzerindeki noktalar doğrusal olmasalardı \( C(6, 3) = 20 \) üçgen oluşturulabilirdi.
Buna göre şekildeki noktalar ile oluşturulabilecek üçgen sayısı \( 120 - 1 - 4 - 20 = 95 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 11:
Köşeleri şekildeki 9 noktanın 3'ü olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
Çözümü GösterHerhangi üçü doğrusal olmayan 9 nokta \( C(9, 3) \) farklı üçgen oluştururlar.
Bu noktalardan \( d_1 \) doğrusu üzerindeki 3 nokta doğrusal oldukları için \( C(3, 3) \) üçgen eksik oluşmuş olur.
Buna göre şekildeki noktalar \( C(9, 3) - C(3, 3) = 84 - 1 = 83 \) üçgen oluştururlar.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Noktaların Oluşturduğu Dörtgenler
Herhangi üçü doğrusal olmayan dört farklı nokta tek bir dörtgen oluştururlar.
Herhangi üçü doğrusal dört farklı nokta bir dörtgen oluşturmazlar.
Herhangi üç tanesi doğrusal olmayan \( n \) tane farklı nokta içinden seçilecek herhangi dört nokta benzersiz bir üçgen oluşturur, dolayısıyla bu noktaların oluşturduğu toplam dörtgen sayısı \( C(n, 4) \) olur.
\( m \) tanesi doğrusal olan, \( n \) tanesi doğrusal olmayan \( (m + n) \) noktanın oluşturduğu dörtgen sayısını bulmak için önce tüm noktaların doğrusal olmadığı durumda oluşacak dörtgen sayısını \( C(m + n, 4) \) olarak buluruz. Bu sayıdan aşağıdaki iki farklı durumu çıkarırız.
- \( m \) tane doğrusal nokta doğrusal olmasalardı \( C(m, 4) \) farklı dörtgen oluştururlardı, ancak doğrusal oldukları için bu noktalar hiçbir dörtgen oluşturmazlar. Bu yüzden çıkarmamız gereken sayı \( C(m, 4) \) olur.
- Bir dörtgenin üç köşesi de doğrusal olamayacağı için, 3 köşesi \( m \) tane doğrusal noktadan, 1 köşesi de \( n \) tane doğrusal olmayan noktalar da bir dörtgen oluşturmazlar. Bu yüzden çıkarmamız gereken sayı doğrusal noktalardan 3, doğrusal olmayan noktalardan 1 farklı seçim sayısı olan \( C(m, 3) \cdot C(n, 1) \) olur.
Buna göre, \( m \) tanesi doğrusal olan, \( n \) tanesi doğrusal olmayan \( (m + n) \) noktanın oluşturduğu dörtgen sayısı \( C(m + n, 4) - C(m, 4) - C(m, 3) \cdot C(n, 1) \) olur.
SORU 12:
Şekilde verilen noktalardan her biri dörtgenin bir köşesi olacak şekilde, bu noktalar en fazla kaç farklı dörtgen oluştururlar?
Çözümü Göster\( A, B, C, D, E, F \) noktaları doğrusal olmadıkları için bu noktalarla \( C(6, 4) = 15 \) farklı dörtgen elde edilebilir.
\( d_1 \) doğrusu üzerindeki noktalar doğrusal oldukları için bu noktalar bir dörtgen oluşturmazlar.
\( A, B, C, D, E, F \) noktaları ile \( K, L, M, N \) noktaları birlikte 2 farklı şekilde dörtgen oluştururlar.
Durum 1: 3 köşesi \( A, B, C, D, E, F \) noktalarından, 1 köşesi \( K, L, M, N \) noktalarından olacak şekilde en fazla \( C(6, 3) \cdot C(4, 1) = 80 \) farklı dörtgen elde edilebilir.
Durum 2: 2 köşesi \( A, B, C, D, E, F \) noktalarından, 2 köşesi \( K, L, M, N \) noktalarından olacak şekilde en fazla \( C(6, 2) \cdot C(4, 2) = 90 \) farklı dörtgen elde edilebilir.
\( K, L, M, N \) noktaları doğrusal oldukları için 3 köşesi bu noktalardan seçilen bir dörtgen çizilemez.
Buna göre şekilde verilen noktalar \( 15 + 80 + 90 = 185 \) farklı dörtgen oluştururlar.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Doğruların Kesişimi
Çakışık iki doğrunun kesişimi sonsuz noktadan oluşur. Çakışık olmayan paralel iki doğru hiçbir noktada kesişmez. Paralel ya da çakışık olmayan ve aynı düzlem üzerinde bulunan iki doğru tek bir noktada kesişir.
Aynı düzlemde bulunan ve farklı (çakışık olmayan) \( n \) tane doğrunun kesişebileceği nokta sayısı en çok \( C(n, 2) \) olabilir. Doğruların kesişim noktaları çakıştığı ya da doğrular birbirine paralel olduğu ölçüde bu sayı azalacaktır.
\( m \) tanesi paralel olan \( m + n \) farklı doğrunun kesişebileceği en çok nokta sayısını bulmak için önce tüm doğruların paralel olmadığı durumda kesişebileceği en çok nokta sayısını \( C(m + n, 2) \) olarak buluruz. Paralel \( m \) tane doğru paralel olmasalardı bu doğrular \( C(m, 2) \) farklı noktada kesişebilirlerdi, ancak paralel oldukları için hiçbir noktada kesişmezler.
Buna göre, \( m \) tanesi birbirine paralel olan \( m + n \) farklı doğrunun kesişebileceği en çok nokta sayısı \( C(m + n, 2) - C(m, 2) \) olabilir. Burada kesin bir sayı hesaplamamız mümkün değildir, çünkü doğruların kaçının paralel kaçının kesişen doğrular olduğunu bilsek de doğruların kesişim noktalarının ne ölçüde çakıştıklarını doğruların denklemleri olmadan bilemeyiz.
SORU 13:
Aynı düzlemde bulunan 7 farklı doğru en fazla kaç noktada kesişebilir?
Çözümü GösterAynı düzlemde bulunan ve farklı (çakışık olmayan) \( n \) tane doğrunun kesişebileceği nokta sayısı en çok \( C(n, 2) \) olabilir. Doğruların kesişim noktaları çakıştığı ya da doğrular birbirine paralel olduğu ölçüde bu sayı azalacaktır.
Buna göre, aynı düzlemde bulunan bu 7 farklı doğrunun kesişebileceği en fazla nokta sayısı:
\( C(7, 2) = \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 14:
Bir düzlem üzerindeki 12 doğrudan 3'ü bir \( A \) noktasından, geri kalanlardan 5'i de bir \( B \) noktasından geçmektedir.
Herhangi ikisi paralel olmayan bu doğruların \( A \) ve \( B \) noktaları ile birlikte en çok kaç kesişim noktası vardır?
Çözümü Göster12 farklı doğru en fazla \( C(12, 2) \) farklı noktada kesişir. Ancak bu noktalardan 3'ü tek bir \( A \) noktasında, 5'i de tek bir \( B \) noktasında kesiştikleri için sırasıyla \( C(3, 2) \) ve \( C(5, 2) \) kesişim noktası yerine sadece birer kesişim noktası olmuş olur.
\( C(12, 2) \): 12 farklı doğrunun kesişebileceği en fazla nokta sayısı
\( C(3, 2) \): 3 farklı doğrunun kesişebileceği en fazla nokta sayısı
\( C(5, 2) \): 5 farklı doğrunun kesişebileceği en fazla nokta sayısı
Bu doğruların toplam kesişim nokta sayısını aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz:
\( C(12, 2) - C(3, 2) - C(5, 2) \)
\( = 66 - 3 - 10 \)
\( = 53 \)
Bu sonuca çıkardığımız doğruların kesiştikleri \( A \) ve \( B \) noktalarını eklersek sonucu buluruz:
\( = 53 + 2 = 55 \) kesişim noktası vardır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 15:
Birbirinden farklı 11 doğrudan 5'i \( A \) noktasından geçmektedir, diğer 6 doğru ise birbirine paraleldir.
Buna göre bu doğrular en çok kaç noktada kesişebilirler?
Çözümü Göster11 doğru en çok \( C(11, 2) = 55 \) noktada kesişebilirler.
Verilen 11 doğrunun 6'sı birbirine paralel olduğu için hiçbir noktada kesişmezler, dolayısıyla hesapladığımız en çok kesişme durumundan \( C(6, 2) = 15 \) sayısını çıkarmamız gerekir.
Diğer 5 doğru sadece tek bir \( A \) noktasında kesiştikleri için kesişebilecekleri en çok \( C(5, 2) = 10 \) noktası yerine tek bir noktada kesişmiş olurlar, dolayısıyla en çok kesişme durumundan bu sayıyı da çıkarmamız ve kesiştikleri bir noktayı eklememiz gerekir.
Buna göre, 11 doğru belirtilen şekilde en çok \( 55 - 15 - 10 + 1 = 31 \) noktada kesişebilirler.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Üçgenlerin Kesişimi
İki üçgen hiç kesişmeyebilir ya da kesişimi sonsuz noktadan oluşacak şekilde çakışık olabilir. Bu iki durum dışında iki üçgen 1-6 arası farklı noktada kesişebilir. Bu farklı kesişim durumlarının bazıları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Buna göre, birbiriyle çakışık olmayan \( n \) tane üçgen en çok \( 6 \cdot C(n, 2) \) noktada kesişebilir. Üçgenler 6 yerine daha az sayıda noktada kesiştiği ve kesişim noktaları çakıştığı ölçüde toplam kesişim sayısı bu sayıdan daha az olacaktır.
Çemberlerin Kesişimi
İki çember hiç kesişmeyebilir ya da sonsuz noktada kesişim noktası olacak şekilde çakışık olabilir. Bu iki durum dışında iki çember bir ya da iki noktada kesişebilir. Bu iki kesişim durumu aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Buna göre, birbiriyle çakışık olmayan \( n \) tane çember en çok \( 2 \cdot C(n, 2) \) noktada kesişebilir. Çemberler 2 yerine daha az sayıda noktada kesiştiği ve kesişim noktaları çakıştığı ölçüde toplam kesişim sayısı bu sayıdan daha az olacaktır.
SORU 16:
8 farklı çemberin kesişimi sonucunda en çok kaç kesişim noktası oluşur?
Çözümü Göster
Birbiriyle çakışık olmayan \( n \) tane çember en çok \( 2 \cdot C(n, 2) \) noktada kesişir.
Buna göre 8 farklı çemberin kesişebileceği en fazla nokta sayısı:
\( 2 \cdot C(8, 2) = 2 \cdot \dfrac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 56 \) kesişim noktası olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Elipslerin Kesişimi
İki elips hiç kesişmeyebilir ya da sonsuz noktada kesişim noktası olacak şekilde çakışık olabilir. Bu iki durum dışında iki elips 1-4 arası noktada kesişebilir. Bu farklı kesişim durumlarının bazıları aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Buna göre, hiçbiri birbiriyle çakışık olmayan \( n \) tane elips en fazla \( 4 \cdot C(n, 2) \) noktada kesişebilir. Elipsler ve kesişim noktaları çakıştığı ölçüde toplam kesişim sayısı bu sayıdan daha az olacaktır.
Paralel Doğruların Oluşturduğu Dörtgenler
Tümü aynı düzlemde bulunan 2 paralel doğru ile bu 2 doğruya paralel olmayan farklı 2 paralel doğrunun kesişimleri arasında kalan bölge bir dörtgen oluşturur.
Tümü aynı düzlemde bulunan \( m \) tane paralel doğru arasından seçeceğimiz 2 doğru ile bu doğrulara paralel olmayan \( n \) tane farklı paralel doğru arasından seçeceğimiz 2 doğrunun kesişimleri de bir dörtgen oluşturur. Buna göre, bu doğruların oluşturduğu tüm dörtgenlerin sayısı paralel doğrular arasında yapabileceğimiz 2'li seçimlerin çarpımı olan \( C(m, 2) \cdot C(n, 2) \) olur.
SORU 17:
\( y_1 \parallel y_2 \parallel y_3 \parallel y_4 \parallel y_5 \) ve \(d_1 \parallel d_2 \parallel d_3 \parallel d_4 \) olduğuna göre, bu doğruların oluşturduğu kaç tane paralelkenar vardır?
Çözümü GösterYatay paralel doğrular arasından seçeceğimiz her 2 farklı doğru ve düşey paralel doğrular arasından seçeceğimiz her 2 farklı doğru arasında kalan alan bir paralelkenar oluşturur.
Buna göre, yatay ve paralel doğrular arasından yapabileceğimiz 2'şer farklı doğru seçim sayısı:
\( C(5, 2) \cdot C(4, 2) = 10 \cdot 6 = 60 \) tane paralelkenar vardır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 18:
Bir kenarı 1 birim olan kare şeklindeki levhaya 25 adet kare sığdırılmıştır.
Buna göre, levha kaç farklı dikdörtgen barındırır?
Çözümü GösterLevhada 6 yatay, 6 düşey doğru parçası vardır. Yatay doğru parçaları arasından seçilecek herhangi iki doğru parçası ve düşey doğru parçaları arasından seçilecek herhangi iki doğru parçası bir dikdörtgen oluşturur.
Buna göre oluşan dikdörtgenlerin sayısı:
\( = C(6, 2) \cdot C(6, 2) \)
\( = \dfrac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot \dfrac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \)
\( = 15 \cdot 15 = 225 \) tane dikdörtgen oluşur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Paralel Doğruların Oluşturduğu Kareler
Tümü aynı düzlemde bulunan, aralarındaki mesafe eşit \( m \) tane paralel doğru ve bu doğrulara dik ve aralarındaki mesafe eşit \( n \) tane paralel doğrunun kesişimlerinin oluşturduğu kare sayısı \( \sum_{i = 1}^m{(m - i + 1)(n - i + 1)} \)'dir (\( m \lt n \)) olur.
SORU 19:
5 farklı karenin kesişmesi ile en çok kaç tane kesişim noktası oluşur?
Çözümü Göster
\( n \) tane kare en çok \( 8 \cdot C(n, 2) \) noktada kesişebilir.
Buna göre 8 farklı karenin kesişebileceği en fazla nokta sayısı:
\( 8 \cdot C(5, 2) = 8 \cdot \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 80 \) kesişim noktası olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 20:
Yukarıdaki şekilde kaç üçgen vardır?
Çözümü GösterÜçgenin bir köşesi \( A \) ise diğer iki köşesi \( [CB] \) ve \( [CD] \) kenarları üzerinden seçilmelidir. \( [CB] \) üzerindeki 6 noktadan iki nokta \( C(6, 2) = 15 \) farklı şekilde seçilir. Aynı şekilde \( [CD] \) üzerindeki 6 noktadan iki nokta da 15 farklı şekilde seçilir. O halde, bir köşesi \( A \) olan \( 15 + 15 = 30 \) tane üçgen vardır.
Üçgenin bir köşesi \( C \), ikinci köşesi \( [HB] \) üzerindeki 5 noktadan biri, üçüncü köşesi de \( [CD] \) üzerinde bir nokta olan 5 farklı üçgen vardır.
Buna göre şekilde toplam \( 30 + 5 = 35 \) tane üçgen vardır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 21:
Yukarıda verilen şekilde kaç üçgen vardır?
Çözümü GösterBu şekildeki üçgenlerin tümünün üst köşesi ortak ve \( A \) noktasıdır.
\( A \) noktasında birleşen 6 doğru içinden seçilecek herhangi 2 doğru üçgenin yan kenarlarını oluşturur.
Buna göre bir üçgenin yan kenarları \( C(6, 2) = 15 \) farklı şekilde seçilebilir.
Birbirine paralel 6 doğru içinden seçilecek bir doğru üçgenin tabanını oluşturur.
Buna göre bir üçgenin tabanı \( C(6, 1) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre verilen şekilde seçilebilecek 2 yan kenar ve 1 taban ile oluşan \( 15 \cdot 6 = 90 \) üçgen vardır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 22:
Bir çember üzerinde seçilen 6 noktayı köşe kabul eden kaç farklı çokgen çizilebilir?
Çözümü GösterÇember üzerinde seçilecek noktalar doğrusal değildir.
Bu 6 noktadan 3'ü ile \( C(6, 3) = 20 \) farklı üçgen çizilebilir.
Bu 6 noktadan 4'ü ile \( C(6, 4) = 15 \) farklı dörtgen çizilebilir.
Bu 6 noktadan 5'i ile \( C(6, 5) = 6 \) farklı beşgen çizilebilir.
Bu 6 noktadan 6'sı ile \( C(6, 6) = 1 \) farklı altıgen çizilebilir.
Buna göre bu 6 nokta ile \( 20 + 15 + 6 + 1 = 42 \) farklı çokgen çizilebilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 23:
\( \mathbb{R}^3 \) kümesinde (3 boyutlu uzayda) birbirinden farklı 10 noktadan en fazla kaç düzlem geçer?
Çözümü GösterDoğrusal olmayan 3 nokta uzayda tek bir düzlem belirtir. Buna göre herhangi üçünün doğrusal olmadığı durumda 10 nokta arasından seçilecek her 3 nokta bir düzlem belirtir.
Buna göre 10 noktadan en fazla \( C(10, 3) = 120 \) düzlem geçer.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 24:
Şekilde \( O \) merkezli ve \( [AB] \) çaplı yarım daire verilmiştir.
Buna göre şekildeki noktaları kullanarak kaç daire dilimi elde edilebilir?
Çözümü Göster\( O \) noktasına ek olarak çember üzerindeki 9 noktadan herhangi 2'si seçilerek bir daire dilimi çizilebilir.
Buna göre verilen şekildeki noktalar ile \( C(9, 2) = 36 \) farklı daire dilimi elde edilebilir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Bu bölümde Kombinasyon ve Geometri ile ilgili 14 adet soru bulunmaktadır. Sorularınızı çözdükten sonra düşündüğünüz şıkka tıklayarak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol edebilirsiniz. Eğer soruları çözmekte zorlanırsanız; kolay anlaşılır detaylı çözümlere “Çözüm için Tıklayınız” seçeneği ile ulaşabilirsiniz. İyi Çalışmalar…
Eğer sorular ya da çözümler konusunda bir problem görür veyahut da bir tavsiye de bulunmak isterseniz; sayfanın en altında yer alan “Yorum Yap” seçeneği ile bunları anlık olarak iletebilirsiniz.
Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)
KOMBİNASYON ve GEOMETRİ www.matematikkolay.net 1) Bir düzlemdeki 9 noktadan üçü bir doğrusunun üzerinde, üçü başka bir doğrusu üzerinde ve diğer üç nokta doğrusal olmadığına göre, bu 9 noktadan kaç doğru geçer? A) 24 B) 28 C) 30 D) 32 E) 36 d l ÇÖZÜM: doğrusu doğru doğrusu doğrusu üzerindeki üzerindeki noktalar noktalar 2 noktadan bir doğru geçer. Aynı doğru üzerinde kaç nokta varsa o noktalardan tek doğru geçer. 9 3 3 1 1 2 2 2 d l d l su 9 8 4 2 3 3 2 36 6 2 32 bulunur. Cevap : D 2) Paralel ve doğruları üzerinde bulunan ve köşelerinden biri A noktası olan kaç üçgen çizilebilir? A) 29 B) 35 C) 39 D) 40 E) 45 1 2 d d ÇÖZÜM: Üçgenin köşe noktalarından biri A olduğu için biz geri kalan 10 nokta arasından 2 nokta seçeriz. Burada dikkat edeceğimiz şey A noktasının olduğu doğru üzerinden en fazla bir nokta daha seçebiliriz. Aksi deki diğer üzerindeki üzerindeki 4 noktadan biri 6 noktadan biri 2 noktadan biri halde üçgen olmaz. 4 6 6 1 1 2 6 4 6 1 2 2 d d d 3 5 2 24 15 39 bulunur. A noktası dışında geri kalan 10 noktadan 2 nokta 10 10 9 seçelim. 45 2 2 A noktası ile aynı doğru üzerindeki 4 noktadan 2 nok- 4 4 3 ta seçildiğinde üçgen belirtmez. 2 2 II.Yol 6 45 6 39 bulunur. Cevap : C 3) Şekildeki çember üzerindeki 8 nokta ile kaç çokgen oluşturulabilir? A) 56 B) 126 C) 182 D) 219 E) 256 ÇÖZÜM: KOMBİNASYON ve GEOMETRİ www.matematikkolay.net Çokgen olması için en az üçgen olması gerekir. Çember üzerinde 8 nokta olduğundan, en fazla sekizgen oluşur. 8 8 8 … hesaplanmalı. 3 4 8 Tek tek hesaplayabiliriz ya da 8 elemanlı bir kü 8 1 8 8 menin tüm alt küme sayısından 0 lı 1 li ve 2 li alt kümelerini çıkarıyoruz gibi düşünebiliriz. 8 8 8 2 0 1 2 4 7 2 256 1 8 28 219 bulunur. Cevap : D 4) Şekildeki noktalardan geçen doğrulardan kaç tanesi A noktasından geçmez? A) 12 B) 13 C) 15 D) 16 E) 18 ÇÖZÜM: ve doğruları doğrusal olanları çıkartıyoruz. Önce tüm doğru sayısını bulalım. 9 5 5 9 8 1 1 2 2 2 1 2 d d 4 2 2 5 4 2 üzerinden A noktası 1 nokta 2 36 20 2 18 Şimdi A noktasından geçenleri bulalım. 5 1 5 1 1 18 5 13 bulunur. A noktasını yok sayarız. İki doğrunun kesiştiği noktayı II.Yol: 2 d doğrusu doğrusu üzerinden A ve üzerinden kesişim noktası kesişim noktası dışındaki 1 nokta dışında bir nokta da almayız. En son doğrusunu ekleriz. 3 4 1 13 bulunur. 1 1 Cevap : B 2 1 2 2 d d d d 5) Şekildeki ABC üçgeni üzerinde verilen 9 noktadan kaç üçgen geçer? A) 65 B) 68 C) 69 D) 70 E) 84 ÇÖZÜM: KOMBİNASYON ve GEOMETRİ www.matematikkolay.net 5 ye eşit 2 4 AB doğrusu BC doğrusu üzerindeki üzerindeki noktalar noktalar Üçgen için doğrusal olmayan 3 nokta gereklidir. Tüm durumu hesaplayıp doğrusal durumları çıkaralım. 9 5 4 3 3 3 3 3 1 AC doğrusu üzerindeki noktalar 9 8 12 7 6 5 4 2 2 5 84 10 5 69 bulunur. Cevap : C 6) Yukarda verilen , ve doğruları birbirlerine paralel, aynı şekilde , ve doğruları da birbirlerine paraleldir. Diğer dört doğru ise bir A noktasında kesişiyor. Bu 10 doğru kaç farklı nok 1 2 3 1 2 3 d d d l l l tada kesişebilir? A) 33 B) 34 C) 40 D) 42 E) 45 ÇÖZÜM: A nok Paralel doğruların A noktasında durumlarını çıkartıyoruz. kesişen doğruların durumu Parelel olmayan iki doğru tek noktada kesişir. Paralel doğrular kesişmez. 10 3 3 4 1 2 2 2 2 tası 10 5 9 2 4 2 3 2 3 2 1 45 6 6 1 34 bulunur. Cevap : B 7) Birbirlerinden farklı 4 çember ve paralel olmayan 5 doğru en çok kaç noktada kesişir? A) 35 B) 40 C) 45 D) 52 E) 62 ÇÖZÜM: Çemberlerin kendi arasında kesişimi Şekilde görüldüğü gibi 2 çember birbiriyle 2 noktada kesişir. Bir çemberle bir doğru da yine 2 noktada kesişir. 2 doğru ise tek noktada kesişir. 4 4 5 2 2 2 1 Çemberle doğruların Doğruların kesişimi kendi arasında kesişimi 5 1 2 2 4 3 2 5 4 2 4 5 2 2 12 40 10 62 bulunur. Cevap : E 8) Uğur kenarları ortak olmayan 6 tane dörtgenin en çok kaç noktada kesişeceğini hesaplıyor. Bunun üzerine Ali de ortak kenarı olmayan n tane üçgenin kaç noktada kesiştiğini hesaplıyor. Ali’nin bulduğu sonuç Uğur’un bulduğu sonucun yarısı olduğuna göre, n kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 ÇÖZÜM: KOMBİNASYON ve GEOMETRİ www.matematikkolay.net Şekilde de gördüğümüz gibi kenarları ortak olmayan herhangi iki dörtgen en çok 8 noktada, üçgenler ise en çok 6 noktada kesişir. 6 6 tane dörtgen 8 8 2 4 6 5 2 5 4 120 noktada kesişir. Ali, Uğur’un bulduğu değerin yarısını bulduğundan n n n tane üçgen 6 60 10 dur. 2 2 n n (n 1) 10 10 n n 1 20 2 2 n 5 bulunur. Cevap : C 9) Birbirine paralel 6 doğru ve bu doğruları kesen birbirine paralel 5 doğru veriliyor. Bu doğrular arasında kaç tane paralel kenar vardır? A) 150 B) 120 C) 90 D) 75 E) 60 ÇÖZÜM: 2 Birbirine paralel x doğru ve bu doğruları kesen birbirine paralel y doğru varsa bu doğrular arasında m n 2 2 kadar dikdörtgen ya da paralelkenar var 6 5 6 5 2 d 2 ır. 5 4 2 150 bulunur. Cevap : A 10) Şekilde verilen dikdörtgenin üzerinde boyalı bölgeyi içine alan kaç dikdörtgen vardır? A) 12 B) 15 C) 20 D) 24 E) 30 ÇÖZÜM: Solundaki Sağın 3 doğrudan birinin seçimi Şekildeki boyalı bölgeyi içine alan dikdörtgen sayısını bulmak için bölgenin dört yanındaki doğrular arasından birer tane seçim yapmamız gerekir. 3 2 1 1 daki Yukarısındaki Aşağısındaki 2 doğrudan 2 doğrudan 2 doğrudan birinin seçimi birinin seçimi birinin seçimi 2 2 1 1 3 2 2 2 24 bulunur. Cevap : D
Sayfalar: 12