Konvolüsyon Çarpımı

Sadece bir sinyale sahip olmak yeterli mi?

Bu sorunun cevabına kesinlikle evet diyemiyoruz. Biz bir sinyale sahip olduğumuzda öncelikle zamanın herhangi bir anında onları işleme ihtiyacıda duymaktayız. Sinyal üzerinde yapılan tüm işlemler “Sinyal İşleme” olarak adlandırılan geniş bir inceleme alanı oluşturmaktadır. Sinyallerin işlenmesindeki karmaşıklığa bağlı olarak sinyal işlemlerini iki geniş kategoride sınıflandırabiliriz;

► Toplama ve çıkarma gibi temel sinyal işlemleri
► Korelasyon ve filtreleme gibi gelişmiş sinyal işlemleri
 

Konvolüsyon gelişmiş bir sinyal işleme tekniğidir. Bu terimin basit bir şekilde tanımlandığında: "bobin veya bükülme" anlamlarına gelmektedir. Fakat, kullanacağımız tanım değilsede sinyalleri kıvrılma (bükülme) açısından ele aldığımızda benzerlikler içermektedirler.

Bunun nedeni, x1 [n] ve x2 [n] 'nin gibi iki sinyalin  kıvrılmasına ilişkin adımlar şunlardır:

Sinyallerden birini değiştirmeden tutun ( x1[n] ) diğerini ise  zaman ekseninde çevirin. Çarpım yapılırken x2 [n]'i   x1 [n] boyunca kaydırın her bir zaman aralığında çarpım sonucu oluşan ifadeleri toplayın.

Aşağıdaki şekilde x1 [n] = {2, 0, -1, 2} ve x2 [n] = {-1, 0, 1} gibi iki ayrık zaman sinyali üzerinde gerçekleştirilen böyle bir konvolüsyon işlemine bir örnek gösterilmektedir. Burada birinci ve ikinci satır sırasıyla x1 [n] orijinal sinyal ve x2 [n] sinyalin zaman ekseninde çevrilmiş versiyonunu ifade etmektedir.
 

Şekil:1

►İlginizi Çekebilir: Sinyal İşlemede Matematiksel İşlemler

Ardından, ilk iki satıra ait örtüşen örneklerin çarpımını (mavi yazı tipi ile yazılan değerler) içeren üçüncü bir satır meydana gelir. Son olarak, şekilde kırmızı yazı tipi ile yazılmış ifadeleri de ekleyerek konvolüsyon sinyal örneğini elde etmiş olduk. Böylece, kabul edilen örnekte, y [n] = {-2, 0, 3, -2, -1, 2} olmak üzere konvüle edilmiş  bir sinyal bulunur.

Matematiksel olarak konvolüsyon denklemi korelasyon denklemiyle büyük benzerlik göstermektedir. Bununla birlikte, korelasyondan farklı olarak konvolüsyon, sinyallerden birini ters çevirmeyi içerir. Bu zaman dönüşümü (t - τ) olarak temsil edilebilir. Burada τ zamanı anında düşünülür.

Sonuç olarak, sürekli zaman sinyalleri için x1 (t) ve x2 (t)’nin konvolusyon işlemini aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:


Eş zamanlı olarak, ayrık zaman sinyalleri için,


 

Bilinmeyen bir sistemi karakterize etmemiz gereken bir durumu düşünelim. Bu önemlidir, çünkü sistemin işleyişine dair bir fikir edinmemize yardımcı olur. Bir sistemi karakterize etmenin yolu, frekans transfer fonksiyonu veya frekans spektrumu olarak ifade etmektir.

Bu amaca ulaşmak için, sisteme frekanslar (örneğin tarama jeneratörleri kullanılarak üretilen) uygulanmakta ve farklı frekanslarda sistemin tepkisi elde edilmektedir. Her bir frekans için eşit genlik ve faz korunuyorsa, ilgili çıkışlarda gözlemlenen her türden genlik ve faz varyasyonlarının sistemin özelliklerini gösterdiğine karar verebiliriz. Bu cevapların birikimli sonucu, sistemin frekans transfer fonksiyonu olacaktır.

Şekil: 2

►İlginizi Çekebilir: Jammer (Sinyal Bozucu) Nasıl Çalışır?

Ancak, bu sorunun üstesinden gelmenin bir yolu daha var. Bir delta fonksiyonunun Fourier dönüşümü, tüm frekans aralığı için “1” sabit değerine sahip düz bir frekans spektrumuna sahip olduğunu hatırlayın. Bu, sisteme empoze etmek için tüm olası frekansları üretmek yerine, giriş olarak tek bir delta fonksiyonu kullanabileceğini gösterir.

Giriş sinyalindeki değişim modu, üzerinde gerçekleştirilen işlemde değişikliği yapılmasını da gerektirir. Bu yeni sinyal işlemi ise konvolüsyondur. Bunun nedeni, konvolüsyon teoreminde frekans domeni zaman domeni içerisinde konvole edilecektir. Dolayısıyla, frekans domenindeki tüm frekansları kullanarak elde ettiğimiz sonuç, zaman etki alanında kıvrım işlemi ile birlikte delta fonksiyonu kullanarak elde ettiğimiz sonuç ile aynıdır.

Sistem doğrusal ve zamana bağlı değildir (LTI), bir impuls girişine verdiği yanıt, Şekil 2'den de görülebileceği üzere transfer fonksiyonunun özelliklerini tanımlamak için yeterlidir

Bir LTI sisteminin girişinin bilinmesi durumunda çıktısının belirlenmesi

Şimdi, sistemimizin doğrusal olduğunu varsayalım ve girişinde tek ölçekli bir sinyal ile beslendiğini düşünelim. Bu durumda, sistemin çıktısının, girişe eşit derecede ölçeklendirilmesi hariç, Şekil 2'de elde edilen sistem tepkisi ile aynı olacağını görebiliriz. (Şekil 3'ün en sağ tarafı).

Şekil: 3

Sonra, sistemin zaman ile değişmez özelliğini sergilediğini varsayalım. Böyle bir durumda, zaman  ekseni boyunca kayan bir impuls verirsek, sistem impuls cevabının eşit miktarda kaydırıldığı bir çıktı üretecektir (Şekil 4'te gösterilmiştir).

Şekil-4

Sistem LTI ise, girişindeki ölçekli olarak kaydırılmış impuls fonksiyonu çıkışında ise aynı şekilde kaydırılmış impuls cevabı üretecektir. (Şekil 5)

Şekil: 5

Hepimizin merak ettiği soru ise niye bu noktaya odaklandığımız. Cevap vermeden önce, çoğunuzun aşina olduğunuz sinyalle ilgili önemli bir detaya bakalım. Herhangi bir sinyal, ünite uyarıları veya dirak-delta fonksiyonlarıyla yoluyla ifade edilebilir.

Sinyal ifadesi ile ilgili bu gerçek, herhangi bir sinyalin zaman içinde kayan ölçekli bir dürtü fonksiyonları dizisi olduğuna işaret eder. Bununla birlikte, bu dürtü işlevlerinin her biri için, tepkiyi bildiğimiz takdirde sistemin davranışını öngörebiliriz.

LTI sistemleri, süperpozisyon yasasına uyduğundan, tüm bu bireysel sistem yanıtlarını ekleyebiliriz. Bu işlemle elde edilen sonuç, giriş yapıldığında, sistemin çıktısı olacaktır.

Örneğin, bir giriş sinyali {-1, 2, 1} alırsak, bu üç bağımsız sıraya ayrılabilir: -1 , 0 zaman sabiti boyunca konumlanır. Diğer büyüklük olan 2, 1 boyunca, son olarak da 1 ise 2 zaman sabiti boyunca konumlanır.

Şekil 6’da Tablo 1'de değerlere karşılık gelen zaman sabitleri, Tablo 2’de ise çıktılar gösterilmiştir.

Şekil: 6

Son olarak, sistemin genel çıktısını elde etmek için Tablo 2’nin son satırında ise her zaman sabitine karşılık gelen durumlar incelenmiştir. Bu sonuç giriş bu değerlerle beslendiği durumda elde edilir.

Darbe tepkisini bildiğimiz takdirde, konvolüsyon kullanarak herhangi bir LTI sisteminin çıktısını etkin bir şekilde bulabiliriz.


Kaynak:

►allaboutcircuits

Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler

• Ayrık-zaman işaretlerin impuls dizisi cinsinden ifade edilmesi

• Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi

• Sürekli-zaman işaretlerin impuls fonksiyonu cinsinden ifade edilmesi

• Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi

• Doğrusallık ve zamanla değişmezlik özellikleri iki açıdan çok önemlidir: (i) çoğu
fiziksel sistem bu iki özelliğe sahip olup doğrusal ve zamanla değişmeyen (LTI)
sistem olarak modellenebilir, (ii) LTI sistemleri incelemek amacıyla geliştirilmiş
güçlü matematiksel yöntemler (Laplace ve z-dönüşümleri) mevcuttur.

• LTI bir sistemin girişine uygulanan herhangi bir işareti, temel bazı işaretlerin
toplamı cinsinden yazabilirsek, sistemin çıkışı temel işaretlere olan yanıtlarının
toplamına eşit olacaktır.

• Aşağıda gösterileceği gibi, sürekli-zaman işaretleri impuls fonksiyonu, ayrık-

• Sistemin impulsa olan yanıtına İMPULS YANITI denir. Giriş-çıkış ilişkisi ayrık-
zaman durumunda KONVOLÜSYON TOPLAMI, sürekli-zaman durumda ise
KONVOLÜSYON İNTEGRALİ ile verilir.
 Ayrık-zaman işaretlerinin impuls cinsinden ifade edilmesi

• Bir ayrık-zaman işaret impulsların toplamı şeklinde düşünülebilir. Aşağıda bir

• Şekilden, beş bileşenin toplamının -2 ≤ n ≤ 2 aralığında x[n]’ye eşit olduğu

x[n] ... x[ 3] [n 3] x[ 2] [n 2] x[ 1] [n 1] x[0] [n]

x[k ] [n k ]
k

• Yani, herhangi bir ayrık-zaman işaret ötelenmiş impulsların ağırlıklı toplamı olup
ağırlıklar işaretin değerleridir. Örnek olarak, x[n] = u[n] olsun. k < 0 için u[k] = 0
ve k ≥ 0 için u[k]=1 olduğundan, daha önce tartıştığımız ilişki elde edilir:

u[n] [n k ]
k 0
 Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi

• Bir ayrık-zaman LTI sistemin keyfi bir x[n] girişine olan yanıtını bulmaya
çalışalım. Girişi,

x[n] x[k ] [n k ]
k

şeklinde yazabilriz.

• Sistemin [n-k]’ya olan yanıtını hk[n] ile belirtelim. Sistem doğrusal olduğundan,
sistemin x[n]’ye yanıtı

y[n] x[k ]hk [n]

olacaktır.

• O halde, ayrık-zaman LTI sistemin - < k < için [n-k]’ya olan yanıtları
(hk[n]’ler!) biliniyorsa, sistemin herhangi bir girişe olan yanıtı hesaplanabilir.
 Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi

• Sistem zamanla değişmez olduğundan, hk[n] = h0[n-k] ilişkisi geçerli olmalıdır.

• Çünkü, hk[n] sistemin [n-k]’ya; h0[n] ise [n]’ye olan yanıtıdır. Zamanla
değişmeyen bir sistemde giriş hangi miktarda ötelenmişşe çıkışda aynı miktarda
ötelenir. Girişler arasında k kadar öteleme olduğuna göre, çıkışlar arasında da k
kadar öteleme , yani hk[n] = h0[n-k] olamlıdır.

• Notasyon kolaylığı için h[n] = h0[n] yazacak ve h[n]’ye sistemin İMPULS

• Sonuç olarak, bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] ve sisteme
uygulanan giriş x[n] ise, sistemin yanıtı

y[n] x[k ] h[n k ]

ilişkisinden hesaplanır. Bu ilişkiye KONVOLÜSYON TOPLAMI denir ve kısaca

ÖRNEK: Bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] ve sisteme uygulanan
giriş aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız.

ÇÖZÜM: Giriş işaretinde sadece iki terim sıfır olduğundan konvolüsyon toplamı iki
terimin toplamından oluşur:

y[n] x[0]h[n 0] x[1]h[n 1] 0.5h[n] 2h[n 1]

Bu örnek için, impuls yanıtı 0.5 ile çarpılır, 1 birim sağa ötelenip 2 ile çarpılır. İki
işlemden elde edilen sonuçların toplamı çıkışa eşit olur. İlgili işlemler ve sonuç
aşağıda verilmiştir.
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
 Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi

• Giriş ve/veya impuls yanıtı sonsuz değer aldığında konvolüsyon toplamı etkin bir
şekilde hesaplanmalıdır. Çıkışın herhangi bir n anındaki değerinin konvolüsyon
toplamından hesaplandığını hatırlayınız:

y[n] x[k ] h[n k ]

• İlk önce, x[k] ve h[n-k] işaretleri k’nın fonksiyonu olarak çizilir. Bu iki fonksiyon
çarpılarak g[k] = x[k] h[n-k] dizisi elde edilir.

• Daha sonra, g[k] dizisi tüm k değerleri üzerinden toplanarak y[n] bulunur.

• Çıkışı bulmak için bu işlem tüm n değerleri için tekrarlanır.

• Bu işlem yapılırken h[n-k]’nın h[k]’nın zaman tersine çevrilmiş ve n kadar

ÖRNEK: Bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] = u[n] ve sisteme
uygulanan giriş, 0 < α < 1 olmak üzere x[n] = αnu[n] olarak verilmiştir. Sistemin
çıkışını hesaplayınız.
 Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi

ÇÖZÜM: Aşağıda x[k] ve h[n-k] n < 0 ve n ≥ 0 için çizilmiştir.

• Şekillerden n < 0 ise, x[k] ile h[n-k] dizilerinin kesişmeyip x[k] h[n-k] çarpımının
sıfıra eşit olduğu görülmektedir. O halde, n < 0 ise y[n] = 0.

• n ≥ 0 ise, diziler 0 ≤ k ≤ n aralığında kesiştiğinden x[k] h[n-k] çarpımı şöyle olur:

• y[n]’yi belirlemek için konvolüsyon toplamı hesaplanmalıdır.

Özetle,
n 1
1
y[n] , n 0
1
0, n 0
 Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi

ÖRNEK: Bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] ve sisteme uygulanan
giriş x[n] aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız.

1, 0 n 4 n
, 0 n 6
x[n] h[n]
0, aksi halde 0, aksi halde
Aralık 1: n < 0.
Aralık 2: 0 ≤ n < 4
Aralık 3: 4 < n ≤ 6
Aralık 4: 6 < n ≤ 10
Aralık 5: n > 10.
 Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi

• ÇÖZÜM: x[k]h[n-k] çarpımı 5 aralıkta farklı değerler aldığından, çıkış her

• Aralık 1 (n < 0): x[k]h[n-k] çarpımı sıfır olup y[n] = 0.

• Aralık 2 (0 ≤ n < 4):

n n n 1
n k r 1
y[n]
k 0 r 0 1
 Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi

• Aralık 3 (4 < n ≤ 6):

• Aralık 4 (6 < n ≤ 10):

• Aralık 5 (n ≥ 10): x[k]h[n-k] çarpımı sıfır olup y[n] = 0.

Özetle,
0, n 0
n 1
1
, 0 n 4
1
n 4 n 1
y[n] , 4 n 6
1
n 4 7
, 6 n 10
1
0, n 10
 Sürekli-zaman işaretlerin impuls cinsinden ifade edilmesi

Bir sürekli-zaman işareti ötelenmiş darbelerin toplamı biçiminde yaklaşık olarak

• Δ(t) fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlansın:

• Sürekli-zaman işaret yaklaşık olarak şöyle yazılabilir:

xˆ (t ) x(k ) (t k )
k

• Δ küçüldükçe yaklaşıklık iyileşir ve Δ 0 limit durumunda x(t) elde edilir. Yani,

x(t ) lim xˆ (t)

• Δ 0 limit durumunda toplama integrale eşit olur (Riemann integral tanımını

• Ayrıca, Δ 0 limit durumunda Δ(t) fonksiyonu (t)’ye eşit olur. O halde,

x(t ) x( ) (t )d

• Örnek olarak, x(t) = u(t) olsun. t < 0 için u(t) = 0 ve t ≥ 0 için u(t) = 1 olduğundan
u(t) ile (t) arasında daha önce verdiğimiz aşağıda verilen ilişki elde edilir:

u (t ) u ( ) (t )d

(t )d
0
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi

• Bir sürekli-zaman LTI sistemin keyfi bir xˆ (t ) girişine olan yanıtını bulmaya
çalışalım. Girişi,
xˆ (t ) x(k ) (t k )
k

şeklinde yazabiliriz.

• Sistemin Δ(t-kΔ) ’ya olan yanıtını ile hˆk (t ) belirtelim. Sistem doğrusal
olduğundan, xˆ (t ) ’ye yanıtı aşağıdaki eşitlikle verilir.

yˆ (t ) x(k ) k (t )
k

• Δ 0 limit durumunda x(t ) xˆ (t ) ve doayısıyla y (t ) yˆ (t ) olur. Yani,

y (t ) lim yˆ (t )
0
lim x(k ) k (t ) x( ) (t )d
0k
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi

• Sistem zamanla değişmez olduğundan

h (t)= h0(t- )

ilişkisi geçerli olmalıdır.

• Notasyon kolaylığı için h(t) = h0(t) yazacak ve h(t)’ye sistemin İMPULS YANITI
(sisteme (t) uygulandığında elde edilen yanıt) diyeceğiz.

• Sonuç olarak, bir sürekli-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h(t) ve sisteme
uygulanan giriş x(t) ise, sistemin yanıtı

y(t ) x( )h(t )d

ilişkisinden hesaplanır. Bu ilişkiye KONVOLÜSYON INTEGRALİ denir ve

• Çıkışın herhangi bir t anındaki değerinin konvolüsyon integralinden

• İlk önce, x( ) ve h(t- ) işaretleri ’nun fonksiyonu olarak çizilir. Bu iki fonksiyon
çarpılarak g( ) = x(t)h(t- ) işareti elde edilir.

• Daha sonra, g( ) işaretinin değerleri üzerinden inetgrali alınarak y(t) bulunur.

• Çıkışı bulmak için bu işlem tüm t değerleri için tekrarlanır.

• Bu işlem yapılırken h(t- )’nın h( )’nun zaman tersine çevrilmiş ve t kadar

ÖRNEK: Bir sürekli-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h(t) ve sisteme uygulanan
giriş x(t) aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız.
x(t ) e atu (t ), a 0
h(t ) u (t )
ÇÖZÜM: Aşağıda x( ) ve h(t- ) işaretleri t < 0 ve t ≥ 0 için çizilmiştir.
• Şekillerden t < 0 ise, x( ) ve h(t- ) işaretlerinin kesişmeyip x( )h(t- ) çarpımının
sıfıra eşit olduğu görülmektedir. O halde, t < 0 ise y(t) = 0.

• t ≥ 0 ise, işaretler 0 ≤ ≤ t aralığında kesiştiğinden x( )h(t- ) çarpımı şöyle olur:

• y(t)’yi belirlemek için konvolüsyon integrali hesaplanmalıdır.

152702 152703 152704 152705 152706

oksabron ne için kullanılır patates yardımı başvurusu adana yüzme ihtisas spor kulübü izmit doğantepe satılık arsa bir örümceğin kaç bacağı vardır