Kosinüs Grafiği

SORU 1:

\( a = \sin{50°}, b = \cos{72°}, c = \tan{50°} \)

Yukarıdaki ifadeleri değerlerine göre küçükten büyüğe doğru sıralayın.

SORU 2:

\( 0° \lt x \lt 45° \) olmak üzere,

\( \sin{x} + \cos{x} = \dfrac{7}{5} \) olduğuna göre,

\( \sin{x} - \cos{x} \) ifadesinin değeri kaçtır?

Belki de Python’u değerli kılan en önemli şey, sahip olduğu kütüphanelerdir. Kütüphaneler hazır kodlar içerir ve detaylarla uğraşmadan hızlıca öze geçmeyi sağlar. Bu yazıda bir sinüs ve kosinüs grafiği çizeceğiz. Bunun için sinüs, kosinüsün hesaplanabileceği ve grafik araçlarını içeren iki kütüphane kullanacağız. Başlayalım 0 ile π arasında sinüs ve kosinüs grafiği ile.

Lütfen yukarıdaki kodun açıklamalarını okumadan önce kodu kendi ekranınıza kopyalayın ve kurcalayın. Bu kurcalama benim açıklamamdan daha fazla öğretecektir.

import bir kütüphaneyi kodunuza çağırmak için kullandığımız ifade. Biz bu kodda iki kütüphane kullandık NUMPY (nümerik kütüphane) ve MATPLOTLİB (görselleştirme kütüphanesi). Bu kütüphaneler içindeki hazır kodları kullanırken her seferinde kütüphanenin ismini yazmamız gerekecek. Ancak bu her seferinde uğraştıracağı için kısa isimler verdik biz bu kütüphanelere. Yani numpy yerine np diyeceğiz ve matplotlib.pyplot yerine kısaca plt diyeceğiz kodun içerisinde.

0 ile π arasında sinüs ve cosünüz eğrisi çizeceğimiz için keşke bir kod olsa da 0 ile π arasında 100 tane değer üretse. Evet var, numpy kütüphanesinde linspace kodu bunu yapıyor. parantez içine başlangıç ve bitiş değerini yazıyorsunuz, sonuna da kaç tane değer üretmesini istiyorsunuz size otomatik olarak oluşturuyor. Böylece np.linspace(0,np.pi,100) koduyla tam olarak bunu yapıyoruz. dikkat ettiyseniz π‘yi tanımlamak için bile hazır kod var np.pi. Numpy kütüphanesini kısaltarak np yapmıştık ilk satırda hatırlarsanız.

Sonrasında ürettiğimiz bu x değerleri için sinüs ve kosinüs değerlerini hesaplamamız gerekecek. Bunun da hazır kodu var. np.sin ve np.cos içine yazdığınız değerlerin hepsinin sinüs ve kosinüsünü hesaplıyor. Böylece y ve z değerlerimizi hesaplıyoruz. Böylece elimizde 3 tane liste var. x 0 ile π arasında 100 tane sayı içeriyor, y bu x değerlerinin hepsinin sinüslerinin değerlerini içeriyor. ve z ise x değerlerinin kosinüs değerlerini içeriyor. Her bir listenin 100 tane elemanı var.

Çizim için matplotlib kütüphanesini kullanacağız. 2. satırda çağırarak kısaca plt demiştik bu kütüphaneye. Biz çizgi grafik kullanacağız, bunu içeren hazır kod plot. Böylece sinüs ve kosinüs grafiğinin koordinatlarını bu kütüphaneye gönderiyoruz ve çizgi grafiğe bir isim veriyoruz. İsim vermek için parantez içine label yazıp tırnak içinde ismini yazıyoruz. En son satırda ise bu koyduğumuz isimleri grafik üzerinde bir kutucuk ile göstermesini istiyoruz. İşte bu da kodumuzun çıktısı olan grafik.

Sıra sizde: Sİzde aynı şekilde tanjant ve kotanjant grafiklerini çizdirebilir misiniz? Kotanjantı internet araştırmanıza rağmen bulamazsanız cot(x)=1/tan(x) ile çizdirebilirsiniz.

Örnek olarak f(x)=cos(x) fonksiyonunun periyodunun T=2π olduğunu biliyoruz. Bunun anlamı bu fonksiyonun her 2π aralığında tekrar edecek olmasıdır. f(x)=cos(x) fonksiyonunun grafiğini çizmek istersek 2π uzunluğundaki bir aralığı bulduğumuz zaman geri kalan kısımları bu aralığın sağına ve soluna aynı aralığı kopyalayabiliriz. Bu yöntemle sinx, cosx, tanx ve cotx grafiklerini çizip yorumlayabiliriz.

Sinüs Fonksiyonunun Grafiği

f(x)=sin(x) fonksiyonunun periyodu T=2π ‘dir. Her 2π aralığında tekrar ettiği için bu uzunlukta istediğimiz bir aralığı seçelim. Bu aralığı [0,2π] olarak seçip fonksiyonun değerlerini bulup bunları grafikte …,[-6π,-4π],[-4π,-2π],[-2π,0],[0,2π],[2π,4π],[4π,6π],… aralıklarında tekrar edecek şekilde yerleştirebiliriz.

Sinüs Fonksiyonunun Belirli Açılarda Aldığı Değerler

Bulduğumuz bu noktaları grafikte birleştirip aynı şekil sağa ve sola devam ettirdiğimizde karşımıza y=sinx grafiği çıkacaktır.

Grafiği incelediğimizde

, , , noktalarına baktığımızda verilen ikili noktalar orijine göre simetriktir. Orijine göre simetrik olan fonksiyonlara tek fonksiyon adı verilir ve sinüs tek fonksiyondur.

Tek fonksiyonlarda x değerinin işaretinin değişmesi y değerinin de işaretini değiştirir. Yani sinüs fonksiyonlarında x değerinin işaretini değiştirirsek sonuç sinüsün negatif değerine eşit olur. Aşağıda verilen denklem bütün sinüs fonksiyonları için geçerlidir. Bu durumu yukarıdaki noktalarda ve grafikte inceleyebilirsiniz.

Kosinüs Fonksiyonunun Grafiği

f(x)=cos(x) fonksiyonunun da periyodu T=2π ‘dir ve kosinüs fonksiyonu için de [0,2π] aralığındaki noktaları bulup sağına ve soluna aynı değerler eklenerek grafiği oluşturabiliriz.

Kosinüs Fonksiyonunun Belirli Açılarda Aldığı Değerler

Bu değerleri grafiğe yerleştirelim.

Grafiği incelediğimizde

, , , noktalarına baktığımızda verilen ikili noktalar y eksenine göre simetriktir. Bunun gibi y eksenine göre simetrik olan fonksiyonlara çift fonksiyon adı verilir ve kosinüs çift fonksiyondur.

Çift fonksiyonlarda x değerinin işaretini değiştirmek y değerinde hiçbir değişikliğe yol açmamaktadır. Böylelikle kosinüs fonksiyonu için x değerinin işaretini değiştirsek bile sonuçta bir değişiklik olmayacaktır. Aşağıda verilen denklem bütün kosinüs fonksiyonları için geçerlidir. Bu durumu yukarıdaki noktalarda ve grafikte inceleyebilirsiniz.

Tanjant Fonksiyonunun Grafiği

f(x)=tan(x) fonksiyonunun periyodu T=π ‘dir. Tanjant fonksiyonunun grafiğini oluşturmak için sinüs ve kosinüsten farklı olarak π kadar bir aralık seçeceğiz ve bu aralık tanjantı tanımsız yapan iki değer arasında seçmek mantıklı olacaktır. Bu nedenle aralığını seçersek bu aralığı daha sonra sağına ve soluna ekleyerek tanjant fonksiyonunun grafiğini elde edebiliriz.

Tanjant Fonksiyonunun Belirli Açılarda Aldığı Değerler

Bulduğumuz bu değerleri grafiğe yerleştirip sağını ve solunu aynı şekil devam ettirirsek aşağıdaki grafiğe ulaşmış oluruz.

Grafiği incelediğimizde

veya x ekseninde herhangi bir noktanın pozitif veya negatifini aldığımızda sonuçların da aynı fakat farklı işaretli olduğunu göreceğiz. Buna göre tanjant fonksiyonunda noktalar orijine göre simetrik oluyor. Bu da demek oluyor ki aynı sinüs fonksiyonu gibi tanjant fonksiyonu da tek fonksiyondur ve x değerinin işaret değiştirmesiyle y değeri de işaret değiştirir. Aşağıda verilen denklem bütün tanjant fonksiyonları için geçerlidir. Bu durumu yukarıdaki grafikte inceleyebilirsiniz.

Kotanjant Fonksiyonunun Grafiği

f(x)=tan(x) fonksiyonunun periyodu da T=π ‘dir. Kotanjant fonksiyonunun grafiği için aynı tanjant fonksiyonunda yaptığımız gibi π kadar aralık seçeceğiz fakat kotanjantı tanımsız yapan değerler farklı olduğu için bu aralığı (0,π) seçebiliriz.

Kotanjant Fonksiyonunun Belirli Açılarda Aldığı Değerler

Aynı şekil tabloyu grafiğe dönüştürelim.

Grafiği incelediğimizde

Kotanjant fonksiyonunda noktaların orijine göre simetrik olduğu görülüyor. Bu durumda sinüs ve tanjant fonksiyonları gibi kotanjant fonksiyonu da tek fonksiyondur. Aşağıda verilen denklem bütün kotanjant fonksiyonları için geçerlidir. Bu durumu yukarıdaki grafikte inceleyebilirsiniz.

Trigonometrik Fonksiyonların Teklik Çiftlik Durumu

Yukarıdaki detaylı anlatımı özetlememiz gerekirse;

• Tek Fonksiyonlar: Eğer f(−x) = −f(x) ise f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
  • Sinüs, tanjant, kotanjant ve kosekant tek fonksiyondur.
• Çift Fonksiyonlar: Eğer f(−x) = f(x) ise f fonksiyonuna çift fonksiyon denir.
  • Kosinüs ve sekant fonksiyonu çift fonksiyondur.