Matematik 8 Sınıf Doğrusal Denklemler Konu Anlatımı

Aralarında doğrusal ilişki bulunan iki değişkenden birinin diğerine bağlı olarak nasıl değiştiğini tablo ve denklem ile ifade eder.

Eşit aralıklarda sabit bir şekilde artma veya azalma oranına sahip olan ilişkilere doğrusal ilişki denir. Bir doğrusal ilişki; tablo kullanarak, denklem kurarak veya grafik oluşturarak üç farklı şekilde gösterebiliriz.

👀 Doğrusal ilişkiyi daha iyi anlamak için aşağıdaki örneği inceleyelim.

Matara video izleme kanalında video yükleyen Ömer Faruk hoca yüklediği videonun günlere göre izlenme sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Yukarıdaki tabloyu incelediğimizde günler birer birer artmakta izlenme sayıları ise 500’er 500’er artmaktadır. Yani günler ile izlenme sayıları arasında doğrusal bir ilişki vardır. Bu doğrusal ilişki gün sayısının 500 katının 250 fazlasıdır. Şimdi bu doğrusal ilişkinin grafiğini çizelim.

Yukarıda gün sayısı ile izlenme sayısı arasındaki doğrusal ilişkinin grafiği çizilmiştir. Bu grafik incelendiğinde doğru olacak şekilde düz bir çizgiden oluştuğunu görürüz. Bunu doğrusal ilişki grafikleri düz çizgiden oluşur şeklinde yorumlayabiliriz.

Farklı değerler verebileceğimiz çokluklara bağımsız değişken , Verdiğimiz değerlere değişen çokluklara bağımlı değişken denir.

Doğrusal ilişki içeren grafikleri yorumlarken aşağıdaki yöntemleri kullanabiliriz.

✅ Doğru üzerinde verilen bir noktanın koordinatlarından yararlanılarak grafik yorumlanabilir.

Örnek:

Yukarıda verilen grafik bir aracın Mersin’e olan uzaklığının zaman bağlı değişimini göstermektedir.

Buna göre bu aracın 12. saatin sonunda Mersin’e olan uzaklığı kaç km olur?

👉 Aracın başlangıçta yani hiç hareket etmeden Mersin’e olan uzaklığı 30 km’dir.

👉 Verilen grafiği incelediğimizde araç yolun 30 km’si ile 230 km’sini 5 saatte almıştır. Yani bu araç 200 km yolu 5 saatte almıştır.

👉 5 saatte 200 km yol alırsa 1 saatte 40 km yol alır.

👉 1 saatte 40 km yol alırsa 12 saatte 480 km yol alır.

👉 Başlangıçta 30 km yol aldığı için 480+30=510 km 12 saatin sonunda aracın Mersin’e olan uzaklığıdır.

Örnek:

Başlangıçta 200 litre su bulunan bir depodaki su miktarının zamana bağlı değişimi yukarıdaki grafikte verilmiştir.

Buna göre depodaki suyun tamamı kaç saatte tükenir?

👉 Yukarıdaki grafik türü azalan zaman grafiğidir. Yani zamanla depodaki su miktarı azalmaktadır.

👉 Grafiği incelediğimizde depoda başlangıçta 200 litre su vardır.4 saat sonunda 120 litre su kalmıştır. Yani 4 saatte depoda 80 litre su boşalmıştır.

👉 4 saatte 80 litre su akarsa 1 saatte 20 litre su akar.(orantı kurarız)

👉 200 litre su 200÷20=10 saatte su akar.

✅ Verilen doğru grafiğinin doğrusal denklemini oluşturarak grafik yorumlanabilir.

Yukarıdaki grafik iki ayrı mumun zamana bağlı değişimini göstermektedir.

Buna göre ;

a) Kaç saat sonra mumların boyu eşit olur?

👉 Yukarıdaki grafiği yorumlamak için 1.mum ve 2.muma ait doğrusal denklemini oluşturalım.

👉 1.mumun doğrusal denklemi

Birinci mum 20 saatte 80 cm tükeniyor.

1 saatte 4 cm tükenir.

Birinci mumum doğrusal denklemi = 80-4x

👉 2.mumun doğrusal denklemi

İkinci mum 30 saatte 60 cm tükeniyor.

1 saatte 2 cm tükenir.

İkinci mumum doğrusal denklemi = 60-2x

👉 Birinci ve ikinci mumun boylarının kaç saat sonra boylarının eşit olduğunu bulmak için iki mumunda doğrusal denklemlerini eşitleriz.

80-4x = 60-2x

80-60 = 4x-2x

2x=20

x=10 saat sonra boyları eşit olur.

b) 1. mumun boyu 56 cm kaldığında 2. mumum boyu kaç cm olur?

👉 1. mumun boyu 56 cm olması için kaç saat geçmesi gerektiğini bulmak için 1.mumun doğrusal denklemini 56 cm eşitleriz.

80-4x = 56

80-56 = 4x

24 = 4x

x = 6 saat sonra 1. mum 56 cm olur.

👉 6 saat sonra 2. mumum boyunun kaç cm olacağını bulmak için ikinci mumun doğrusal denkleminde x yerine 6 yazmalıyız.

60-2x

60-2·6

60-12

48 cm ➡ 6 saat sonra ikinci mumun boyu

Yeni Nesil Soru

🎥 Bir Soru Bir Video 🎥

Anıl ve Efe sabit hızla maraton yarışı koşmaktadırlar.

Anıl ve Efe görseldeki gibi bir zaman diliminden başlayan yol-zaman grafiği aşağıda verilmiştir.

Buna göre kaç saniye sonra Anıl ve Efe aynı hizada olurlar?

Konu Anlatımının Devamı : https://www.matematikodevi.com/dogrusal-denklemlerin-grafigini-cizme/

Bu yazımızda sizlere LGS Matematik konusu olan aynı zamanda  8. sınıf konuları arasında yer alan Doğrusal Denklemler hakkında bilgilendireceğiz. Aşağıda sizlere başlıklar halinde konularımızı anlattık. Üzerine tıklayarak ulaşabilirsiniz.

x ve y iki değişken olmak üzere ax + by + c = 0 şeklindeki denklemlere doğrusal denklem denir. Bu ifadedeki c sayısına sabit sayı, a, b ve c sayılarına kat sayı adı verilir. a ve b kat sayıları aynı anda 0 (sıfır) değerini alamaz.

Bir Bilinmeyenli Denklemler

a, b, c ∈ R olsun,

Bir eşitliğin her iki yanına aynı sayı eklenip çıkarılabilir. Bu durumda eşitlik değişmez.
a = b ise a+c = b+c ve a – c = b – c olur.
Bir eşitliğin her iki yanı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılabilir. Bu durumda eşitlik değişmez.
a=b ise a.c = b.c olur.
a ve b gerçek sayı ve a sıfırdan farklı olmak üzere ax+b=0 ifadesine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x değerine denklemin kökü ve ve bu değerlerin oluşturduğu kümeye de denklemin çözüm kümesi denir.

x – 2 = 3 denklemini sağlayan tek bir x değeri vardır ve bu değer 5’tür.

Çözüm

x = 3 + 2
x = 5

Denklemin kökü: 5
Çözüm kümesi: Ç = { 5 }

Denklemler Çözülürken İzlenecek Yollar

Denklem Çözümleri 

Örnek

3x − 5 = x + 5 denklemini çözelim.

Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına, diğer sayıları diğer tarafa toplarız.

3x − x = 5 + 5 (−5 sağa +3 olarak geçer, x sola −x olarak geçer.)

2x = 10 (x’in başındaki 2 katsayısını karşıya bölü olarak geçer.)

x =
x = 5

Örnek

2(3x − 5) = 8 − 3(x + 4) denklemini çözelim.

6x − 10 = 8 − 3x − 12 (Parantez önlerindeki 2 ve −3 parantezlere dağıtılır.)

6x + 3x = 8 − 12 + 10 (−3x sola +3x olarak, −10 sağa +10 olarak geçer.)

9x = 6 (x’in başındaki 9 katsayısını karşıya bölü olarak geçer.)

x =

Koordinat Sistemi

İki sayı doğrusunun 0 (sıfır) noktasında birbiriyle dik kesişmesiyle oluşan sisteme kartezyen koordinat sistemi denir. Burada iki sayı doğrusu yani iki boyut olduğu için iki boyutlu kartezyen koordinat sistemi de denir.

Koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni, dikey eksen y ekseni olarak isimlendirilir. x ve y eksenlerinin kesişim noktası başlangıç noktasıdır. Başlangıç noktası orijin olarak isimlendirilir.

Koordinat sistemini oluşturan ve dik kesişen x ve y eksenleri analitik düzlem üzerinde 4 bölge meydana getirirler. Bu bölgeler saat yönünün tersine doğru 1. bölge, 2. bölge, 3. bölge ve 4. bölge olarak adlandırılırlar.

Şekilde de verildiği gibi bileşenleri A(x, y) olan bir nokta,

*x ve y pozitif ise 1. bölgede,
*x negatif ve y pozitif ise 2. bölgede,
*x ve y her ikisi de negatif ise 3. bölge,
*x pozitif ve y negatif ise 4. bölgededir.

Örnek:

Koordinat sisteminde A(2,-5)  noktasının x eksenine olan uzaklığı kaç birimdir?

Doğrusal İlişki ve Doğrusal Denklemler

Doğrusal İlişki Nedir?

İki değişken arasındaki ilişkinin grafiği doğru şeklinde ise bu iki değişken arasında doğrusal ilişki vardır deriz.

Değişkenlerden değeri başka bir değişkene bağlı olarak değişen değişkene bağımlı değişken, değerini kendi belirlediğimiz değişkene bağımsız değişken denir.

Doğrusal Denklemler Nedir?

Doğrusal ilişkiyi ifade eden denklemlere doğrusal denklem denir. x ve y değişken, a ve b katsayı ve c sabit terim olmak üzere: ax + by + c = 0 biçiminde olan denklemlere doğrusal denklem denir. Doğrusal denklemde a ve b katsayılarının ikisi birden 0 olamaz. Yani denklemde en az bir tane bilinmeyen bulunmalıdır.

Örnek:

Tablodaki x ve y arasındaki ilişkiler nelerdir?

y değişkeni üçer arttığı için → y=3x

x=0 iken y=1 ise

Bu yüzden y=3x+1 olmalıdır.

Doğrusal Denklemlerin Grafikleri

1.Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi

2. İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi

İki noktası bilinen doğrunun denklemini yazmak için;

İki noktadan geçen doğrunun eğimi bulunur.
Bulunan eğim ve verilen noktalardan herhangi biri kullanılarak doğru denklemi yazılır.

3. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğrunun Denklemi

4.Eksenlere Paralel Doğruların Denklemi

5. Orjinden Geçen Doğru Denklemi

Orjin noktası olan O(0,0)’dan geçen ve eğimi m olan doğru denklemi

y-0=m(x-0)
y=mx’dir

Denklemi Verilen Doğrunun Grafiği

Eğim

Bir dik üçgende dikey uzunluğun, yatay uzunluğa oranına eğim denir. Eğim “m” harfi ile gösterilir.

Üçgenin eğimini bulalım

Doğrunun Eğimi

Bir doğrunun eğimi, doğru üzerinde bulunan iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranıdır. y eksenine göre sağa yatık doğruların eğimi pozitif, sola yatık doğruların eğimi negatiftir.

Örnek:

Orjinden  ve A(3,6) noktasından geçen  doğrunun denklemini yazalım.

LGS Matematik için Tıklayınız

Doğrusal Denklemler

x ve y iki değişken olmak üzere ax + by + c = 0 şeklindeki denklemlere doğrusal denklem denir. Bu ifadedeki c sayısına sabit sayı, a, b ve c sayılarına kat sayı adı verilir. a ve b kat sayıları aynı anda 0 (sıfır) değerini alamaz.

DOĞRUSAL İLİŞKİLER

Bir su deposunda 20 ton su vardır. Depodan her l saatte 1 ton su kullanılmaktadır. Geçen süre saat cinsinden x ile, depoda kalan su miktarı ton cinsinden y ile gösterilsin. Geçen süre ile depoda kalan su miktarı arasındaki ilişkiyi inceleyelim.

Geçen süre ile depoda kalan su miktarı arasındaki doğrusal ilişkinin denklemi y = 20 – x şeklindedir. Bu ilişkinin grafiği aşağıdaki gibi çizilebilir.

Bir araç her bir saatte 40 km yol alarak gitmektedir. Aşağıdaki tabloyu inceleyelim. Belirlenen x ve y değerlerine göre aralarındaki ilişkinin denklemini yazalım ve grafiğini çizelim.

Geçen zaman saat cinsinden x ile, alınan yol miktarı km cinsinden y ile gösterilerek; x ile y arasındaki ilişkinin denklemi y = 40x olarak yazılır. Alınan yol zamana bağlı olarak değişmektedir. x ile y birbirlerine bağlı olarak değişir.

Geçen zaman saat cinsinden x ile, aracın hızı km/sa cinsinden y ile gösterilerek; x ile y arasındaki ilişkinin denklemi y = 40 olarak yazılır. Hız zamana bağlı olarak değişmediğinden y bağımsız değişkendir.

EĞİM

Aşağıda dört farklı üçgen çizilerek, farklı yokuş modelleri verilmiştir. 4. üçgendeki yokuş modeline tırmanmak daha zordur. Bu üçgendeki dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranı da diğer üçgenlerdeki oranlardan daha büyüktür.

y : -x + 2 doğrusunun grafiğini çizerek eğimini bulalım. Bir doğrunun grafiğini çizebilmek için, bu doğru üzerinde olan iki noktanın koordinatlarının bilinmesi yeterlidir.
x=0 için y=0+2=2’dir.
y=0 için 0=-x+2 x = 2’dir.
Doğru x eksenini (2, 0), y eksenini (0, 2) noktasında keser.

B noktasından 2 birim yukarı, 2 birim sola gidilirse A noktasına ulaşılır. Bu doğru sola yatık olduğundan eğimi negatiftir.

BİR DEĞİŞKENİN DİĞERİ CİNSİNDEN İFADESİ

Bir doğrusal denklemde bir değişkenin diğeri cinsinden ifadesi yazılırken istenen değişken eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır.

x tane kırmızı, y tane yeşil topun bulunduğu bir sepetteki topların sayısı 20’dir. Bu ifadeye karşılık gelen doğrusal denklem x + y = 20’dir. Kırmızı top sayısının (x), yeşil top sayısı (y) cinsinden ifadesi x + y = 20 olduğundan x = 20 – y şeklinde yazılır. Yeşil top sayısının (y), kırmızı top sayısı (x) cinsinden ifadesi x + y = 20 olduğundan y = 20 – x şeklinde yazılır.

Meral kızından 35 yaş büyüktür. Bu ifadeye karşılık gelen doğrusal denklem Meral’in yaşı a, kızının yaşı b ile gösterilerek a – b = 35 şeklinde yazılabilir. Meralin yaşının (a), kızının yaşı (b) cinsinden ifadesi a – b = 35 olduğundan a = 35 + b şeklinde yazılır. Kızının yaşının (b), Meralin yaşı cinsinden ifadesi a – b = 35 olduğundan b = a – 35 şeklinde yazılabilir.

Elmanın kilogramı a TL, portakalın kilogramı b TL’dir. 3 kg elma ile 2 kg portakal alınarak tüm meyvelere 38 TL ödeniyor. Bir kilogram portakalın fiyatını bir kilogram elmanın fiyatı cinsinden yazalım.
İfadeye ait doğrusal denklemi yazalım.
Elmalara ödenen ücret 3a, portakallara ödenen ücret 2b, tüm meyvelere ödenen ücret 3a + 2b şeklinde yazılır. 3a + 2b = 38
Bir kilogram portakalın fiyatı bir kilogram elmanın fiyatı cinsinden (b’yi a cinsinden) yazalım.
3a + 2b = 38 denkleminde b’yi a cinsinden yazmak için denklemde b’yi eşitliğin bir tarafında yanlız bırakalım.

x tane üçgen, y tane beşgenin kenar sayıları toplamı 21’dir. Üçgen sayısının beşgen sayısı cinsinden ifadesini bulalım. İfadeye ait doğrusal denklemi yazalım.
Üçgenlerin toplam kenar sayısı 3x, beşgenlerin toplam kenar sayısı 5y tüm şekillerin kenar sayıları toplamı 21 ise 3x + 5y = 21 yazılır.
x’in y cinsinden ifadesi yazılacağından, denklemde x’i eşitliğin bir tarafında yalnız bırakalım.

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

Araç 99 km yolu 15 litre benzin tüketerek gidebilir. Bir bilinmeyenli rasyonel cebirsel ifadeler içeren eşitliklere bir bilinmeyenli rasyonel denklemler adı verilir. Bir bilinmeyenli rasyonel denklemlerde değişkenin yerine koyulduğunda denklemi sağlayan gerçek sayıya denklemin çözümü adı verilir. Çözümün doğru olup olmadığını kontrol etmek için bulunan değer x’in yerine yazılarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığına bakılır. Eşitlik sağlanıyor ise çözüm doğrudur.

Rasyonel ifadeler içeren denklemler çözülürken paydalar eşitlenerek iki taraf da ortak paydada toplanır. Her iki tarafın paydaları eşit olduğundan payları da eşit olur. Elde edilen bu eşitlikle denklem çözümü yapılır.