Matematik Faktöriyel Çözümlü Sorular

Soru: n bir doğal sayı olmak üzer, n!, (n + 1)!, (n + 3)!, (n! + 1), (n! + 4) sayılarından kaç tanesi daima çift sayıdır?
Çözüm: n = 1 seçilirse n! = 1! = 1 tek sayıdır. n = 0 seçilirse (n + 1)! = (0 + 1)! = 1 tek sayıdır. (n + 3)! daima çifttir. Açılımında mutlaka 2 çarpanı bulunur. n = 2 seçilirse n! + 1 = 2! + 1 = 3 tek sayıdır. n = 0 seçilirse n! + 4 = 0! + 4 = 5 tek sayıdır. O halde sadece (n + 3)! daima çift sayıdır.

Soru: 59 faktöriyel - 1 sayısının sondan kaç basamağı dokuzdur?
Çözüm: 59 faktöriyel sayısının sonundaki sıfır sayısı ile 59 faktöriyel - 1 sayısının sondan dokuz basamağı aynıdır. 59 faktöriyel sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır bulmamız yeterlidir. 59 u beşe bölünmeyene kadar bölüp bölümleri toplarsak cevap 13 çıkar.

Soru: x ve y pozitif tam sayılardır. x! = 120 . y eşitliğinde y nin alabileceği en küçük farklı iki değerin toplamı kaçtır?
Çözüm: x faktöriyel = 120 . y, x faktöriyel = 5! . y eşitliğinde y = 1 seçersek x = 5 olur. y = 6 seçersek x = 6 olur. y nin değerleri = 1 + 6 = 7 olur.

Soru: 1 . 2 . 3 . 4 . ... . 10 . 11 . 12 . ... . 120 çarpımı ile oluşan 120 faktöriyel sayısının açılımında kaç tane rakam kullanılmıştır.
Çözüm: 1 den 9 a kadar 9 tane rakam vardır. 10 dan 99 a kadar 90 tane sayı, dolayısıyla 3 . 21 = 63 tane rakam vardır. O halde toplam 9 + 180 + 63 = 252 tane rakam vardır.

Soru 1

x! = 42.5! olduğuna göre, x+4 ifadesinin değeri kaçtır ?

Çözüm

42'yi asal çarpanlarına ayıralım , 42 = 7.3.2

x! = 7.3.2.5!
x! = 7.6.5!
x! = 7! şeklinde yazabiliriz. (Çarpım olduğundan)

Buradan x=7 , x+4 = 11 bulunur.

------------------------------------------------

Soru 2

A ve N doğal sayılar olmak üzere
25! = a . 3ⁿ olduğuna göre , n en çok kaçtır ?

Çözüm

Soruda bizden görüldüğü gibi , 25! içerisindeki 3 çarpanı sayısı isteniyor.

25/3 = 8
8/3 = 2
+______
10 tane 3 çarpanı vardır o halde n en fazla 10 olur.

------------------------------------------------

Soru 3

(62!-1) sayısının sondan kaç basamağı 9'dır ?

Çözüm

62! = ....000 şeklinde bir sayıdır.Biz bu sayıdaki 0lardan 1 leri çıkartırsak kaçtane 9 olduğunu buluruz.

O halde 62! içerisindeki 0 sayısına bakmamız yeterli olacaktır.

62/5 = 12
12/5 = 2
+__
14
62!'in sonunda 14 tane 0 olduğundan , 62!-1 ifademizin sonunda 14 tane 1 vardır.

------------------------------------------------

Soru 4

43!+44! sayısının sondan kaç basamağı 0'dır ?

Çözüm

Bu şekilde bir şey bulamiyacağımızdan , ortak çarpan parantezine alalım.

43!(1+44) = 43!.45 şeklinde yazabiliriz.

Bundan sonra , çarpanların içerisindeki 5 sayısına bakacağız.(Az olan çarpan 5 olduğundan)


------------------------------------------------

Soru 5

0! + 2! + 4! .... + 52! toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır ?

Çözüm

0! = 1 , 2! = 2 , 4! = 24 , 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720'dir ve 6! , 9 ile tam bölünür.6! 'den sonra gelecek her sayı içerisinde 9 çarpanını bulunduracağından onlar da 9 ile tam bölüneceklerdir o halde 6!'den önceki çarpanlarımız 9 ile tam bölünüyormu , bölünmüyor mu ona bakalım.
0! = 1 , 2! = 2 , 4! = 24 çarpanlarımız bunlar , toplamları da 1+2+24 = 27 bulunur ve 27 sayısı 9 ile tam bölünür.

O halde bu ifade 9 ile tam bölünür.

------------------------------------------------
Soru 6

26! sayısı 4 tabanında yazılırsa sondan kaç basamağı 0 olur ?

Çözüm

Örneğin 2 tabanında yazılabilecek sayılarımız 0 ve 1'dir eğer 2 'yi yazarsak , artık bu 0 olarak yazılacaktır.O halde 4 tabanında kaç tane 0 olduğunu bulmak için 26! içerisindeki 4 çarpanı sayısına bakalım.

İlk önce 2 çarpanı sayısına bakalım.
26/2 = 13
13/2 = 6
6/2 = 3
3/2 = 1
+_______
23 tane 2 çarpanı vardır.Bunu şöyle belirtelim ,
26! = x.2²³ , bu 2lerden 4'ü bulmaya çalışacağız.
26! = x.2²².2¹ şeklinde yazalım.
26! = x.4¹¹.2¹ şeklinde yazabiliriz , görüldüğü gibi 11 tane 4 çarpanı bulunur.

------------------------------------------------
Soru 7

14! = 2ⁿ.A eşitliğinde A çift tam sayı olduğuna göre n en fazla kaçtır ?

Çözüm

14! içerisinde en fazla 2 çarpanı bulunur.
14! içerisindeki 2 çarpanı sayısına bakalım.
14/2 = 7
7/2 = 3
3/2 = 1
+_________
11 tane 2 çarpanı vardır.

14! = 2¹¹.A , A çift olduğundan en az 2 olabilir şu şekilde yazalım.
14! = 2¹⁰.2

------------------------------------------------