Merkezcil Kuvvetin Bağlı Olduğu Değişkenler

Düzgün çembersel harekette, hareket eden cismin çizgisel süratinin sabit olduğunu ama çizgisel hızının sürekli değiştiğini, çünkü yönünün değiştiğini biliyoruz. (Sürat ve hız arasındaki farkı hatırlamak isteyebilirsiniz.) Hız vektörünün zamana göre değişimine ivme dendiğini de biliyoruz. Düzgün çembersel harekette ivme vektörünün yönünün her zaman, hareketin yörüngesi olan çemberin merkezine doğru olduğu ve cismin çizgisel hızına daima dik olduğu çıkarımını da yaptık, buna merkezcil ivme dedik. Şimdi, merkezcil ivmeye neden olan kuvveti, merkezcil kuvvet nedir sorusunu inceleyeceğiz. Newton’un Hareket Yasalarının ikincisi bize eğer ivme varsa net kuvvet var diyor. Net kuvvetin yönünün de her zaman ivme vektörüyle aynı yönde olduğunu söylüyor. Bu arada başlıkta var, ama aslında gerçek bir kuvvet olmayan bir de merkezkaç kuvveti kavramı var, bunu da inceleyeceğiz.

Merkezcil kuvvet nedir? Nelere bağlıdır? Formülü nasıldır?

Merkezcil kuvveti anlamak için kuvvet ve hareket arasındaki ilişkiyi tekrar incelememiz gerekiyor. Hareketin gizemini çözen Newton’un hareket kanunlarını hatırlayalım:

1. Bir cismin hareket etmesi için üzerinde net kuvvet olması gerekmez. Net kuvvet sıfırken de bir cisim sabit hızla (yönü ve şiddeti değişmeden) yani ivmesiz olarak hareket edebilir. Öyleyse bir cismin doğal hareketi, yani üzerindeki net kuvvet sıfırken hareketi, düz bir çizgi boyunca sabit hızla ilerlemektir.
2. Bir cismin üzerinde net kuvvet varsa (sıfırdan farklıysa) mutlaka ama mutlaka ivmelenir, yani hızı zamana göre değişir. Hız değişimi şiddetinin değişimi (hızlanması ya da yavaşlaması) olabileceği gibi, yönünün değişmesi de olabilir. Eğer bir cisim ivmeli hareket yapıyorsa, ivmeye sebep olan bir kuvvet olmak zorundadır. Yoksa ivmelenemez. \vec{F} = m\vec{a} bu demektir.

Düzgün dairesel hareket yapan bir cismin ivmelendiğini biliyoruz, çünkü hızının şiddeti (sürati) değişmese de yönü sürekli değişiyor. İvmenin yönü merkeze doğru olduğuna göre, ivmeyle aynı yönde bir net kuvvet olmak zorunda. Olmasa cisim çembersel bir yörünge izleyemez, bir doğru üzerinde ilerler. Eğer bir şey düzgün çembersel hareket yapıyorsa, cismi merkeze doğru iten ya da çeken bir kuvvet olmak zorundadır, yoksa çembersel hareket yapamaz.

Aşağıdaki resimde bir hulahopun (kasnak) içinde çembersel hareket yapan bir top görünüyor. Topun çembersel yörüngede hareketine devam edebimesinin nedeni hulahopun duvarının topu sürekli içeriye doğru itmesi. Hulahopu kaldırdığımız zaman top dönmeyi bırakıyor, çünkü topun yönünü değiştirecek, merkeze itecek bir kuvvet kalmıyor. En son hızının yönünde düz bir çizgi üzerinde hareket etmeye başlıyor, düzgün doğrusal hareket yapıyor ve kutuya çarpıyor.

Aşağıdaki resimde de bir kız bir ipin ucuna bağladığı anahtarı başının üstünde çeviriyor. Anahtarın düzgün çembersel hareket yapabilmesinin nedeni ipin anahtarı sürekli merkeze doğru çekiyor olması. Kız ipi bırakırsa veya ip koparsa, anahtar hızının en son yönünde düz bir doğru üstünde hareket ediyor.

Merkezcil ivmenin sebebi olan merkezcil kuvveti bulmamız için Newton’un ikinci hareket yasasını yazmamız yeterli. Merkezcil kuvvetin formülü:

\vec{F}_{merkezcil} = m \vec{a}_{merkezcil}\vec{a}_{merkezcil} = \frac{v^2}{r}\vec{F}_{merkezcil} = m \frac{v^2}{r}

m cismin kütlesini, v çizgisel süratini (çizgisel hızının büyüklüğünü), r çemberin yarıçapını gösteriyor.

Yani merkezcil kuvvet cismin kütlesiyle doğru orantılı, çizgisel süratinin karesiyle doğru orantılı ve dönme yarıçapıyla ters orantılıdır.

Merkezcil kuvveti bir de açısal hız cinsinden yazalım:

v=\omega r\vec{F}_{merkezcil} = m \frac{v^2}{r}\vec{F}_{merkezcil} = m\frac{w^2r^2}{r} = mr\omega^2

Biraz daha oynayabiliriz, frekans ve periyot cinsinden merkezcil kuvveti yazabiliriz:

\omega = 2\pi f = \frac{2 \pi} {T}\vec{F}_{merkezcil} = mr 4 \pi^2f^2 = \frac{mr 4 \pi^2}{T^2}

Son olarak merkezcil kuvvet ifadesindeki merkezcil kelimesi sadece kuvvetin yönü anlamına geliyor, yani kuvvetin yönü çemberin merkezine doğru demek. Ama kuvvetin kaynağı, ip gerilmesi, duvarın itmesi, normal kuvveti, sürtünme, kütle çekimi ya da elektriksel kuvvet olabilir. Size verilen problem durumlarını dikkatlice inceleyerek kuvvetin kaynağı ile yönü arasındaki ilişkiyi kurmanız gerekir.

Merkezkaç kuvveti nedir?

Merkezkaç kuvveti gerçek bir kuvvet değildir. Eylemli gözlem çerçevelerinde hissedilen, ama eylemsiz gözlem çerçevelerinde gözlenmeyen hayalet bir kuvvet olarak tanımlanır. Arabanın içinde virajı dönerken dışa doğru savrulduğunuzu hissedersiniz. Sanki bir kuvvet sizi virajın merkezinden dışarı doğru itiyor gibidir. Ama aslında arabanın dışarısından bakan birine göre öyle bir kuvvet yoktur. Siz eylemsizlikten dolayı düz bir yol boyunca hareket etmeye meylederken, arabanın koltuğu ya da kapısı, size çemberin merkezine doğru bir kuvvet uygulayarak yönünüzü değiştirir.

Sizin arabanın içinde hissettiğiniz şey, aslında hızlanan bir arabada üzerinizde geriye doğru bir kuvvet, yavaşlayan bir arabada ileri doğru bir kuvvet varmış gibi hissetmenizle aynı şeydir. Bu hayalet kuvvete bazı kitaplar eylemsizlik kuvveti diyor, ama öyle bir kuvvet gerçekte yok. Çünkü ne hızlanan, ne yavaşlayan, ne de virajı dönen bir arabanın içinde net kuvvet sıfır, çünkü hepsi ivmeleniyor. Net kuvvet sıfır değilse ivme var demektir. Eğer eylemsizlik kuvveti ya da merkezkaç kuvveti var olsa, merkezcil kuvveti dengelemesi ve net kuvvetin sıfır olması gerekir. O zaman ivme olmaz. Ama üç durumda da ivme var.

Aşağıdaki resimde bir araba bir topu çekiyor, çektiği için ivmelendiriyor. Topun üstündeki net kuvvet ip gerilmesinden kaynaklanan T = F_ip. Eğer eylemsizlik kuvveti olsaydı, F_ip‘i dengelerdi, net kuvvet sıfır olurdu, ivme olmazdı. Ama ivme var. F_ip = m_topa.

Aşağıdaki resimde de bir iple yatay düzlemde çevirilen, düzgün çembersel hareket yapan bir top görülüyor. Bu topun dönmesinin nedeni iple içeri doğru çekiyor olmamız. Eğer çekmeyi bırakırsak top fırlar gider, düz bir doğru boyunca hareket eder. Çektiğimiz için topun hızını (yönünü) sürekli değiştiriyoruz, yani top ivmeleniyor. Eğer merkezkaç kuvveti olsaydı, ipin kuvvetini dengelerdi ve ivme sıfır olurdu, top dönmezdi. Ama dönüyor. Yani merkezkaç kuvveti diye bir şey yok. Sadece merkezcil kuvvet var.

Çembersel hareket yapan bir cisme etkiyen hareket doğrultusuna dik net kuvvet ortadan kalktığında cisim çembersel hareket yapmaya devam edemez. Çembersel yörüngede hareket eden cisimlere merkezkaç kuvveti etki etmez.

Merkezcil Kuvvet ile ilgili örnek sorular, problemler ve çözümleri

Soru 1: Merkezcil kuvveti hesaplama

Kütlesi 2 kg olan bir cisim yarıçapı 60 cm olan bir çembersel yörüngede düzgün çembersel hareket yapmaktadır. Cisim 4 saniyede 10 turu tamamladığına göre cisme etkiyen merkezcil kuvvet kaç Newtondur? (π = 3 alın.)

Çözüm:

Aradığımız şey merkezcil kuvvet, tanımını yazarak başlayalım:

F_{merkezcil} = m\frac{v^2}{r}

Kütleyi ve yarıçapı biliyoruz, çizgisel hızı bulmamız lazım. Onun için de açısal hızı bulmalıyız:

v=\omega r; \space \omega = 2\pi f

Frekansın tanımını hatırlayalım: Bir saniyede kaç tur atıldığı yanı tur sayısı/geçen süre:

f = \frac{10}{4\space s}=2,5 \space s^{-1}\omega = 2 \pi(2.5 \space s^{-1}) = 15 \space rad/s^{-1}

Artık çizgisel hızı bulmak kolay yerine koyalım:

v = 15 \space \times 0,6 m/s = 9 \space m/s

Şimdi de merkezcil kuvveti hesaplayalım:

F_{merkezcil} = 2\frac{9^2}{0,6} = 270 \space N

Soru 2: Merkezcil kuvvet oranı

Boyutları küçük, kütleleri sırasıyla m ve 2m olan A ve B cisimleri, kütlesi önemsiz ve esnek olmayan bir çubuğun uçlarına şekildeki gibi yapıştırılmıştır. Düzenek düşey O – O’ ekseni etrafında yatay düzlemde serbestçe dönmektedir. A cisminin dönme eksenine uzaklığı r, B cismininki 2r‘dir.

A cismine uygulanan merkezcil kuvvet F ise, B cismine uygulanan merkezcil kuvvet kaç F’dir?

Çözüm:

Önce A cismine uygulanan merkezcil kuvveti hesaplayalım:

F = m\frac{v_A^2}{r}

Sonra bulmak istediğimiz B cismine uygulanan merkezcil kuvveti yazalım:

F_B = 2m\frac{v_B^2}{2r} = m\frac{v_B^2}{r}

Bizden bu ikisinin oranı isteniyor:

\frac{F_B}{F}=\frac{\frac{mv_B^2}{r}}{\frac{mv_A^2}{r}}

Sadeleştirirsek:

\frac{F_B}{F}=\frac{v_B^2}{v_A^2}

Bulmamız gereken oran B cisminin çizgisel süratinin karesinin, A cisminin çizgisel süratinin karesine oranı.

Şimdi bu iki cismin birlikte döndüğünü fark etmeliyiz. İkisi de aynı periyotla dönüyorlar, bir turu aynı sürede tamamlıyorlar. Dolayısıyla açısal hızları da aynı olmak zorunda:

T_A = T_B \space ; \space w = \frac{2\pi}{T} öyleyse:

\omega_A = \omega_B = \omega

Çizgisel sürati açısal hız cinsinden yazabiliriz:

v = \omega rv_A = \omega r \space; \space v_B = \omega (2r)

Şimdi oranı yazalım:

\frac{F_B}{F}=\frac{v_B^2}{v_A^2}= \frac{4\omega^2r^2}{\omega^2r^2}=4

Öyleyse:

F_B = 4F

Merkezcil Kuvvet ile ilgili Simülasyon

Düzgün Çembersel Hareket Simülasyonu – Sanal deney ile merkezcil kuvvetin bağlı olduğu değişkenleri araştırabileceğiniz klasik bir laboratuvar uygulaması var, bir bakmalısınız.

Merkezcil Kuvvet ile ilgili Kavram Yanılgıları

• Sabit süratle çembersel hareket yapan bir cismin ivmesi sıfırdır. (ivme sıfır değildir, hızın yönü değişiyor, dikkatli olun.)
• Çembersel hareket yapan bir cisme etkiyen hareket doğrultusuna dik net kuvvet ortadan kalktığında cisim çembersel hareket yapmaya devam eder. (Çembersel hareket için merkezcil kuvvet şarttır, olmazsa cisim dönemez, düz bir doğru boyunca ilerler.)
• Çembersel yörüngede hareket eden cisimlere merkezkaç kuvveti etki eder. (Merkezkaç kuvveti diye bir şey yok.)

Merkezcil Kuvvet ile ilgili Kazanımlar

2017 – 12.1.1.2. Düzgün çembersel harekette merkezcil kuvvetin bağlı olduğu değişkenleri analiz eder.

• Deney yaparak veya simülasyonlarla merkezcil kuvvetin bağlı olduğu değişkenler arasındaki ilişkinin belirlenmesi sağlanır. Matematiksel model verilir. Matematiksel hesaplamalar yapılır.

Merkezcil Kuvvet ile ilgili MEB ve EBA Testleri

Son soru:

Merkezcil kuvvet düzgün çembersel hareket yapan bir cismin kinetik enerjisini değiştirebilir mi? Yorumlara cevabınızı yazabilirsiniz.