Özalt Küme Formülü
Alt Küme Nedir, Nasıl Bulunur? Öz Alt Kümenin Özellikleri Ve İşareti Nedir, Nasıl Hesaplanır?
Kümeler deyince akıllara, ilkokul sıralarından itibaren neredeyse bütün öğrencilerin öğrendiği matematik dersinde ki kümeler dersi gelir. Kümeler konusunda işlenen ve sınavlarda öğrencilerin tabi tutulduğu alt konulardan olan alt küme, öz alt küme konularının da sınavlarda ve derslerde başarılı olmak adına mutlaka öğrenilmesi gerekir. Alt küme ve özellikleri nelerdir? İşte detaylar...
Alt Küme Ve Özellikleri Nedir?
Matematikte farklı nesnelerin (elemanların) bir araya gelerek oluşturduğu gruba küme denir. Kümelerden birisinin elemanları diğer bir kümenin de elemanları içinde de yer alıyorsa ilk küme diğerinin alt kümesi olmuş olur. Bunu örnekle açıklayalım;
A kümesi: ( 1,3,5,7,9 )
B kümesi: ( 1,3,5,6,7,8,9 )
Örnekte gözüktüğü üzere, A kümesinin elemanları aynı zamanda B kümesinin de birer elemanıdır. Bu durumda A kümesi B kümesinin alt kümesidir. Alt küme özelliklerini ise şöyle sıralayabiliriz;
- Boş küme her kümenin alt kümesidir.
- Her küme kendisinin alt kümesidir.
- A⊂B ve B⊂A durumunda A ve B eşit kümelerdir.
Öz Alt Küme Nedir, Nasıl Bulunur?
Öz alt küme, bir kümenin kendisi dışında sahip olduğu bütün alt kümelerin genel adıdır. Öz alt kümenin bulunabilmesi için var olan formül çok iyi öğrenilmelidir, bu formül 2n-1 formülüdür.
3. Şema Yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.
Bu gösterime Venn şeması ile gösterim denir.
C. EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
A kümesi B kümesine eşit ise A = B,
C kümesi D kümesine denk ise C D
biçiminde gösterilir.
Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir. |
D. BOŞ KÜME
Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
Boş küme { } ya da 
sembolleri ile gösterilir.
{ |
E. ALT KÜME – ÖZ ALT KÜME
1. Alt Küme
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise 
biçiminde gösterilir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. 
biçiminde gösterilir.
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse 
biçiminde gösterilir.
2. Özalt Küme
Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.
3. Alt Kümenin Özelikleri
| Ü | Elemanları arasında a bulunan n elemanlı bir kümenin, • alt kümelerinden 2n–1 tanesinde a bulunmaz. • alt kümelerinden 2n–1 tanesinde a bulunur. |
n elemanlı bir kümenin r tane (n ³ r) elemanlı alt kümelerinin sayısı,
|
dir.n elemanlı bir kümenin 0 elemanlı (boş küme) ve n elemanlı alt kümeleri sayısı 1 dir.
|
n elemanlı bir kümenin 1 elemanlı ve n – 1 elemanlı alt kümeleri sayısı n dir.
|
n elemanlı bir kümenin; x elemanlı alt kümeleri sayısı, y elemanlı alt kümeleri sayısına eşit ise, x = y veya n = x + y dir.
|
n elemanlı bir kümenin bütün alt kümeleri sayısı 2n olduğu için,
|
F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER
1. Kümelerin Birleşimi
A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.
A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir.
 | F Ì E ise, E È F = E dir. E É F ise, E È F = E dir. |
2. Birleşim işleminin Özelikleri
a) A È Æ = A
b) A È A = A
c) A È B = B È A
d) A È (B È C) = (A È B) È C
e) A Ì B ise, A È B = B
f) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.
3. Kümelerin Kesişimi
A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.
G. EVRENSEL KÜME
Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.
 |
H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ
Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve 
ya da A’ ile gösterilir.
Tümleyen’in Özelikleri
I. KUVVET KÜMESİ
Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.
s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir.
J. İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.
Farkla ilgili Özelikler
A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,
K. ELEMAN SAYISI
A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,
 | şemadaki a, b, c, d bulundukları bölgelerin (kümelerin) eleman sayılarını göstermektedir. |
Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:
= a + b + c
Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:
s(T – V) + s(V – T) = a + c
Sadece tenis oynayanların sayısı:
s(T – V) = a
Tenis oynamayanların sayısı:
s(T’) = c + d
Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:
= a + b + c
Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:
Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:
Bir apartmanda A gazetesini alan herkes B gazetesini almaktadır. B gazetesini alanlardan C gazetesini alan yoktur.
|
