Parçalı Fonksiyonlarda Limit
kaynağı değiştir]
M ve N, sırasıyla A ve Bmetrik uzaylarınınalt kümeleri olsun ve f : M → N, M ile N arasında tanımlansın, x ∈ M için p, M nin bir limit noktasıdır ve L ∈ N olur. "x, p ye yaklaşırken f nin limiti L dir" denir. ve şöyle yazılır:
Eğer aşağıdaki özellik sağlanırsa:
- Her ε > 0 için, bir δ > 0 vardır. 0 < dA(x, p) < δ oluyorsa, dB(f(x), L) < ε olur.
Topolojik uzaydaki fonksiyonlar[değiştir kaynağı değiştir]
Eğer bir f fonksiyonu reel değerli ise, f nin p noktasında ancak ve ancak hem sağ limit hem de sol limit varsa ve L ye eşit ise, f nin p noktasındaki limiti L dir. f fonksiyonu, p noktasında sürekli ise ancak ve ancak x, p ye yaklaşırken f(x)in limiti vardır ve f(p) ye eşittir. Eğer f : M → N, M ve N metrik uzaylarında bir fonksiyon ise, M deki her dizi için f dönüşümlerine eşdeğerdir.
Eğer f reel değerli (veya karmaşık değerli) bir fonksiyon ise, limiti temel aritmetik işlemlerine göre alınır. Bu limit alma işlemi cebirsel limit teoremi olarak adlandırılır.
Yukarıdaki her bir eşitlikte sağdaki limit yoksa veya son eşitlikte, hem pay hem de paydanın limitler sıfırsa, soldaki limite yine de belirsiz form denir. Bu belirsizlik f ve g fonksiyonlarının durumuna bağlıdır. Bu kurallar tek taraflı limitlerde de geçerlidir. p = ±∞ ve sonsuz limitler için, aşağıdaki kurallar geçerlidir.
- q + ∞ = ∞ for q ≠ −∞
- q × ∞ = ∞ if q > 0
- q × ∞ = −∞ if q < 0
- q / ∞ = 0 if q ≠ ± ∞
q / 0 durumu için genel kural olmadığına dikkat edin. Örneğin, 0/0, 0×∞, ∞−∞, ve ∞/∞ belirsiz formları bu kurallarda da geçerlidir.