Polinomlar 10 Sınıf Konu Anlatımı

Şeklinde katsayıların gerçek sayı, üslerin ise doğal sayı olduğu ifadelere bir değişkenli polinom denir.

Örnek:

Çünkü x’in üssü doğal sayı olmalıdır.

Örnek:

Çözüm:

Polinomun Özellikleri

Polinomunun katsayıları

Polinomun terimleri

Kuvveti en büyük olan x’in derecesi, polinomun derecesidir ve der[P(x)] ile gösterilir. Bu x’in katsayısı da polinomun başkatsayısıdır.

 ise polinomun sabit terimidir.

Örnek:

Polinomunun katsayıları:   3, -2, 1, 5, 1  dir.

Polinomunun derecesi:  4 tür.

Polinomun Baş Katsayısı: 3 tür.

Sabit Terimi: 1 dir.

Tek dereceli terimlerin katsayıları: -2, 5 tir.

Çift dereceli terimlerin katsayıları: 3, 1, 1 dir.

Not: x=0 yazılarak polinomun sabit terimi,

x=1 yazılarak, polinomun katsayılar toplamı bulunur.

P(x) in sabit terimi P(0), katsayılar toplamı da P(1) dir.

Örnek:

Polinomunun sabit terimi

Kat sayılar toplamı

Örnek:

Çözüm:

Not: Polinomun çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı

Polinomun tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı ise

Örnek:

Not: Polinomdaki değişkenlerin katsayıları 0 ise bu bir sabit polinomdur. Örnek: P(x)=5

Sabit polinomun derecesi 0 dır.

Sabit polinomun sabit değeri 0 ise bu bir sıfır polinomudur. P(x)=0 dır.

Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek:

Çözüm:

Not: P(x)=Q(x) ise bu iki polinomun derecesi eşittir ve aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir.

Örnek:

Çözüm:

Polinomlarda Toplama Çıkarma

Polinomlarda toplama çıkarma yapılırken, aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.

Örnek:

Not: Dereceleri farklı olan iki polinomun toplamının veya farkının derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir.

Örnek:

Çözüm:

Polinomlarda Çarpma İşlemi

P(x) ile Q(x) çarpılırken, P(x)’in bütün terimleri Q(x) in bütün terimleri ile çarpılır. Ortaya çıkan terimlerin toplamı, çarpımın sonucunu verir.

Örnek:

Çözüm:

Polinomların Dereceleri ile İlgili İşlemler

der[P(x)]=a, der[Q(x)]=b ve a>b olsun.

Örnek:

Çözüm:

Polinomlarda Bölme

Örnek:

Çözüm:

Örnek:

Çözüm:

Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

Örnek:

Çözüm:

Örnek:

Çözüm:

Örnek:

Çözüm:

Örnek:

Çözüm:

Örnek:

Çözüm:

Not: P(a)=0 yapan a değerine polinomun sıfırı denir. Buna dayanarak, P(x) in içinde     (x-a) çarpanı vardır, diyebiliriz.

Örnek:

Çözüm:

Örnek:

Çözüm:

Örnek:

Çözüm:

Polinomlar Konusu Konu Anlatım

Polinomlar konusu matematik için önemli bir konudur. Bu ders notunda polinomlar üzerinde duracağız ve nedir ne değildir öğrenmeye çalışacağız.

n doğal sayı a0, a1, a2, .... , an gerçel sayılar ve x değişken olmak üzere,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + anxn şeklinde tanımlanan ifadelere gerçel katsayılı bir bilinmeyenli polinom denir.

• P(x) polinomunda a0, a1, a2, .... , an gerçel sayılarına polinom katsayıları denir.
• P(x) polinomunda a0 + a1x + a2x2 + .... + anxn ifadelerine polinom terimleri denir.
• P(x) polinomunda derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinom baş katsayısı denir.
• P(x) polinomunda x in en büyük kuvveti olan doğal sayıya P(x) polinomunun derecesi denir ve der (P(x)) ile gösterilir.
• Tüm katsayıları sıfır olan polinoma sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

• P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + anxn polinomunda a0 ≠ 0, a1 = a2 = ..... = an = 0 ise P(x) polinomuna sabit polinom denir ve P(x) = a0 şeklinde gösterilir.

Sabit polinomun derecesi 0 dır.

İki Değişkenli Polinomlar

Katsayıları reel sayı, x ve y değişkenlerinin kuvvetlerinin kuvvetleri doğal sayı olmak üzere, P(x, y) şeklindeki polinomlara iki değişkenli polinom denir.

Örnek: P(x, y) = 2xy2 - 3x2y3 + 4

olduğuna göre P(1, -1) kaçtır?

Çözüm:

P(x, y) = 2xy2 - 3x2y3 + 4

P(1, -1) = 2.1.(-1)2 - 3.12.(-1)3 + 4

= 2 + 3 + 4

= 9

Örnek: P(x, y) = x4y3 - 2x5 + y6 -3x5y4

olduğuna göre P(x, y) polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm: P(x, y) polinomunun derecesi a.xn.yn terimindeki n + m toplamının en büyük olanıdır.

3x5.y4 teriminde 5 + 4 = 9 toplamı en büyük olduğundan polinomun derecesi 9 dur.

İki Polinomun Eşitliği

İki polinomun eşit olabilmesi için dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları da aynı olmalıdır.

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ..... + anxn

Q(x) = b0 + b1x + b2x2 + ..... + bnxn

polinomlarında P(x) = Q(x) olabilmesi için

a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, an = bn

olmalıdır.

Örnek:

(a - 1)x3 + 4x2 + c + 2 = 3x3 + (b - 1)x2 + (2 - d)x

olduğuna göre a + b + c + d toplamı kaçtır?

Çözüm:

Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.

Yani;

a -1 = 3, b - 1 = 4, 2 - d = 0, c + 2 = 0

a = 4, b = 5, d = 2, c = -2

O halde, a + b + c + d = 4 + 5 - 2 + 2 = 9

Örnek:

P(x) = (2x - 3)(x + a)

Q(x) = 2x2 - x + b

P(x) = Q(x) olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?

Çözüm:

P(x) = Q(x)

(2x - 3)(x + a) = 2x2 - x + b

2x2 + x(2a - 3) - 3a = 2x2 - x +b

Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.

2a - 3 = -1 , b = -3a

a = 1 b = -3

O halde; a.b = 1.(-3) = -3 tür.

Örnek:

P(x) = x2 + nx - 5

Q(x) = 9x + m

P(3x - 1) = Q(x2 - x)

olduğuna göre m - 2n farkı kaçtır ?

Çözüm:

P(3x - 1) = Q(x2 - x) eşitliğinde x yerine 1 yazalım

P(2) = Q(0)

22 + 2n - 5 = 9.0 +m

m - 2n = -1

Polinomlarda Toplama ve Çıkarma İşlemi

İki polinom arasında toplama veya çıkarma işlemi yapılırken, aynı dereceden terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır.

a.xn + b.xn = (a + b).xn

a.xn - b.xn = (a - b).xn

Örnek:

P(x) = x3 - 3x2 + 5x + 1

Q(x) = x2 + 4x + 4

olduğuna göre P(x) - Q(x) fark polinomu aşağıdakilerden hangisidir ?

A) x3 + 4x2 - 5x + 1 B) x3 + x2 - x -3 C) x3 + 4x2 - x +5

D) x3 - 4x2 + x -5 E) x3 - 4x2 + x -1

Çözüm:

P(x) - Q(x) = (x3 - 3x2 + 5x - 1) - (x2 + 4x + 4)

= x3 - 3x2 + 5x - 1 - x2 - 4x - 4

= x3 - 4x2 + x + 5 (Cevap : D)

Örnek:

P(x) + P(x + 2) = 4x + 2

olduğuna göre P(-2) kaçtır ?

Çözüm:

I. dereceden iki polinomun toplamı birinci dereceden bir polinom olduğuna göre P(x) = ax + b olmalıdır.

P(x) + P(x + 2) = 4x + 2

ax + b + a(x + 2) + b = 4x + 2

ax + b + ax + 2a + b = 4x + 2

2ax + 2a + 2b = 4x + 2

İki polinomun eşitliğinden ,

2a = 4 ve 2a + 2b = 2

a =2 4 + 2b = 2

b = -1

Buna göre; P(x) = ax + b = 2x - 1 dir.

x = -2 için P(-2) = 2.(-2) - 1

= -5 tir.

Polinomlarda Çarpma işlemi

P(x) ve Q(x) polinomları çarpılırken I. polinomun her bir terimi II. polinomun her bir terimi ayrı ayrı çarpılarak toplanır.

Örnek:

P(x) = x3 - 4x + 1

Q(x) = x2 + x

H(x) = P(x).Q(x)

olduğuna göre H(1) değeri kaça eşittir ?

Çözüm:

I. Yol:

H(1) = P(1). Q(1) olduğuna göre

P(1) = 13 - 4.1 + 1 = -2

Q(1) = 12 + 1 = 2

H(1) = P(1). Q(1) = 2.(-2) = -4 tür.

II. Yol:

H(x)= P(x). Q(x)

H(x) = (x3 - 4x +1). (x2 + x)

H(x) = x5 + x4 - 4x3 - 4x2 + x2 + x

H(x) = x5 + x4 - 4x3 - 3x2 + x

H(1) = 15 + 14 - 4.13 - 3.12 + 1

H(1) = 1 + 1 - 4 - 3 + 1 = -4 tür.

Uyarı: Çarpım polinomunun derecesi, çarpanların dereceleri toplamına eşittir. der(P(X).Q(x)) = der(P(x)) + der(Q(x))

Örnek:

P(x) = 2x3 - 3x + 1

Q(x) = x4 - 5x2 + 3

olduğuna göre, [P(x2)].[Q(x3)]2 çarpım polinomunun derecesi kaçtır ?

Çözüm:

Bir polinomun derecesi bulunurken en büyük dereceli terimler alınarak işlem yapılır.

P(x) polinomunun derecesi 3 olduğundan P(x) = x3

Q(x) polinomunun derecesi 4 olduğundan Q(x) = x4

alınabilir.

O halde; P(x2).[Q(x3)]2 = (x2)3.[(x4)3]2

= x6.x24

= x30

olduğuna göre bu polinomun derecesi 30 dur.

Örnek:

ax3 + bx2 + cx + d = (x - 3).(x2 + 2x - 1)

olduğuna göre, b - c - a + d ifadesinin değeri kaçtır ?

Çözüm:

ax3 + bx2 + cx + d = (x - 3).(x2 + 2x + 1)

eşitliğinde x = -1 yazalım.

-a + b - c + d = (-1 -3).(1 -2 -1)

b - c - a + d = (-4).(-2)

= 8 dir.

Uyarı: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 polinomunda

• x = 1 yazılarak katsayılar toplamı bulunur. P(1) = a0 + a1 + a2 + a3 + a4
• x = 0 yazılarak sabit terim bulunur. P(0) = a0
• P(x) in çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı: [P(1) + P(-1)] / 2
• P(x) in tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı: [P(1) - P(-1)] / 2

• Örnek:

  P(x) = 2x3 - x2 + 2x -5

  olduğuna göre, P(x - 2) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır ?

  Çözüm:

  P(x - 2) polinomunun katsayılar toplamı sorulduğundan x = 1 değerini bu polinomda yerine yazalım.

  x = 1 için P(1 - 2) = P(-1) in değerini bulmalıyız.

  P(x) = 2x3 - x2 + 2x - 5 ifadesinde P(-1) i bulmak için x = -1 yazalım.

  x = -1 için P(-1) = 2.(-1)3 - (-1)2 + 2(-1) - 5

  = -10

Polinomlarda Bölme İşlemi

Polinomlarda bölme işlemi ile ilgili birçok soru gelmektedir. Özellikle kalan bulma soruları polinomlar konusundan en çok soru gelen yerdir.

der(P(x)) ≥ der(Q(x)) ve Q(x) ≠ 0 olmak üzere, P(x) polinomunun Q(x) ile bölümünde bölüm B(x), kalan K(x) olsun.

• P(x) = Q(x).B(x) + K(x)
• der(K(x)) < der(Q(x))
• K(x) = 0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.

• Örnek:

  P(x) = 3x3 - 2x2 + 5

  polinomunun (x - 1) ile bölümünden kalan kaçtır ?

  Çözüm:

  P(x) polinomunun (x - 1) ile bölümünden bölüm B(x), kalan K ise

  3x3 - 2x2 + 5 = (x - 1).B(x) + K

  x = 1 için 3.13 - 2.12 + 5 = (1 - 1).B(1) + K

  3 - 2 + 5 = K

  K = 6 dır.

  Örnek:

  P(x) = x2 + x + n

  polinomunun (x + 3) ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre, n kaçtır ?

  Çözüm:

  P(x) polinomunun (x + 3) ile bölümünden kalan 5 ise P(-3) = 5 tir.

  x = -3 için P(-3) = (-3)2 + (-3) + n

  5 = 6 + n

  n = -1

• P(x) polinomunun (x - m) ile bölümünden kalan K ise, P(m) = K dır.
• P(m) = 0 ise (x - m) ifadesi P(x) polinomunun bir çarpanıdır.
• Polinomlarda kalan sorulduğunda, bölen sıfıra eşitlenerek bulunan x değeri, bölünen polinomda x yerine yazılır.

• Örnekler:

  • P(x) polinomunun (6x - 3) ile bölümünden kalan 2 ise, P(½ ) = 2 dir.
  • P(x + 3) polinomunun (x - 4) ile bölümünden kalan 4 ise, P(7) = 4 tür.
  • P(4x - 2) polinomunun sabit terimi -5 ise, P(-2) = -5 tir. (Sabit terim için x yerine 0 yazılır).
  • P(5x - 3) polinomunun katsayılar toplamı 6 ise, P(2) = 6 dır. (Katsayılar toplamı için x yerine 1 yazılır.)
  • (x - 3).P(x) + x3.Q(x) polinomunun x - 1 ile bölümünden kalan 8 ise, (1 - 3).P(1) + 1.Q(1) = 8 ve -2.P(1) + Q(1) = 8 dir.

  Örnek:

  P(x - 2) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan 3, Q(x + 2) polinomunun (x - 1) ile bölümünden kalan 5 tir.

  Buna göre, P(x - 6) + Q(x) polinomunun (x - 3) ile bölümünden kalan kaçtır ?

  Çözüm:

  P(x - 2) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan 3 ise, P(-3) = 3 tür.

  Q(x + 2) polinomunun (x - 1) ile bölümünden kalan,

  P(3 - 6) + Q(3) = P(-3) + Q(3)

  = 3 + 5= 8 dir.

  Dikkat: Bölen çarpanlarına ayrılmıyor veya çarpanları köklü ifadelerden oluşuyorsa kalanını bulmak için, bölen polinom sıfıra eşitlenir ve x in en büyük dereceli terimi yalnız bırakıldıktan sonra bölünen polinomda yerine yazılır.

  Örnek:

  P(x) = x3 - x2 - 2x - 1

  polinomunun (x2 - x + 2) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir ?

  A) 2x - 1 B) -4x - 1 C) 4x + 1 D) x + 4 E) x - 4

  Çözüm:

  P(x) polinomunun (x2 - x + 2) ile bölümünden kalan bulmak için ( x2 - x + 2 = 0 ise x2 = x - 2 olduğundan ) P(x) polinomunda x2 yerine (x - 2) yazalım.

  P(x) = x2.x - x2 - 2x - 1

Polinomlar ile İlgili Makalelerimiz

Polinomların Tanımı ve Anlamı

Serüven bagıntı ile baslamıstı. Bagıntıyı anlattıktan ve sizler anladıktan sonra(!), su şu özellikleri saglayan bağıntılara fonksiyon denir’’ demis ve fonksiyonları anlatmıstık. Simdi de şu şu özellikleri saglayan fonksiyonlara polinom denir’’ diyecegiz ve polinomu tanımaya baslayacagız. Anlayacagınız her polinom bir fonksiyondur ama her fonksiyon bir polinom değildir. Polinom olmayı hak etmek lazım. Nasıl mı? Görecegiz.

Polinomlar Konu Anlatım ve Çözümlü Sorular

Sınıf: 10. Sınıf

KONU BAŞLIĞI: Polinomlar

Makalenin altındaki kaynaklarımızı indirmeyi unutmayın. İyi çalışmalar.

Polinom Sorusu

Bu haftanın sorusu polinomlardan.Bu soruyu çözmeden önce polinom fonsiyonların diğer fonksiyonlardan farkını hatırlayalım.a₀,a₁,a₂,a₃,a₄,...,a_n-1,a_n€R ;n€N olmak üzere,

Matematik deyince akla ilk gelen şey 4 işlemse ikincisi fonksiyonlardır. Fonksiyonlar matematiğin temel yapı taşlarından birisidir. Fonksiyonları anlayıp soruları çözebilen kişi, matematikte asla zorlanmayacaktır. Polinomlar (çok terimliler) ise fonksiyonların özelleşmiş halidir. Belirli sayıda bağımsız değişken ve sabit sayıdan oluşmaktadır. Polinom konu anlatımında dört işlemleri ve pozitif sayıların üssünü alma işlemi anlatılır. Polinomlar matematikte ve tüm bilim alanlarında sıkça görülmektedir. Ekonomi, kimya, fizik ve sosyal bilimlerde problemleri çözmek için kullanılır.

Polinomlar Konu Anlatımı

Polinomlara aynı zamanda çok terimliler denilir. a₀, a₁, a₂, a₃ …, a_n ϵ R ve n ϵ N olmak üzere P(x) = a₀+a₁.x+a₂.x²+a₃.x³+….+a_n.xⁿ biçimindeki ifadelere x değişkenine göre düzenlenmiş reel katsayılı polinom denir. Burada a₀, a₁, a₂, a₃ …, a_n reel sayıları polinomun katsayıları, a₀, a₁.x, a₂.x², a₃.x³,…., a_n.xⁿ ifadeleri polinomun terimleri olarak adlandırılır.

a_n.xⁿ terimindeki a_n sayısına terimin katsayısı, x'in kuvveti olan n sayısına terimin derecesi olarak adlandırılır. Derecesi en büyük olan terimin derecesine polinomun derecesi denir ve der [P(x)] ile gösterilir. Derecesi en büyük olan terimin katsayısı ise polinomun baş katsayısı olarak adlandırılır.

Polinomlar katsayılarına göre isimlendirilir. Katsayılarımız reel sayı ise reel katsayılı polinomlar, rasyonel sayı ise rasyonel katsayılı polinomlar, tam sayı ise tam katsayılı polinom denir.

Sabit Polinom: c ϵ R ve c≠0 ( c, 0 dan farklı bir reel sayı ) olmak üzere P(x) = c biçimindeki polinomlar sabit polinom olarak adlandırılır. Sabit polinomun derecesi 0 dır.

Sıfır Polinomu: P(x) = 0 biçimindeki polinomu sıfır polinomu olarak adlandırılır. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

Polinomlarda İşlemler

Toplama işlemi: İki polinom toplanırken; dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları kendi aralarında toplanır, o terimin kat sayısı olarak yazılır.

Çıkarma işlemi: İki polinom çıkarılırken; dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları kendi aralarında çıkarılır, o terimin katsayısı olarak yazılır.

Çarpma işlemi: İki polinomun çarpımı; birisinin her teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.

Bölme işlemi:

P(x) : Bölünen
Q(x) : Bölen
B(x) : Bölüm
K(x) : Kalan

olmak üzere bölme işleminde;

1. der [ P(x) ] ≥ der [ Q(x)]
2. der [K(x) ] < der="" [="" q(x)="">
3. P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
4. der [ K(x) ] < der="" [b="" (x)="" ]="" ise="" q="" (x="" )="" ile="" b(x)="" in="" yer="" değiştirmesi="" kalanı="">
5. K (x) = 0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tm olarak bölünür. Bu durumda P(x) in çarpanlarından biri Q(x) polinomudur.

10. Sınıf Polinomlar Konu Anlatımı

Polinomlar 10. sınıf konusudur. Fonksiyonları bilen kişiler polinomları çok daha rahat anlayacaktır.

Polinomlar Konu Anlatımı PDF

Polinom konu anlatımlarına internet üzerindeki PDF'lerden daha detaylı olarak ulaşmanız mümkündür.

Polinomlar Çıkmış Sorular