Rasyonel Ifadeler Konu Anlatımı

Q(x) a ≠ 0 olmak üzere P(x) / Q(x) = 0 şeklindeki ifadelere rasyonel denklem denir. Bu denklemin kökleri, bu eşitliği sağlayan reel sayılardır. Bu denklemi çözmek için sadece P(x) = 0 denklemini çözmek yeterlidir.

P(x) / Q(x) = 0 denkleminde P(x) = 0 sağlayan sayılar aynı zamanda Q(x) = 0 yapıyorsa bu sayıları kök kabul edemeyiz. Çünkü Q(x) = 0 için tanımsızlık oluşur.

Bir denklemde eşitliğin her iki tarafınında paydası aynı ise yani; a / c = b / d şeklinde ise a = b diye çözüme gidebiliriz. B(x) ≠ 0 olmak üzere A(x)/B(x) şeklindeki ifadelere rasyonel ifadeler denir. A(x) ve B(x) çarpanlarına ayrılıp ortak çarpanlar sadeleştirilerek A(x) / B(x) rasyonel ifadesinin sadeleşmiş biçimi bulunur.

Örnek: P(x) polinomunun (x - 4) ile bölümünden kalan 8, (x + 2) ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre, P(x) polinomunun (x - 4)(x + 2) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2x-4 B) x-4 C) 2x+4 D) x+4 E) 4x+2

Örnek: a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere, P(x) = (2x + a)(3x + b) polinomunun katsayılarının toplamı 21 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 24 B) 19 c) 5 D) 4 E) 1

Örnek: P(x) = x5 - mx3 - 3 olmak üzere, P(x - 2) polinomunun x + 2 ye bölümünden kalan ile P(x + 2) polinomunun x - 2 ye bölümünden kalan birbirine eşittir. Buna göre, m kaçtır?
A) 24 B) 18 c) 17 D) 16 E) 8

Birçok örnek görselle de desteklediğimiz, rasyonel sayılarda üslü ifadeler konu anlatımına uygun olarak hazırladığımız yazımızı sizler için hazırladık. İşte, rasyonel sayılarda üslü ifadeler hakkında tüm detaylar…

Rasyonel Sayılarda Üslü İfadeler

a/b şeklinde gösterilen bir rasyonel sayının kuvveti o sayının kendisiyle olan çarpımını ifade eder ve bu kuvvet hem paya hem de paydaya aittir. Aşağıda vermiş olduğumuz görselde bu açıklamanın örneğini bulabilirsiniz.

Rasyonel Sayıların Üssü Nasıl Alınır?

Bilindiği gibi matematikte bir sayının kendisiyle olan çarpımının kısa yoldan gösterilmesine üslü sayılar; yapılan bu işleme de bir sayının üssünü alma adı verilmektedir. Peki, rasyonel sayıların üssü nasıl alınır? Aşağıda verdiğimiz örnek görselde bir rasyonel sayının kendisiyle olan çarpımını ve bu işlemin üslü ifade olarak gösterilmesini görebilirsiniz.

Rasyonel Sayılarda Negatif Üs

Bir rasyonel sayının üssü negatif olduğunda; kesirli olan sayının payı ile paydası yer değiştirir ve kuvvet işaret değiştirir. Aşağıdaki örnekte bu tanımın detaylarını bulabilirsiniz.

a ve birer tam sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a bölü b biçiminde ifade edilebilen sayılara rasyone sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Q = {a bölü b: a ve b tam sayı ve b sıfırdan farklı} dır. a bölü rasyonel sayısında a ya pay b ye de payda denir. Payda sıfırdan farklı olmak zorundadır. Aksi durumda tanımsız olur.
Not: Rasyonel sayılar kesir olarak adlandırılırlar. Kesri bir bütünün parçalarından bir kısmını ifade etmek amacıyla kullanırız.

Örnek: 2 satır ve 7 sütundan oluşan şekil 14 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 5 tanesi yeşile boyanmıştır. Yeşil renge boyanmış kısmı gösteren kesir 5 / 14 tür.

Not: Rasyonel sayılarda işlem yaparken kesirleri genelde en sade biçimine getiririz. Diğer bir ifadeyle, pay ve paydayı aralarında asal olacak şekilde yazarız.

Bilgi: Sayı doğrusu üzerinde, pozitif rasyonel sayılar "0" ın sağında, negatif rasyonel sayılar “0" ın solunda yer alırlar. Sayı doğrusu üzerinde; iki sayı arası, kesrin paydasındaki sayı kadar eş parçaya bölünür, bu eş parçalardan, sayı pozitifse sağa doğru, negatifse sola doğru pay kadar sayılır.

Bilgi: Toplama işleminde, paydası eşit olan kesirlerin payları toplamı pay olarak alınır. Ortak payda da payda olarak alınır. Eğer paydalar eşit değilse paydalar eşitlenir. Eşitleme paydaların EKOK unda yapılabilir. Çıkarma işleminde, paydası eşit olan kesirlerin payları farkı pay olarak alınır. Ortak payda da payda olarak alınır. Eğer paydalar eşit değilse paydalar eşitlenir. Eşitleme paydaların EKOK unda yapılabilir.

Soru: Öğretmen sınıfa dikdörtgen şeklindeki özdeş dört beyaz mukawa getirmiştir. Ahmet'ten I. mukavvayı iki eşit alana bölüp birisini maviye boyayarak kesip almasını istemiştir. Mehmet'ten II. mukavvayı dört eşit alana bölüp birini yeşile boyayarak kesip almasını istemiştir. Berra'dan III. mukavvayı sekiz eşit alana bölüp birini pembeye boyayarak kesip almasını istemiştir. Sonra da bu üç öğrenciden kestikleri parçaları üst üste gelmeyecek şekilde IV. mukavvaya yapıştırmalarını istemiştir. Buna göre, IV. mukavvanın kaçta kaçı beyaz renkle kalmıştır?

Bilgi: Rasyonel sayıların dört işlem, parantez, kesir çizgisi vb. bir arada olduğu durumlarında işlem önceliği önemlidir. Parantezin içi ve kesir çizgileri işlem önceliğini gösterir. Çarpma ve bölme işlemleri yapılır. En sonunda toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.

Özel Kız Yurdu ve Erkek Yurdu Fiyatları için Tıklayınız.

A. TANIM

a ve b tam sayı, b ¹ 0 olmak üzere, şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı denir.

•

•

B. KESİR

Bir birimin bölündüğü eşit parçalardan birini veya bir kaçını göstermeye yarıyan sayılara kesir denir.

C. KESİR ÇEŞİTLERİ

1. Basit Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

Aşağıdaki sayı doğrusunda koyu ve kalın çizgi ile gösterilen noktalara karşılık gelen sayılar basit kesirdir.

pozitif basit kesir ise,

2. Bileşik Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.

Aşağıdaki sayı doğrusunda koyu ve kalın çizgi ile gösterilen noktalara karşılık gelen sayılar bileşik kesirdir.

3. Tam Sayılı Kesir

Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

birer tam sayılı kesirdir.

Her bileşik kesir bir tam sayılı kesir biçiminde yazılabilir.

•

•

D. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

1. Genişletme ve Sadeleştirme

kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tam sayısıyla, çarpıldığında veya bölündüğünde kesrin değeri değişmez. Bu işleme kesrin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi denir.

2. Denk Kesirler

kesrinin genişletilmesi veya sadeleştirilmesiyle ye eşit pek çok kesir elde edilebilir. Bu kesirler ye denktir denir. kesri, kesrine denk ise, biçiminde yazılır, “a bölü b kesri c bölü d kesrine denktir” diye okunur.

Her denk kesir aynı zamanda eşittir. Buna göre,

3. Toplama – Çıkarma İşlemi

Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.

•

•

4. Çarpma – Bölme İşlemi

• •

5. İşlem Önceliği

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.

1) Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.

2) Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.

3) Çarpma – bölme yapılır.

4) Toplama – çıkarma yapılır.

E. ONDALIK KESİR

1. Ondalık Kesir

Bir rasyonel sayının payını paydasına böldüğümüzde bu rasyonel sayının ondalık açılımını buluruz. Bu ondalık açılıma ondalık kesir denir.

Burada a ya tam kısım, bcd ye de ondalıklı kısım denir.

2. Devirli (Periyodik) Ondalık Kesir

Bir ondalık kesirde ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık kesir denir.

•

•

•

3. Ondalık Kesirlerde İşlemler

a. Toplama – Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama – çıkarma işleminde olduğu gibi toplama – çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.

b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.

c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak bölme işlemi yapılır.

4. Devirli Ondalık Kesirlerin Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi

Bir devirli ondalık açılımı şeklinde yazarken;

Virgül ve devreden dikkate alınmadan; okunan sayıdan, devretmeyen sayıyı çıkararak paya yazılır.

Paydaya ise virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9 ve sağına devretmeyen basamak sayısı kadar sıfır yazılır.

a, b, c, d, e birer rakam olmak üzere,

Devreden 9 ise bir önceki rakam 1 artırılır.• • • • •

F. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.

1. Yol

Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

2. Yol

Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.

3. Yol

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, pozitif basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.

Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.

a ve n doğal sayı olsun.n sabit iken a büyüdükçe basit kesrinin değeri artar.

a ve n doğal sayı olsun.n sabit iken a büyüdükçe bileşik kesrinin değeri azalır.

G. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR

arasında sayılamıyacak çoklukta rasyonel sayı vardır. Bunlardan bazılarını bulmak için b ile d nin e.k.o.k. u bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan e.k.o.k. da eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir.

Ü	kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,