Sayı Kümeleri Ve Temel Kavramlar Soruları

Sayfanın sonunda Temel kavramlar ders videoları bulunmaktadır.

Matematikte en temel iki kavram rakam ve sayıdır. Bu iki kavram, öğreneceğimiz tüm bilgi ve formüller için bir bakıma yapı taşı niteliğindedir. Rakam ve sayıyı öğrendikten sonra her biri birer küme olan sayıların sınıflandırılmasını öğreneceğiz. Sayıları; sayma sayıları, doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar ve reel (gerçel) sayılar şeklinde sınıflandıracağız.

RAKAM VE SAYI

Sayıları ifade etmek için kullanılan sembollere rakam denir. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanları onluk sayma sisteminde birer rakamdır.

• Onluk sayma sisteminde en küçük rakam 0, en büyük rakam 9 dur.

Rakamların bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadelere sayı denir.

Bilgi: Her rakam sayıdır, fakat her sayı rakam değildir.

Örnek.. 2

• 0, hem bir rakam hem de bir sayıdır.
• 5, hem bir rakam hem de bir sayıdır.
• 13, bir sayıdır, fakat onluk sayma sisteminde bir rakam değildir.
• , bir sayıdır.

Örnek .. 3

a ve b birer rakam olmak üzere,
a + b = 7
olduğuna göre, a &#; b farkı en çok kaçtır?

A) 1    B) 2    C) 4    D) 7    E) 8

Çözüm: a &#; b farkı en çok olacağına göre, a en büyük ve b en küçük değerini almalıdır.
a + b = 7  toplamında;
a nın en büyük değeri 7, b nin en küçük değeri 0 dır.
Buna göre, a &#; b = 7 &#; 0 = 7 olur.
Cevap D

Örnek .. 4

a, b ve c sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere,
a = 2b ve b = 3c
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

Çözüm: a, b ve c sıfırdan farklı birer rakamdır.
c = 3 ise b = 9 ve a = 18 olur. Bu durumda, a rakam olmaz.
c = 2 ise b = 6 ve a = 12 dir. Bu durumda, a yine rakam olmaz.
c = 1 ise b = 3 ve a = 6 dır.
Öyleyse, a + b + c = 6 + 3 + 1 = 10 olur.

SAYILARIN SINIFLANDIRILMASI

Sayıları; sayma sayıları, doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar ve reel (gerçel) sayılar olarak sınıflara ayırabiliriz.

Sayma Sayıları

Nesnelerin adedini saymak için kullandığımız sayılara sayma sayıları denir. Sayma sayıları kümesi N⁺ ile gösterilir.
N⁺ = (1, 2, 3, 4, &#;} kümesinin elemanları sayma sayılarıdır.

Doğal Sayılar

{0, 1, 2, 3, 4, &#;} kümesine doğal sayılar kümesi denir ve N ile gösterilir.
N = {0, 1, 2, 3, 4, &#;} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.

Bilgi: Doğal sayılar kümesinin en küçük elemanı 0 dır. Doğal sayılar kümesinin en büyük elemanı bilinemez.

Tam Sayılar

Doğal sayılar kümesine 0 dan farklı doğal sayıların negatiflerinin eklenmesi ile elde edilen küme tam sayılar kümesidir.

Z = {&#;, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, &#;} kümesi tam sayılar kümesidir ve bu kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.

Pozitif Tam Sayılar, Negatif Tam Sayılar

Pozitif tam sayılar kümesi Z⁺ = {1, 2, 3, &#;} biçiminde gösterilir.

Negatif tam sayılar kümesi Z^&#; = {&#;, -3, -2, -1) biçiminde gösterilir.

Tam sayılar kümesi
Z = Z⁺ ∪ {0} ∪ Z^&#; şeklinde gösterilir. Öyleyse, tam sayılar kümesi, pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırın birleşiminden oluşur.

Bilgi: Soru çözümlerinde hangi sayı kümesinde işlem yapıldığını bilmek çok önemlidir. Bu durum genellikle sorunun başlangıcında ifade edilir. Örneğin; x, y ve z birer tam sayı olmak üzere, &#; gibi

Tam sayılar kümesinde işlem yaparken aşağıdaki bilgiler büyük önem taşır.

• En büyük negatif tam sayı -1 dir.
• En küçük pozitif tam sayı 1 dir.
• 0 (sıfır) hem doğal sayı hem de tam sayıdır.
• 0 (sıfır) pozitif veya negatif değildir. Yani, işaretsizdir.

Bilgi: Bir değişkenin diğer bir değişken türünden ifade edilebilmesi problem çözümlerinde kolaylık sağlar. Bir denklemde, değişkenin değerlerinin birer birer yazılıp diğerinin bulunması yorucu olabilir ve uzun süre alabilir.

Tam Sayılarda İşlemler

Tam Sayılarda İşlem Önceliği

Tam sayılarda dört işlemden bir kısmı birlikte verildiğinde öncelikli olarak aşağıdaki sıralamayı takip edebiliriz:

• Parantezler
• Çarpma ya da bölme
• Toplama ya da çıkarma

Rasyonel Sayılar

İrrasyonel Sayılar

Reel (Gerçek) Sayılar

Örnek .. 13

I. Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesi ayrık kümelerdir.
II. İki irrasyonel sayının çarpımı bir irrasyonel sayıdır.
III. Bir pozitif ve bir negatif reel sayının toplamı pozitif olamaz.
IV. Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.
ifadelerden kaç tanesi daima doğrudur?
A) 0    B) 1    C) 2    D) 3    E) 4

Çözüm: Ayrık kümelerin ortak elemanı yoktur.
I. ve IV. ifadeleri daima doğrudur.
II. ve III. ifadeleri doğru olmayabilir.
II. ifadenin yanlışlığı göstermek için = 2 alabiliriz.
III. ifadenin yanlışlığı göstermek için 7 + (-3) = 4 alabiliriz. Cevap C

Bilgi: Bir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayı denir.
Örneğin; 0, 1, 4, 9, 16, 25 birer tam karedir.  (-3)² = 3² = 9 dur.

Çift Sayı, Tek Sayı

2 ile tam bölünebilen tam sayılara çift sayılar, tam bölünemeyen tam sayılara tek sayılar denir.

Örnek .. 16
-6, -2, 0, 2, 4, 8, 12, 24, birer çift sayı;
-9, -3, 1, 7, 11 ,45, 87 birer tek sayıdır.

• Tek sayı ve çift sayı sadece tam sayılarda geçerlidir.
• 0 çift sayıdır.
• Negatif sayılarda da tek sayı ya da çift sayı kavramı vardır.

Pozitif Sayı, Negatif Sayı

Ardışık Sayılar

Ardışık Sayıların Sonlu Toplamları

Asal Sayılar

1 ve kendisinden başka pozitif bölenleri olmayan 1 den büyük doğal sayıya asal sayı denir.
2 nin pozitif bölenleri 1 ve 2 olduğundan 2 asal sayıdır.
4 ün pozitif bölenleri 1, 2 ve 4 olduğundan 4 asal sayı değildir.

Asal sayılar kümesinin bazı elemanları aşağıda verilmiştir.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ,

• 1 asal sayı değildir. En küçük asal sayı 2 dir.
• Çift asal sayı sadece 2 dir. 2 dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır.

Sonraki Konu:BASAMAK KAVRAMI

TEMEL KAVRAMLAR SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

Benim Hocam: İlyas Güneş Temel Kavramlar 1

Benim Hocam: İlyas Güneş Temel Kavramlar 1

Şenol Hoca: Temel Kavramlar 1

Şenol Hoca: Temel Kavramlar 2

A: SAYI

Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

B. SAYI KÜMELERİ

1. Sayma Sayıları: {1, 2, 3,  … , n , …} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.

2. Doğal Sayılar: {0, 1, 2, 3, … , n , …} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.  şeklinde gösterilir.

• Pozitif Doğal Sayılar= {1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına pozitif doğal sayı denir. şeklinde gösterilir.

3. Tam Sayılar: {… , – n , … – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, … , n , …} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.  Şeklinde gösterilir.

Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi :  şeklinde, pozitif tam sayılar kümesi :  şeklinde gösterilir ve sıfırı eleman kabul eden : {0} kümenin birleşim kümesidir.

Buna göre,  dır.

4. Rasyonal Sayılar:a ve b birer tam sayı ve b ¹ 0 olmak koşuluyla biçiminde yazılabilen sayılararasyonel sayılar denir.

Şeklinde gösterilir.

5. İrrasyonel Sayılar: Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayılar monash.pwülden sonra belli bir kurala göre gitmeyen sayılar irrasyonel sayılardır. İrrasyonel sayılar kümesi şeklinde gösterilir.

Buna göre,  kümesinin elemanları  şeklinde gösterilemez.

(a, b Î ve b ¹0)

  sayıları  irrasyonel sayısına birer örnektir.

6. Reel (Gerçel) Sayılar: Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel (gerçel) sayılar kümesi denir.

şeklinde gösterilir.

7. Karmaşık (Kompleks) Sayılar: (Bu konu karmaşık sayılar isimli konuda daha detaylı anlatımı ve konu anlatımlı videosu bulunmaktadır.)

C. SAYI ÇEŞİTLERİ

1. Çift Sayı

 olmak üzere (yani tam sayı) 2n genel ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir.

Ç = {… , –2n , … , –4, –2, 0, 2, 4, … , 2n , …} kümesinin elemanlarının her biri çift sayıdır.

2. Tek Sayı
olmak  üzere 2n + 1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir.

T = {… , –(2n + 1), … , –3, –1, 1, 3, … , (2n + 1), …} kümesinin elemanlarının her biri tek sayıdır.

İki tek sayının farkı çift , toplama çift ve çarpımı tek sayıdır

 K bir tek sayı olmak üzere,

• K + K  sonucu çift sayıdır.
• K – K sonucu çift sayıdır.
• K × K işleminin soncu tek sayıdır.

İki çift sayının toplamı, farkı ve çarpımı çift sayıdır.

Ç bir çift sayı olmak üzere,

• Ç + Ç işleminin sonucu çift
• Ç – Ç işleminin sonucu çift
• Ç × Ç işleminin sonucu çift sayıdır.

Bir tek sayı ile bir çift sayının toplamı ve farkı tek sayı çarpımı çift sayıdır.

T bir tek sayı ve Ç bir çift sayı olmak üzere,

• T + Ç işleminin sonucu tek,
• Ç + T işleminin sonucu tek,
• T – Ç işleminin sonucu tek,
• Ç – T işleminin sonucu tek,
• T × Ç işleminin sonucu çift sayıdır.

• Not 1: Tam sayılar kümesinde bir çarpma işleminin sonucunda sonuç çift ise, çarpma işlemine giren sayılardan en az biri çifttir.Not 2: Tam sayılar kümesinde bir çarpma işleminin sonucunda sonuç tek ise, çarpma işlemine giren sayıların her biri  tek sayıdır.Not 3: Çift sayıların tüm pozitif tam kuvvetleri yine bir çift sayıdır.Çünkü Not:1 deki kural geçerli olur. Buna göre, n pozitif tam sayı ve Ç bir çift sayı olmak üzere, Çn nin sonucu daima çift sayıdır.Not 3:Tek sayıların tüm doğal sayı kuvvetleri yine bir tek sayıdır.Çünkü Not 2 deki kural geçerli olmakdadır. Buna göre, n bir doğal sayı ve T bir tek sayı olmak üzere, Tn nin sonucu daima tek sayıdır Not 4 :Bölme işlemi için yukarıdaki şekilde bir genelleme yapmak yanlış olur.

  Not: Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur. Hem tek aynı zamanda da çift olan bir sayı yoktur. Sıfır (0) çift sayıdır.

• 3. Pozitif Sayılar – Negatif Sayılar
  Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayılara pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayılara negatif sayıdenir.a < b < 0 < c < d  olmak üzere,
  • a ve b negatif sayı
  • c ve d pozitif sayıdır.
  • İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)
  • İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b < 0)
  • Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur.

  

  • Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.
  • Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.
  • Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.
  • Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.
  • Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.
  • Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.
  • 4. Asal Sayı
    Kendisinden ve 1 den başka pozitif tam sayılara tam bölünmeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir.2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sayıları birer asal sayıdır.
    • En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur.
    • Asal sayıların çarpımı asal değildir.

    Not: Asal olmayan, 1 den büyük tam sayılarabileşik sayıdenir.

    5. Aralarında Asal
    Ortak bölenlerinin en büyüğü 1 olan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.

  • a ile b aralarında asal ise, aralarındaki oran en sade biçimdedir.
    

    D. ARDIŞIK SAYILAR

    Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir.

    n bir tam sayı olmak üzere,

    • Ardışık dört tam sayı sırasıyla;

    n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.

    • Ardışık dört çift sayı sırasıyla;

    2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.

    • Ardışık dört tek sayı sırasıyla;

    2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.

    • Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;

    3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.

    Bazı Ardışık Sayıların Toplamı
    n bir sayma sayısı olmak üzere,

    • Ardışık sayma sayılarının toplamı

    Şeklinde formül ortaya çıkar.

  • • Ardışık pozitif çift doğal sayıların toplamı ise

    2 + 4 + 6 + … + (2n) = n(n + 1)

    • Ardışık tek doğal sayıların toplamı

    1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²

    • Artış miktarı eşit olan ardışık tam sayıların toplamı

    Terim sayısı

    Terim Sayı=[(Son Terim – İlk Terim) / Artış Miktarı] + 1

    r : İlk terim

    n : Son terim

    x : Artış miktarı olmak üzere,

    Şeklinde olur.

    Not: Artış miktarı eşit olan ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir.