Türev Daima Artan

türev daima artan

olmak üzere,

002

003

001

fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

002

003

fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

004

f(x) fonksiyonu 0 < x < aralığında pozitif olarak tanımlı ve artan bir fonksiyon olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi aynı aralıkta azalan bir fonksiyondur?

001

002

aralığında pozitif olarak tanımlı ve artan bir fonksiyon olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi aynı aralıkta azalan bir fonksiyondur?

001

002

003

fonksiyonu daima artan olduğuna göre, k nın alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6

001

y = f(x) fonksiyonu (2, 8) aralığında türevli ve artandır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

002

003

Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

001

002

003

Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f(x) fonksiyonunun artan olduğu aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–5,–1) B)(–3,1) C)(–2, 4) D) (0, 5) E) (2, 3)

001

002

Buna göre, f(x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–•,–3) B)(–1,3) C)(–2, –1) D) (0, 3) E) (3, 6)

003

Matematik 2 LYS Konu Anlatımı ve Konu Testine Geri Dön

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Artan Fonksiyon

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri de sürekli artıyorsa ya da sabit kalıyorsa (yani azalmıyorsa) fonksiyon bu aralıkta artan ya da azalmayan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta artan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta artabilir ya da sabit kalabilir, ama azalamaz.

\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere, her \( x_1, x_2 \in (a, b) \) için,

\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \le f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında artan (azalmayan) bir fonksiyondur.

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri de sürekli artıyorsa fonksiyon bu aralıkta kesin artan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta kesin artan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta azalamaz ya da sabit kalamaz, sadece artabilir.

\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere, her \( x_1, x_2 \in (a, b) \) için,

\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \lt f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında kesin artan bir fonksiyondur.

Azalan Fonksiyon

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri sürekli azalıyorsa ya da sabit kalıyorsa (yani artmıyorsa) fonksiyon bu aralıkta azalan ya da artmayan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta azalan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta azalabilir ya da sabit kalabilir, ama artamaz.

\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere, her \( x_1, x_2 \in (a, b) \) için,

\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \ge f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında azalan (artmayan) bir fonksiyondur.

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri sürekli azalıyorsa fonksiyon bu aralıkta kesin azalan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta kesin azalan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta artamaz ya da sabit kalamaz, sadece azalabilir.

\( f: A \to \mathbb{R} \) olmak üzere, her \( x_1, x_2 \in (a, b) \) için,

\( x_1 \lt x_2 \) iken \( f(x_1) \gt f(x_2) \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında kesin azalan bir fonksiyondur.

Yukarıdaki koşullar sağlandığı sürece bir fonksiyonun bir noktada sürekli ya da türevli olmaması artan ya da azalan olmasına engel değildir. Örneğin aşağıdaki fonksiyon \( x = c \) noktasında süreksiz, \( x = d \) noktasında türevsiz olsa da \( (a, b) \) aralığında artandır.

Artan/azalan olma, süreklilik ve türevlilik

Aşağıda grafiği verilen \( f(x) = x^3 \) fonksiyonu her ne kadar \( x = 0 \) noktasında sabit gözükse de (bu noktadaki teğetinin eğimi sıfır olsa da) tüm tanım aralığında kesin artan bir fonksiyondur. Bunun sebebi (aşağıda ispatını verdiğimiz üzere) fonksiyonun hiçbir iki noktasında aynı değere sahip olmamasıdır.

İSPATI GÖSTER

Fonksiyon grafiği üzerinde apsis değerleri \( a \) ve \( b \) olan ve \( a \gt b \) koşulunu sağlayan iki nokta seçelim.

Her durumda \( a^3 - b^3 \gt 0 \) olduğunu gösterebilirsek bu fonksiyonun tüm tanım aralığında kesin artan olduğunu göstermiş oluruz.

Küp farkı özdeşliğini yazalım.

\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

\( a \gt b \) olduğu için her durumda \( a - b \gt 0 \) olur.

İkinci çarpanı aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( a^2 + ab + b^2 = \dfrac{1}{2}((a + b)^2 + a^2 + b^2) \)

Eşitliğin sağ tarafı üç kare ifadesinin toplamından oluştuğu için her zaman pozitif olur.

Buna göre \( a^3 - b^3 \) ifadesi iki pozitif sayının çarpımı şeklinde yazılabilir, dolayısıyla her zaman pozitiftir.

\( a^3 - b^3 = \underbrace{(a - b)}_{(+)}\underbrace{(a^2 + ab + b^2)}_{(+)} \)

\( a^3 - b^3 \gt 0 \)

İspatta hata bildirin

Monoton Fonksiyon

Yukarıda verdiğimiz terimler bir fonksiyonun tüm tanım kümesinde olduğu gibi belirli bir aralıktaki davranışını tanımlamak için de kullanılabilir. Buna göre bir fonksiyon belirli bir aralıkta artan, diğer bir aralıkta azalan, üçüncü bir aralıkta da sabit olabilir.

Bir fonksiyon tüm tanım kümesinde artan (ya da azalan) ise bu fonksiyona monoton artan (azalan) ya da daima artan (azalan) fonksiyon denir. Benzer şekilde, bir fonksiyon tüm tanım aralığında kesin artan (azalan) ise bu fonksiyona kesin monoton artan (azalan) fonksiyon denir.

Kesin monoton fonksiyonlar herhangi iki \( x \) değerinin görüntüsü aynı olamayacağı için aynı zamanda birebir fonksiyonlardır.

Temel Fonksiyonlarda Artan/Azalan Aralıklar

Temel bazı fonksiyonların artan/azalan oldukları aralıklar aşağıda verilmiştir.

Grafik	Fonksiyon
	Doğrusal Fonksiyon \( m \gt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = mx + c \) Tüm reel sayılarda artan
	Doğrusal Fonksiyon \( m \lt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = mx + c \) Tüm reel sayılarda azalan
	Parabol \( a \gt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^2 + bx + c \) \( (-\infty, r) \) için azalan \( (r, +\infty) \) için artan
	Parabol \( a \lt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^2 + bx + c \) \( (-\infty, r) \) için artan \( (r, +\infty) \) için azalan
	3. Dereceden Polinom Fonksiyonu \( a \gt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^3 \) Tüm reel sayılarda artan
	3. Dereceden Polinom Fonksiyonu \( a \lt 0 \) olmak üzere, \( f(x) = ax^3 \) Tüm reel sayılarda azalan
	Sinüs Fonksiyonu \( f(x) = \sin{x} \) \( (0, 2\pi) \) aralığında: \( (0, \frac{\pi}{2}) \) için artan \( (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \) için azalan \( (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \)için artan
	Kosinüs Fonksiyonu \( f(x) = \cos{x} \) \( (0, 2\pi) \) aralığında: \( (0, \pi) \) için azalan \( (\pi, 2\pi) \) için artan
	Tanjant Fonksiyonu \( f(x) = \tan{x} \) \( (0, 2\pi) \) aralığında: \( (0, \frac{\pi}{2}) \) için artan \( (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \) için artan \( (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) \)için artan
	Kotanjant Fonksiyonu \( f(x) = \cot{x} \) \( (0, 2\pi) \) aralığında: \( (0, \pi) \) için azalan \( (\pi, 2\pi) \) için azalan
	Üstel Fonksiyon \( a \gt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = a^x \) Tüm reel sayılarda artan
	Üstel Fonksiyon \( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = a^x \) Tüm reel sayılarda azalan
	Logaritma Fonksiyonu \( a \gt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = \log_a{x} \) Pozitif reel sayılarda artan
	Logaritma Fonksiyonu \( 0 \lt a \lt 1 \) olmak üzere, \( f(x) = \log_a{x} \) Pozitif reel sayılarda azalan

Artan ve Azalan Fonksiyonlar Arası İşlemler

Artan ve azalan fonksiyonlar arasındaki işlemler sonucunda oluşan fonksiyonların artan ya da azalan olma durumları aşağıdaki gibidir.

\( f \) ve \( g \) fonksiyonları \( (a, b) \) aralığında artan fonksiyonlar olmak üzere,

\( f + g \) fonksiyonu da aynı aralıkta artan fonksiyondur.
\( -f \) fonksiyonu aynı aralıkta azalan fonksiyondur.
\( \frac{1}{f} \) fonksiyonu aynı aralıkta azalan fonksiyondur.
Belirtilen aralıkta \( f(x) \gt 0 \) ve \( g(x) \gt 0 \) olmak koşuluyla, \( f \cdot g \) fonksiyonu aynı aralıkta artan fonksiyondur.

\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının azalan olması durumunda yukarıdaki işlem sonuçları artan yerine azalan, azalan yerine artan olacaktır.

SORU 1:

\( f(x) = (k - 1)x^2 + 2x + k + 4 \) fonksiyonunun tüm reel sayılarda daima artan olması için \( k \) kaç olmalıdır?

Çözümü Göster

İkinci dereceden polinomlar (parabol) daima artan olamayacağı için \( x^2 \)'li ifadenin katsayısı 0 olmalıdır.

\( k - 1 = 0 \Longrightarrow k = 1 \)

Buna göre fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = 2x + k + 4 = 2x + 5 \)

Elde ettiğimiz doğrusal fonksiyonun eğimi pozitif olduğu için daima artandır.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2:

\( f(x) = (k - 4)x + 5 \) fonksiyonunun daima azalan olması için \( k \) yerine yazılabilecek rakamlar toplamı kaçtır?

Çözümü Göster

Bir doğrusal fonksiyonun daima azalan olması için \( x \)'in katsayısı, yani doğrunun eğimi negatif olmalıdır.

\( k - 4 \lt 0 \)

Bu eşitsizliği sağlayan rakamlar \( \{0, 1, 2, 3\} \) olur.

Buna göre \( 0 + 1 + 2 + 3 = 6 \) bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3:

\( f \) kesin azalan bir fonksiyon olmak üzere,

\( f(a + 2) = 4, f(a - 3) = 8, f(2a - 8) = 6 \) veriliyor.

Buna göre \( a \)'nın alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?

Çözümü Göster

Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta \( x \) değeri arttıkça \( y \) değeri sürekli azalıyorsa fonksiyon bu aralıkta kesin azalan bir fonksiyondur. Bir fonksiyonun bir aralıkta kesin azalan olabilmesi için fonksiyon değeri bu aralıkta artamaz ya da sabit kalamaz, sadece azalabilir.

Buna göre, \( 8 \gt 6 \gt 4 \) olduğuna göre verilen noktaların apsisleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibi olur.

\( a - 3 \lt 2a - 8 \lt a + 2 \)

Tüm taraflardan \( a \) çıkaralım.

\( -3 \lt a - 8 \lt 2 \)

Tüm taraflara 8 ekleyelim.

\( 5 \lt a \lt 10 \)

\( a \)'nın bu aralıkta alabileceği 4 tam sayı değeri vardır.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4:

\( f \) artan ve \( g \) azalan fonksiyonlar olmak üzere,

\( f(2) = b + f(-1) \) ve

\( g(3) = a + g(0) \) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

I. \( f(a) \lt f(b) \)

II. \( g(a) \gt g(b) \)

III. \( f(g(a)) \gt f(g(b)) \)

Çözümü Göster

\( f \) fonksiyonu artan olduğu için \( f(-1) \lt f(2) \) olur, dolayısıyla \( b \) pozitiftir.

\( g \) fonksiyonu azalan olduğu için \( g(0) \gt g(3) \) olur, dolayısıyla \( a \) negatiftir.

I. öncül: \( f \) fonksiyonu artan ve \( a \lt b \) olduğu için bu öncül doğrudur.

II. öncül: \( g \) fonksiyonu azalan olduğu için bu öncül doğrudur.

III. öncül: \( f \) fonksiyonu artan ve \( g(a) \gt g(b) \) olduğu için bu öncül doğrudur.

Buna göre üç öncül de doğrudur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5:

Aşağıdaki fonksiyonların artan oldukları en geniş aralıklara sırasıyla \( A \), \( B \) ve \( C \) dersek bu üç aralık arasındaki kapsama ilişkisi nedir?

I. \( f(x) = x^2 - 4x \)

II. \( g(x) = x^3 \)

III. \( h(x) = \sqrt{x} \)

Çözümü Göster

I. öncül: Tepe noktasının apsisi \( x = 2 \) olan parabol \( [2, \infty) \) aralığında artandır.

II. öncül: \( x^3 \) fonksiyonu tüm reel sayılarda artandır.

III. öncül: Karekök fonksiyonu tanımlı olduğu tüm \( [0, \infty) \) aralığında artandır.

Buna göre üç fonksiyonun artan oldukları en geniş aralıklar arasındaki kapsama ilişkisi \( A \subset C \subset B \) şeklindedir.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 6:

\( n \), \( m \) ve \( t \) reel sayılar olmak üzere, pozitif reel sayılarda tanımlı \( f \), \( g \) ve \( h \) fonksiyonlarıyla ilgili,

\( p: f(x) = n^x \) fonksiyonu azalandır.

\( q: g(x) = \log_t{x} \) fonksiyonu artandır.

\( r: h(x) = mx + n \) fonksiyonu artandır.

önermeleri veriliyor.

\( (p \lor r)' \Rightarrow q \equiv 0 \) olduğuna göre, \( n \), \( m \) ve \( t \) sayılarını büyükten küçüğe sıralayınız.

Çözümü Göster

\( (p \lor r)' \Rightarrow q \) ifadesi yalnız birinci önerme doğru, ikinci önerme yanlış olduğunda yanlış olur.

\( (p \lor r)' \equiv 1, \quad q \equiv 0 \)

\( p \lor r \equiv 0 \)

\( p \equiv 0, \quad r \equiv 0 \)

Buna göre üç önerme de yanlıştır.

"\( p \) önermesi yanlış olduğuna göre verilen fonksiyon artandır. Buna göre \( n \gt 1 \) olmalıdır.

"\( q \) önermesi yanlış olduğuna göre verilen fonksiyon azalandır. Buna göre \( 0 \lt t \lt 1 \) olmalıdır.

"\( r \) önermesi yanlış olduğuna göre verilen fonksiyon azalandır. Buna göre \( m \) negatif olur.

Buna göre sayıların sıralaması \( n \gt t \gt m \) olur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 7:

\( f(x) = 3^x - 5 \) fonksiyonu verilmiştir. Buna göre aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri tüm tanım aralığında artandır?

\( -f(x) \)
\( f(-x) \)
\( -f(-x) \)

Çözümü Göster

Tabanın 1'den büyük olduğu üstel fonksiyonlar tüm reel sayılarda artandır. Fonksiyonun çıktısından 5 çıkarırsak tüm noktalar 5 birim aşağıya öteleneceği için fonksiyon yine artan olur.

I. öncül: \( -f(x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( x \) eksenine göre simetriğidir, dolayısıyla artan grafik azalan bir grafiğe dönüşür.

II. öncül: \( f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun \( y \) eksenine göre simetriğidir, dolayısıyla artan grafik azalan bir grafiğe dönüşür.

III. öncül: \( -f(-x) \) fonksiyonu \( f(x) \) fonksiyonunun hem \( x \) hem de \( y \) eksenine göre simetriğidir, dolayısıyla artan grafik yine artan olur.

Buna göre sadece III. önermedeki fonksiyon artandır.

Soru sorun Soruda hata bildirin

nest...

7538 7539 7540 7541 7542