Turev Artan Azalan
Artan ve Azalan Aralıkların Bulunması
Bir fonksiyonun birinci türevi bir noktadaki anlık değişim oranını verdiği için, birinci türevin (teğet doğrunun eğiminin) işareti de fonksiyonun bir aralıkta artan, azalan ya da sabit olması ile ilgili bilgi verir.
Aşağıdaki grafikte bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıklar ve birinci türevi arasındaki ilişki gösterilmiştir. Şekilde ana fonksiyonun grafiği üzerindeki \( + \) ve \( - \) işaretleri fonksiyonun değerinin değil, eğiminin işaretini göstermektedir.
Buna göre ana fonksiyonun artan olduğu aralıklarda (yeşil zemin rengi) birinci türev pozitif, azalan olduğu aralıklarda (mavi zemin rengi) birinci türev negatif değer almaktadır. Ana fonksiyonun durağan olduğu \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) noktalarında ise birinci türev sıfır olmaktadır.
\( f: [a, b] \to \mathbb{R} \) ve \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere, her \( x \in (a, b) \) değeri için,
\( f'(x) \gt 0 \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında artandır.
\( f'(x) \lt 0 \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında azalandır.
\( f'(x) = 0 \) ise \( f \) fonksiyonu \( (a, b) \) aralığında sabittir.
Dolayısıyla, bir fonksiyonun artan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevin pozitif olduğu, azalan olduğu aralıkları bulmak için de negatif olduğu değer aralıkları bulunur.
\( f \) fonksiyonunun artan olduğu aralıkları bulmak için \( f'(x) \gt 0 \) eşitsizliği çözülür.
\( f \) fonksiyonunun azalan olduğu aralıkları bulmak için \( f'(x) \lt 0 \) eşitsizliği çözülür.
SORU 1:
Yukarıda \( f'(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre \( f \) fonksiyonu hangi aralık ya da aralıklarda artandır?
Çözümü GösterBir fonksiyonun artan olduğu aralıklarda türevi pozitif, azalan olduğu aralıklarda türevi negatiftir.
Verilen türev grafiği \( (-7, -2) \) ve \( (6, +\infty) \) aralıklarında pozitif değer alır, dolayısıyla \( f \) fonksiyonu bu aralıklarda artandır.
Fonksiyonun türevi \( x = -7 \), \( x = -2 \) ve \( x = 6 \) noktalarında sıfırdır ve bu noktalarda artan ya da azalan değil durağandır, dolayısıyla bu noktalar fonksiyonun artan olduğu aralıklara dahil edilmez.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( f: \mathbb{R} - \{a\} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \dfrac{x + 8}{x - a} \) fonksiyonu daima artan olduğuna göre, \( a \)'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü GösterBir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) pozitif olduğu aralıkta artandır.
Buna göre fonksiyon daima artan ise tüm tanım aralığında \( f'(x) \gt 0 \) olmalıdır.
Fonksiyonun türevini almak için bölme kuralını uygulayalım.
\( f'(x) = \dfrac{(x + 8)' \cdot (x - a) - (x + 8) \cdot (x - a)'}{(x - a)^2} \)
\( = \dfrac{1 \cdot (x - a) - (x + 8) \cdot 1}{(x - a)^2} \)
\( = \dfrac{x - a - x - 8}{(x - a)^2} = \dfrac{-a - 8}{(x - a)^2} \)
Payda fonksiyonun tanım aralığında her zaman pozitiftir. Buna göre paydaki ifade pozitif olduğunda birinci türev pozitif olur.
\( f'(x) \gt 0 \)
\( -a - 8 \gt 0 \)
\( a \lt -8 \)
Buna göre \( a \)'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri \( -9 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 12x + 6 \) fonksiyonunun azalan olduğu aralık nedir?
Çözümü GösterBir fonksiyon birinci türevinin (eğiminin) negatif olduğu aralıkta azalandır.
Fonksiyonun türevini alalım.
\( f'(x) = x^2 + 4x - 12 \)
\( f'(x) \lt 0 \)
\( x^2 + 4x - 12 \lt 0 \)
\( (x + 6)(x - 2) \lt 0 \)
Bu ifade \( x \in (-6, 2) \) açık aralığında negatif olur.
Buna göre \( f(x) \) fonksiyonu \( (-6, 2) \) aralığında azalandır.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Matematik Artan-Azalan Fonksiyonlar Artan fonksiyon nedir?, azalan fonksiyon nedir?, artan-azalan fonksiyonların formülünü nasıl kullanırım?, artan-azalan.
... konulu sunumlar: "Matematik Artan-Azalan Fonksiyonlar Artan fonksiyon nedir?, azalan fonksiyon nedir?, artan-azalan fonksiyonların formülünü nasıl kullanırım?, artan-azalan."— Sunum transkripti:
1 Matematik Artan-Azalan Fonksiyonlar Artan fonksiyon nedir?, azalan fonksiyon nedir?, artan-azalan fonksiyonların formülünü nasıl kullanırım?, artan-azalan fonksiyonlar da nasıl soru çözerim?
2 Artan ve azalan fonksiyonun matematiksel formülleri:
3 Önemli not: Artan Azalan Fonksiyon, Türevli bir fonksiyonun bir aralık üzerinde artan veya azalan olduğu o fonksiyonun türevinin söz konusu aralıkta aldığı değerlere bakılarak belirlenir. Artan fonksiyonun: Bir fonksiyonun aldığı x değerleri arttığında görüntülerinin de sayısal değerleri artıyor ise fonksiyonun artan bir fonksiyondur. bu durumda fonksiyonumuz artan bir fonksiyon olmak durumundadır. Azalan Fonksiyon: bir fonksiyonun aldığı x değerleri azaldığında görüntülerinin de sayısal değerleri azalıyor ise fonksiyon azalan bir fonksiyondur.
4 Önemli not 2: Grafikler üzerinden konuyu ele alacak olursak belirli bir ivme doğrultusunda yukarıya doğru yükselen bir çizgi halinde ise fonksiyon artan bir fonksiyondur belirli bir ivme ile aşağı doğru çizgi halinde olan bir fonksiyon ise azalan bir fonksiyondur. Başka bir dil ile anlatacak olursak türevin fonksiyonu sıfırdan küçük ise azalan fonksiyon sıfırdan büyükse artan bir fonksiyondur.
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25 HAZIRLAYAN VE SUNAN : KADİR KARTARİ ___________________________