Üçgenin Iç Açısı

ÇOKGENLERİN İÇ AÇILARI TOPLAMI

Çizilen farklı çokgenler yardımı ile , çokgenlerin iç açıları toplamını belli bir kurala bağlama.

1 ) Öğrencilerden bilgisayarda açtıkları sayfaya herhangi bir beşgen, altıgen, yedigen, sekizgen çizmeleri istenir.

b) Öğrencilere çokgenlerden kaçar üçgen elde ettikleri ve burada bir şeyin dikkatlerini çekip çekmediği sorulur. Her türlü çokgen için kenar sayısının iki eksiği kadar üçgen oluştuğu cevabı gelince çocuklardan bu çokgenlerin içindeki üçgenlerin iç açıları toplamlarını bulmaları istenir.

x = 4 x = 5 x = 6 x =

Sonuç olarak (n-2) x cevabının gelmesi beklenir.

2 ) Öğrencilerden bilgisayarlarında yeni bir sayfa açmaları istenir. Yeni açtıkları sayfaya yine birer beşgen, altıgen, yedigen ve sekizgen çizmeleri istenir.

Cevap olarak üçgenlerin iç açıları toplamının çokgenlerin iç açıları toplamından derece fazladır yanıtının gelmesi beklenir. Bunun nedeni sorulur.

n x – =( n – 2 ) x Cevabı beklenir.

Dokuzgen için :

( 9 – 2 ) x =

Onikigen için :

(12 – 2 ) x =

Hepimizin ilkokuldan beri öğrendiği;  &#;üçgenin iç açılarının toplamı derecedir&#; bilgisi, kimi durumlarda yetersiz bir tanımdır.

Bu durumlardan biri ise küresel geometridir. Küresel geometri diye adlandırdığımız bu sistem bize; salt üçgenin iç açılarının derece olmadığını, aynı zamanda üçgenin alanı büyüdükçe iç açıların da büyüdüğünü söylüyor. Yine bu geometriye göre bir noktadan dışındaki bir doğruya hiçbir paralel doğru çizilemez ve doğrular iki noktada kesişen büyük çemberlerdir.

Bu geometri üç boyutlu küresel cisimler için geçerlidir. Düzlem yapılar için Öklit geometrisi kullanmak yeterlidir. Peki yazımızın başında küresel geometriden bahsettik, ne demek istediğini açıklamaya çalışalım ve örneklerle geliştirelim.

1) Üçgenin iç açılarının toplamı derece değildir: Evet küresel bir şekilde herhangi üç noktayı ele alalım bunların birleşiminden bir üçgen oluşturursak iç açıları derece olmayacak. Bunu bir örnek ile açıklayalım. Aklımıza standart düz bir Türkiye haritasını getirip buradan üç şehir seçtiğimizi farz edelim.

Örneğin Ankara, İzmir ve İstanbul olsun. Bu üç şehri düz doğrular ile birleştirirsek bir üçgen elde ederiz. Bu üçgenin iç açıları derece olacaktır. Fakat Dünya haritada olduğu gibi düz değil yuvarlaktır. Şimdi elimizdeki bu haritayı dör bir yanından bükersek (Dünya&#;nın bir kesiti gibi) işte o zaman doğruları yanlış çizdiğimizi göreceğiz. Bu yanlış doğrular (noktaları birleştirdiğimiz) düzeltilince ortaya çıkan üçgenin iç açıları &#;den büyük olacaktır.

Gördüğünüz gibi küresel bir cisimde, üçgen veya kare fark etmez, geometrik bir kesit alırsanız daima boyutlar, düzlemden alınan geometrik kesitlerden farklı olacaktır. Ve gördüğünüz gibi üçgenin veya çokgenin alanı büyüdükçe iç açıların toplamı da büyür.

2) Bir noktadan dışındaki bir doğruya hiçbir paralel doğru çizilemez ve doğrular iki noktada kesişen büyük çemberlerdir. Bunu önce açıklmaya çalışalım sonra da örnekle pekiştirelim. Öklid geometrisine göre herhangi faklı yerlerde, iki nokta veya bir nokta ve bir doğru ele alalım. Bu nokta ve doğrulardan birbirine pararlel iki doğru elde edebiliriz. Yani iki çubuğu düz bir masaya birbirine paralel yerleştirebiliriz.

Ayrıca Öklid geormetrisinde birbirine paralel iki doğru sonsuzda dahi birleşmez. Fakat bunu bir dairede yapamayız. Elimize çok büyük bir futbol topu alalım ve tam ekvatoruna paralel olacak şekilde yerleştirelim. Işte sorun burada başlıyor. İki çubuğu esnetebildiğimizi düşünelim, çünkü bu çubukları tam zemine oturtmamız lazım.

Paralel bu çubukları esnetip zemine oturtursanız ve topu biraz daha şişirirseniz (şişirmeden de aynı sonucu verir fakat daha açıklayıcı olsun diye şişiriyoruz) bu paralelik gittikçe bozulur ve aralarındaki mesafe açılır. Ayrıca bu çubukları uzatabildiğimizi düşünelim. Bu &#;paralel olarak koyduğumuz&#; iki çubuk kutup noktalarında birleşeceklerdir. Ekvatordan kutuplara gidildikçe aralarıdaki mesafede küçülecektir.

Gördüğünüz gibi &#;paralel&#; iki boylam arası ekvatordan kutuplara gidildikçe aralarındaki mesafe azalıyor. İki doğru ise güney ve kuzey kutbunda kesişince bir çember oluştururlar.

İşte bir üçgenin iç açılarının derece olmadığ küresel geometri bize bunları söylüyor; peki bunlar bize nasıl bir avantaj sağlıyor? Bu konu anlatılırken hep verilen bir örnekle size ufak bir faydasından bahsedelim. Fakat bundan bahsetmeden önce haftalar önce sitemizin facebook sayfasında bir soru paylaşıldı onu size hatırlatalım.

Soru yaklaşık şöyle idi;

Burada bir uçak rotası var neden bu rota mor ile çizilen düz çizgi değil de üstteki gibi eğimli?

Cevaplar şöyleydi;

Dünya yuvarlak olduğu için göz yanılması, önce Kanada&#;ya uğrayıp yolcu alacaktır ondandır, o düz olan rota üzerinde denizde metafiziki şeyler gerçekleşiyor bundan dolayı gidemiyordur&#; vs. Fakat cevapların hiçbiri doğru değildi, çünkü ise en kısa mesafe kırmızı rotaydı.

Öklit geometrisine göre hipotenüs en kısa mesafedir, burada Kanada tarafına kırmızı çizgiye bir nokta koysak bir üçgen elde edebiliriz ve öklitsel mantığa göre hipotenüsten gidersek daha kısa mesafede yol alabiliriz. Fakat şu haritayı merkezinden şişirdiğimizi düşünelim. Yukarıda da bahsettiğimiz gibi ekvatora yakın yerler arasında mesafe kutuplara yakın yerlerden daha uzaktır. Hatta bu konu anlatılırken çok bilindik bir örnek ile bu durmu açıklayalım. Newyork ile Madrid arasındaki en kısa mesafeyi nasıl gösterirsiniz?

Öklitçi düşünce tarzına göre harita üzerinde Madrid ve Newyork arasında düz bir çizgi çizersiniz. Bir uçakla bu çizgi üzerinde yol alırsanız mil yol gidersiniz. Ancak büyük çember boyunca uçarsanız yani kuzeydoğuya yönelip, sonra yavaş yavaş güneydoğuya yönelirseniz kat ettiğiniz mesafe mil olacaktır. Bu yolun yerküreyi düz gösteren harita üzerindeki görüntüsü aldatıcıdır. Dünya gibi cisimler külte çekimi denilen kuvvet yüzünden çok eğrilmiş uzayda, jeodezik denilen, doğru çizgiye en yakın yolu izlediklerinden eğik yörüngeler üzerinde hareket ederler.

Son olarak astronomide de çok önemli olan küresel geometri bize en yakını ve en yakın şekilde nasıl gideceğimizi gösteren güzel bir metottur. Bu bilgiler dahilinde artık siz de küresel şekillerde en yakına en kolay şekilde gidebilirsiniz.

Süleyman YEŞİL

Geometri, matematiğin uzamsal ilişkiler ile ilgilenen alt dalıdır. Üçgende düzlem geometrisinin temel şekillerinden biri olarak karşımıza çıkmaktadır. İlkokul, ortaokul ve lise de üçgen ile ilgili birçok konu yer almakta olup, kenarlarına ve açılarına göre çeşitlendirilmektedir. Üçgenin iç açılarına göre de birçok problem çözüme kavuşturulur.

ÜÇGENİN İÇ AÇILARI TOPLAMI KAÇTIR?

Üçgenlerde iki kenar arasında kalan ve iç tarafa doğru olan açıklığa iç açı denilir. Bir üçgenin de 3 iç açısı vardır. Üçgenin iç açıları toplamı derecedir. Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Tüm kenarları eşit olan üçgen olup iç açılarının her biri 60°'dir. Tabanlara indirilen dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır.

ÜÇGENİN İÇ AÇILARI TOPLAMI KAÇ DERECE?

Bir üçgenin iç açılarının toplamı °, dış açılarının toplamı °'dir. [AB]U[AC]U[BC]= ABC Burada A, B ve C noktaları üçgenin köşeleri ve [AB],[AC],[BC] doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır.