Üslü Eşitsizlikler Konu Anlatımı
Üslü İfadeler ve Denklemler
Üslü İfade İçeren Denklemler
Üslü ifade içeren denklem sistemlerine denir.
Bir Gerçek Sayının Tam Sayı Kuvvetleri
olmak üzere an ifadesine üslü ifade adı verilir. an ifadesinde a sayısına taban, n sayısına ise üs veya kuvvet denir.
olarak hesaplanır.
Aşağıda örnek olarak bir üslü ifade verilmiştir.
Bir Gerçek Sayının Negatif Kuvveti
olmak üzere olur. olur.
Üslü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi
Hem tabanı hem üssü aynı olan üslü sayılar ortak paranteze alınarak toplanabilir veya çıkarılabilir. olmak üzere olur.
Üslü Sayılarda Çarpma ve Bölme
Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılabilir. olmak üzere olur.
olmak üzere olur.
Üslü İfadelerin Bazı Özellikleri
- olur.
- olmak üzere ve olur.
- olmak üzere olur.
- olmak üzere olur.
- olmak üzere
- Üslü sayılarda büyüklük, küçüklük kıyaslaması yaparken üsleri veya tabanları eşitleyerek hesaplamak gerekir.
Üslü Denklemler
Üslü sayı içeren denklemlere denir ve bazı özellikler sayesinde bu denklemler kolaylıkla çözülebilir. Bu özellikler aşağıdaki gibidir.
- olmak üzere ise olur. Tabanları eşit, iki üslü sayının üsleri de eşittir.
- olmak üzere
üsleri aynı olan iki üslü ifade eşit ise üs tek olduğunda tabanlar eşittir. Eğer üsleri aynı ve çift ise tabanlar mutlak değerce eşittir.
- eşitliği için
şeklinde üç farklı durum vardır.
- olmak koşuluyla
ilk koşul sağlanır.
Üslü İfadeli Eşitsizlikler
SORU 1:
\( 4^{1-x} \lt 1 \lt 3^{5-x} \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterBirinci ve ikinci eşitsizlikleri ayrı ayrı çözelim.
\( 4^{1-x} \lt 1 \)
\( \quad 4^{1-x} \lt 4^0 \)
\( \quad 1 - x \lt 0 \)
\( \quad 1 \lt x \)
\( 1 \lt 3^{5-x} \)
\( \quad 3^0 \lt 3^{5 - x} \)
\( \quad 0 \lt 5 - x \)
\( \quad x \lt 5 \)
Bu iki aralığın kesişim kümesi bize çözüm kümesini verecektir.
Çözüm kümesi: \( = (1, 5) \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{x + 3} \le \left( \dfrac{4}{25} \right)^{3 - x} \) eşitsizliğinde \( x \)'in alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir?
Çözümü GösterEşitsizliğin iki tarafını ortak tabana getirelim.
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{x + 3} \le \left( \left( \dfrac{2}{5} \right)^{2} \right)^{3 - x} \)
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{x + 3} \le \left( \dfrac{2}{5} \right)^{6 - 2x} \)
Eşitsizliğin son tarafında pay ve paydanın yerini değiştirip üssün negatifini alalım.
\( \left( \dfrac{2}{5} \right)^{-(x + 3)} \le \left( \dfrac{2}{5} \right)^{6 - 2x} \)
Tabanlar \( (0, 1) \) aralığında ve eşit olduğu zaman, üslerin eşitsizliğinde işaret yön değiştirir.
\( -(x + 3) \ge (6 - 2x) \)
\( x \ge 9 \)
Buna göre \( x \)'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 9'dur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( 9^{2a - 9} - 27^{4 + 3a} \lt 0 \) olduğuna göre, \( a \)'nın değer aralığını bulalım.
Çözümü GösterÜslü ifadeleri 3 tabanına çevirelim.
\( 3^{2(2a - 9)} - 3^{3(4 + 3a)} \lt 0 \)
\( 3^{2(2a - 9)} \lt 3^{3(4 + 3a)} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( 2(2a - 9) \lt 3(4 + 3a) \)
\( 4a - 18 \lt 12 + 9a \)
\( -30 \lt 5a \)
\( -6 \lt a \)
\( a \)'nın değer aralığı \( (-6, +\infty) \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( x \) reel sayıdır.
\( 0 \lt x \lt 2 \) olduğuna göre, \( 2^{2x - 1} \) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü GösterEşitsizliği verilen üslü ifadeye benzetelim.
Eşitsizliğin taraflarını 2 ile çarpalım.
\( 0 \lt 2x \lt 4 \)
Eşitsizliğin taraflarından 1 çıkaralım.
\( -1 \lt 2x - 1 \lt 3 \)
Eşitsizliğin taraflarını 2'nin üssü şeklinde yazalım.
\( 2^{-1} \lt 2^{2x - 1} \lt 2^3 \)
\( \dfrac{1}{2} \lt 2^{2x - 1} \lt 8 \)
Buna göre verilen ifadenin alabileceği en büyük tam sayı değer 7'dir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( (\dfrac{3}{2})^{x - 9} \ge (\dfrac{16}{81})^{x + 4} \) eşitsizliğini sağlayan en küçük \( x \) tam sayısı kaçtır?
Çözümü Gösterİfadelerin tabanlarını eşitleyelim.
\( (\dfrac{3}{2})^{x - 9} \ge (\dfrac{2^4}{3^4})^{x + 4} \)
\( (\dfrac{3}{2})^{x - 9} \ge (\dfrac{2}{3})^{4(x + 4)} \)
Bir üslü ifadenin tabanında pay ve payda aralarında yer değiştirirse üs işaret değiştirir.
\( (\dfrac{3}{2})^{x - 9} \ge (\dfrac{3}{2})^{-4(x + 4)} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( x - 9 \ge -4(x + 4) \)
\( x - 9 \ge -4x - 16 \)
\( 5x \ge -7 \)
\( x \ge -\dfrac{7}{5} \)
Buna göre eşitsizliği sağlayan en küçük \( x \) tam sayısı \( -1 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( x^2 \lt x \) olmak üzere,
\( x^{2y + 1} - x^{y + 3} \gt 0 \) olduğuna göre, \( y \)'nin değer aralığı nedir?
Çözümü Göster\( x^2 \lt x \Longrightarrow 0 \lt x \lt 1 \)
\( x^{2y + 1} \gt x^{y + 3} \)
Tabanları eşit ve \( (0, 1) \) aralığında olan üslü ifadelerden üssü daha küçük olan daha büyüktür.
\( 2y + 1 \lt y + 3 \)
\( y \lt 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( (\dfrac{5}{2})^{-\abs{a + 4}} \lt \dfrac{4}{25} \) eşitsizliğini sağlamayan \( a \) tam sayılarının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( (\dfrac{5}{2})^{-\abs{a + 4}} \lt (\dfrac{5}{2})^{-2} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( -\abs{a + 4} \lt -2 \)
Bir eşitsizliğin iki tarafını \( -1 \) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir.
\( \abs{a + 4} \gt 2 \)
Bu eşitsizliği sağlamayan \( a \) değerleri bu aralığın tümleyeni olan aralıktır.
\( \abs{a + 4} \le 2 \)
\( -2 \le a + 4 \le 2 \)
\( -6 \le a \le -2 \)
Bu aralıktaki tam sayı \( a \) değerlerinin toplamı:
\( (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) = -20 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( (\dfrac{1}{2})^{x - 14} \le (\dfrac{1}{64})^{6 - 4x} \)
eşitsizliğini sağlayan en küçük \( x \) tam sayısı kaçtır?
Çözümü GösterÜstel ifadeleri 2 tabanında yazalım.
\( 2^{-1 \cdot (x - 14)} \le 2^{-6 \cdot (6 - 4x)} \)
\( 2^{14 - x} \le 2^{24x - 36} \)
İki üslü ifade arasındaki eşitsizlikte tabanlar eşit ve birden büyükse üssü daha büyük olan ifade daha büyüktür.
\( 14 - x \le 24x - 36 \)
Sabit terimleri eşitsizliğin sol tarafına, bilinmeyeni sağ tarafına alalım.
\( 14 + 36 \le 24x + x \)
\( 50 \le 25x \)
Eşitsizliğin iki tarafını 25'e bölelim.
\( 2 \le x \)
Bu durumda \( x \)'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 2'dir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Bu bölümde Üslü Denklem ve Eşitsizlikler ile ilgili 18 adet soru bulunmaktadır. Sorularınızı çözdükten sonra düşündüğünüz şıkka tıklayarak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol edebilirsiniz. Eğer soruları çözmekte zorlanırsanız; kolay anlaşılır detaylı çözümlere “Çözüm için Tıklayınız” seçeneği ile ulaşabilirsiniz. İyi Çalışmalar…
Konu Anlatımı veya Daha Fazla Soru için Tıkla
Testi ve Çözümleri pdf indir
Sadece Soruları pdf indir
Eğer sorular ya da çözümler konusunda bir problem görür veyahut da bir tavsiye de bulunmak isterseniz; sayfanın en altında yer alan “Yorum Yap” seçeneği ile bunları anlık olarak iletebilirsiniz.
Bu içerik www.matematikkolay.net tarafından özel olarak hazırlanmıştır. Kısmen dahi olsa başka platformlarda izinsiz bir şekilde yayınlanamaz, basılamaz. (Sadece öğretmenlerimiz, ders ortamında kullanmak üzere kullanabilirler.)
ÜSLÜ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER ÇÖZÜMLÜ SORULARI www.matematikkolay.net 1) a 3 2b 5 2 128 5 125 olduğuna göre a b kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 ÇÖZÜM: 7 7 tane 3 a 3 7 2b 5 3 128 ve 125 sayılarını üslü sayı olarak ifade edelim; 128 2.2…..2 2 125 5.5.5 5 tür. 2 2 tabanlar aynı olduğundan üsler de aynı olmalı. a 3 7 a 4 bulunur. 5 5 2b 5 3 2b 8 b 4 tür. O halde; a b 4 4 8 buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı 2) x 8 x 3 (0,2) (0,04) olduğuna göre, x kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 ÇÖZÜM: x 8 x 3 x 8 x 3 x 8 x 3 2 x 8 Ondalık kesirleri rasyonel sayıya çevirerek çözüme başlayalım. (0,2) (0,04) 2 4 sadeleştirelim, 10 100 1 1 1 1 5 25 25 5 1 1 5 5 2 x 3 x 8 2.(x 3) 1 1 Tabanlar aynı, üsler eşit olmalı 5 5 x 8 2.(x 3) x 8 2x 6 8 6 2x x 2 x x 2 bulunur. Doğru Cevap : A şıkkı 3) x 1 x 1 x 3.2 6.2 2 160 eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÇÖZÜM: x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 1 x 1 x Üssü en küçük olan terimin ortak parantezine alarak soruyu çözelim. Bunun için diğer terimleri 2 terimine kadar açmak gerekir, 3.2 6.2 2 160 3.2 .2 6.2 2 .2 160 12.Şub 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 6.2 2.2 160 2 .(12 6 2) 160 2 .20 160 2 8 2 2 x 1 3 x 4 buluruz. Doğru Cevap : D şıkkı www.matematikkolay.net 4) 2a 3 3 2a 2 3 81 3 eşitliğini sağlayan a değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÇÖZÜM: 3 2a 2a 3 3 2a 2a 3 3 2a (3 ) (1) 2a 3 3 2a 3 2a 2a 3 3 2a 3 2a 0 3 2a 3 2a 1 3 2a 1 (3 2a) 1 3 2a 4 Payda eşitleyerek soruyu çözmeye çalışalım, 2 3 81 3 3 2 81 1 3 3 .3 2 81 3 3 2 81 3 3 2 81 3 1 2 81 3 3 81 3 3 81 3 3 2 2a 4 2a 6 a 3 a yı 3 olarak buluruz. Doğru Cevap : C şıkkı 5) 4 4 (2x 3) 5 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı aşağıda – kilerden hangisidir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ÇÖZÜM: 2n 2n 4 4 İki denklemde de üsler çiftse tabandaki ifadeler hem pozitif hem de negatif işaretli olarak birbir – lerine eşittir. Yani; x y ise x y veya x y dir. O halde; (2x 3) 5 ise iki durum vardır; 2x 3 5 ve 2x 3 5 2x 2 2x 8 x 1 x 4 Değerlerin toplamı 1 ( 4) 3 olarak bulunur. Doğru Cevap : C şıkkı 6) 16 8 (x 2) (4x 8) eşitliğini sağlayan farklı x değerlerinin çarpımı kaçtır? A) 12 B) 2 C) 12 D) 24 E) 48 ÇÖZÜM: 16 8 16 8 2 8 8 2 (x 2) (4x 8) ifadesindeki üslerin çift olduğuna dikkat edelim. Üsleri aynı olacak şekilde eşitliğin sol tarafında bir düzenleme yapalım; (x 2) (4x 8) (x 2) (4x 8) 1.durum: (x 2) 4x 8 ? ?? 2 2 2 2 2 x 4x 4 4x 8 x 4 0 (iki kare farkı) (x 2).(x 2) 0 Buna göre x 2 veya 2 dir. 2.durum: (x 2) (4x 8) x 4x 4 4x 8 x 8x 12 0 x 6 x 2 (x 2).(x 6) 0 Buna göre x 2 ve ya 6 dır. x’in alabileceği farklı değerler 2, 2 ve 6 dır. Çarpımları 2.( 2).( 6) 24 bulunur. Doğru Cevap : D şıkkı www.matematikkolay.net 7) 15 15 (2x 4) (x 2) eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 ÇÖZÜM: 15 15 Üsler aynı ve tek olunca tabandaki terimlerin eşit olması gerekir. (2x 4) (x 2) ise 2x 4 x 2 2x x 2 4 x 6 buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı 8) 3x y 14 x 2y 8 x,y Z olmak üzere 7 8 ise, x.y çarpımı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 14 D) 16 E) 24 ? ÇÖZÜM: 3x y 14 x 2y 8 7 8 eşitliği sadece üslerin 0 olduğu durumda birbirine eşittir. O halde; 3x y 14 0 x 2y 8 0 dır. Bu denklemleri çözelim. 1 / 3x y 14 0 3 / x 2y 8 0 3x y 14 0 3x 6y 24 0 5y 10 0 5y 10 y 2 bulunur. x 2y 8 0 ise x 4 8 0 x 4 0 x 4 bulunur. Buna göre; x.y 4.2 8 buluruz. Doğru Cevap : B şıkkı 9) 2 a 5a (a 5) 1 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 4, 0} B) {0, 5, 6} C) {0, 6} D) { 4, 0, 5, 6} E) {0, 4, 6} ÇÖZÜM: 2 n a 5a x 1 eşitliklerinde 3 farklı durum söz konusudur. 1.durum: x 0 ise n 0 dır. 2.durum: x 1 ise, n R dir. 3.durum: x 1 ise, n çift sayıdır. Buna göre; (a 5) 1 eşitliğindeki üç durumu inceleyelim; 1.d ? ? 2 urum: a 5a 0 a.(a 5) 0 buradan a 0 ve a 5 kökleri bulunur. Ancak a 5 olduğunda üslü sayının tabanı 0 olacağından 5’i kullanamayız. 2.durum: a 5 1 a 6 buluruz. a 6 durumu üssün reel sayı olma 2 2 sını engellemediği için 6′ yı kök olarak alabiliriz. 3.durum: a 5 1 a 4 buluruz. a 4 olduğun – da üs : a 5a 4 5.4 16 20 4 olur. Çift sayı olduğundan a 4 kökünü alabiliriz. O halde çözüm kümesi {0, 4, 6} dır. Doğru Cevap : E şıkkı 10) x y 3 125 olduğuna göre x.y çarpımı kaçtır? 5 81 A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 27 ? ?? ?? ÇÖZÜM: x x x 3 3 y x y x.y 3 3 4 Bu soruda 1.denklemde 5 sayısının x cinsinden ifadesini bulup, 2.denklemde yerine yazalım. 3 125 3 5 3 5 bunu 2.denklemde 5’in yerine yazalım. 5 81 idi, x.y 3 81 3 3 3 4 x.y 12 dir. Doğru Cevap : B şıkkı www.matematikkolay.net
Sayfalar: 12
ÜSLÜ İFADELER
Matematik - Denklem ve Eşitsizlikler
29:46 dk 00:00 sn izlediniz
9.Sınıf Üslü Denklemler
9.Sınıf birbirinden özel matematik bilgileri ile dolu bir yıl! Şimdi de karşında yepyeni bilgileri kolayca öğrenebileceğin harika eğitimlerle üslü ifadeler konu anlatımları var. İlk eğitimde “Gerçek Sayıların Tam Sayı Kuvvetleri” konusunu işliyoruz. Burada bir gerçek sayının pozitif ve negatif kuvveti arasındaki ilişkiye dikkat et. Negatif kuvvetlerin özelliklerini ve parantez kullanımının önemini de öğrenmeye hazır ol. “Üslü İfadelerle İlgili Özellikler” dersini sakın kaçırma. Senin için hazırladığımız bu eğitimde, bilmen gereken özellikleri basit örneklerle açıklıyoruz. Artık sıra “Üstlü Sayılarda Dört İşlem”lerde. Kağıt ve kalemlerini hâlâ hazırlamadın mı? Basit işlemleri basit hatalar yüzünden yapamamanı istemeyiz. Dikkatini topla ve soruları bir kez de kağıt üzerinde çöz. “Üslü Denklemler” eğitimi ile konunun uzmanı olduğunda, “Taktiklerle Soru Çözümü” yapmayı unutma!
