Üslü sayılar ya da bir diğer adıyla üslü ifadeler konusu hem 8. sınıf hem de 9. sınıf müfredatında yer almakta olup matematiğin temel konularından bir tanesidir. Bir çok sayısal işlemde karşımıza gelmektedir. Bu nedenle çok iyi öğrenilmesi gereken konulardan bir tanesir. Tyt matematik sınavında hem üslü ifadelerle ilgili soru gelmekte olup hem de diğer konularda soru çözümlerinde de bu konunun bilinmesi gerekmektedir. Bu konumuzda üslü ifadelerde dört işlem yani toplama çıkarma çarpma ve bölme konularını vermeye çalıştık. Bol bol çözümlü örneklere de konu içerisinde yer verdik. Şimdiden başarılar dileriz.
Örnek 29 çözüm: A sayısının kaç basamaklı olduğunu bulmak için A nın eşiti olan ifadeyi 10 un kuvveti türünden yazmamız gerekir. Bunun için de 10 un çarpanları olan 2 ve 5 sayılarına göre verilen sayılar düzenlenmelidir. Tabanları farklı üslü sayıları çarpmak için üslerinin aynı olması gerekir. Bu sebeple soru içerisinde eğer 2 ve 5 in üsleri eşit değilse eşit hale getirilerek işlem yapılır.
SORU 1:
\( 4^{49} \) sayısının yarısı kaçtır?
Çözümü GösterYarısını bulmak için sayıyı 2'ye bölelim.
\( \dfrac{4^{49}}{2} = \dfrac{(2^2)^{49}}{2} = \dfrac{2^{98}}{2} \)
\( = 2^{98 - 1} = 2^{97} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 2:
Aşağıdaki üslü ifadelerin rasyonel sayı karşılıklarını bulalım.
\( (-2)^{-2}, (0,125)^{-2}, (-3)^{-2}, (-2^{-2})^{-1} \)
Çözümü GösterHer bir ifadeyi aşağıdaki şekilde sadeleştirebiliriz.
\( (-2)^{-2} \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
\( (-2)^{-2} = 2^{-2} \)
İfadeyi paydaya alarak negatif üssü pozitife çevirebiliriz.
\( 2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4} \)
\( (0,125)^{-2} \): İlk önce parantez içini kesirli bir ifadeye çevirelim.
\( (0,125)^{-2} = \left( \dfrac{1}{8} \right)^{-2} \)
Paydadaki ifadeyi paya alarak negatif üssü pozitife çevirebiliriz.
\( \left( \dfrac{1}{8} \right)^{-2} = 8^2 = 64 \)
\( (-3)^{-2} \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
\( (-3)^{-2} = 3^{-2} \)
İfadeyi paydaya alarak negatif üssü pozitife çevirebiliriz.
\( 3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9} \)
\( (-2^{-2})^{-1} \): Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır. Parantez içindeki negatif işaretinin parantez dışında tek sayı bir üssü alındığı için işaret negatif olarak kalır.
\( (-2^{-2})^{-1} = -2^2 = -4 \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 3:
\( \dfrac{2^{9999} + 2^{9996}}{2^{9997} - 2^{9995}} \) işleminin sonucunu bulalım.
Çözümü GösterPay ve paydadaki tüm terimleri en büyük ortak çarpanları cinsinden yazarak sadeleştirme yapalım.
\( \dfrac{2^4 \cdot 2^{9995} + 2^1 \cdot 2^{9995}}{2^2 \cdot 2^{9995} - 2^{9995}} \)
\( = \dfrac{16 \cdot 2^{9995} + 2 \cdot 2^{9995}}{4 \cdot 2^{9995} - 2^{9995}} \)
\( = \dfrac{18 \cdot 2^{9995}}{3 \cdot 2^{9995}} \)
\( = \dfrac{18}{3} = 6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 4:
\( \dfrac{(-a^{5}) (-a)^{4} (-a)^{-2}}{(a^{-2})^{-1} (-a^{3})^{-2}} \) çarpımının sadeleştirilmiş halini bulalım.
Çözümü Gösterİşlemin sonucuna \( A \) diyelim ve ifadedeki her bir çarpanı ayrı ayrı sadeleştirelim.
\( (-a^5) = -a^5 \): Üs sadece \( a \)'ya uygulanır.
\( (-a)^4 = a^4 \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
\( (-a)^{-2} = a^{-2} \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
\( (a^{-2})^{-1} = a^2 \): Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır.
\( (-a^3)^{-2} = a^{-6} \): Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır. Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir.
İfadeyi her bir çarpanın sadeleştirilmiş haliyle aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( A = \dfrac{-a^5 \cdot a^4 \cdot a^{-2}}{a^2 \cdot a^{-6}} \)
Pay ve paydada sadece bir çarpanın işareti negatif olduğu için, negatif işaretini tutarak rasyonel ifadenin önüne alabiliriz.
\( A = -\dfrac{a^5 \cdot a^4 \cdot a^{-2}}{a^2 \cdot a^{-6}} \)
Pay ve paydadaki çarpanların tabanları aynı olduğu için üslerin toplamını alabiliriz.
\( A = -\dfrac{a^{5 + 4 - 2}}{a^{2 - 6}} = -\dfrac{a^{7}}{a^{-4}} \)
Pay ve paydadaki tabanlar aynı olduğu için paydadaki üssü paya negatif olarak çıkarabiliriz. Bunun sonucunda ifadenin en sade halini aşağıdaki gibi buluruz.
\( A = -a^{7 - (-4)} = -a^{11} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 5:
\( \dfrac{(3^{-3})^2 (-3^3)^{-2}}{(-3^{-2}) (-3^{-2})^{-3}} \) çarpımının sadeleştirilmiş halini bulalım.
Çözümü Gösterİşlemin sonucuna \( A \) diyelim ve ifadedeki her bir çarpanı ayrı ayrı sadeleştirelim.
\( (3^{-3})^2 = 3^{-6} \): Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır.
\( (-3^3)^{-2} = 3^{-6} \): Çift sayı üs parantez içindeki negatif işaretini pozitife çevirir. Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır.
\( (-3^{-2}) = -3^{-2} \): Üs parantez dışında olmadığı için negatif işareti hariç sadece 3'e uygulanır.
\( (-3^{-2})^{-3} = -3^6 \): Parantez içindeki negatif işaretinin parantez dışında tek sayı bir üssü alındığı için işaret negatif olarak kalır. Parantez içindeki ve dışındaki üsler çarpılır.
İfadeyi her bir çarpanın sadeleştirilmiş haliyle aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( A = \dfrac{3^{-6} \cdot 3^{-6}}{-3^{-2} \cdot -3^6} \)
Pay ve paydada iki çarpanın işareti negatif olduğu için birbirlerini götürürler ve tüm ifadenin işareti pozitife döner.
\( A = \dfrac{3^{-6} \cdot 3^{-6}}{3^{-2} \cdot 3^6} \)
Pay ve paydadaki çarpanların tabanları aynı olduğu için üslerin toplamını alabiliriz.
\( A = \dfrac{3^{-6 - 6}}{3^{-2 + 6}} = \dfrac{3^{-12}}{3^4} \)
Pay ve paydadaki tabanlar aynı olduğu için paydadaki üssü paya negatif olarak çıkarabiliriz. Bunun sonucunda ifadenin en sade halini aşağıdaki gibi buluruz.
\( A = 3^{-12 - 4} = 3^{-16} \)
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 6:
\( 5^{-1} \cdot ((-1)^2)^3 \cdot 2^{-2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterBir üslü ifadede çift sayı üs tabandaki negatif işaretini yutar.
Paydaki negatif üslü ifadeler paydaya, paydadaki negatif üslü ifadeler paya pozitif üslü olarak geçer.
Adım adım işlemleri gerçekleştirelim.
\( \dfrac{1}{5} \cdot (1)^3 \cdot \dfrac{1}{2^2} \)
\( = \dfrac{1}{5} \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{4} \)
\( = \dfrac{1}{20} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 7:
\( (-\dfrac{2^2}{3})^{-2} + 0^{3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterAdım adım işlemleri gerçekleştirelim.
\( (-\dfrac{4}{3})^{-2} + 0 \)
Tabanı kesirli olan üslü bir ifadede pay ve payda aralarında yer değiştirirse üs işaret değiştirir.
\( (\dfrac{a}{b})^{-1} = \dfrac{b}{a} \)
Bir üslü ifadede çift sayı üs tabandaki negatif işaretini yutar.
\( = (-\dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{9}{16} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 8:
\( (\dfrac{3^{2^2}}{3^{-1}} + 13)^{\frac{1}{2}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterBir ifadenin üssü yine bir üslü ifade ise işlem yukarıdan aşağıya doğru yapılır.
\( (\dfrac{3^4}{3^{-1}} + 13)^{\frac{1}{2}} = (3^5 + 13)^{\frac{1}{2}} \)
\( = 256^{\frac{1}{2}} = \sqrt{256} = 16 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 9:
\( 5^{a + 2} = 250 \) olduğuna göre, \( 5^{a - 1} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterÖncelikle \( 5^a \) ifadesinin değerini bulalım.
\( 5^{a} \cdot 5^2 = 250 \)
\( 5^{a} = 10 \)
Değeri sorulan ifadede \( 5^a \) yerine 10 yazalım.
\( 5^{a - 1} = 5^{a} \cdot 5^{-1} \)
\( = 10 \cdot \dfrac{1}{5} = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 10:
\( 3a + \dfrac{1}{3a} = 12 \) olduğuna göre, \( \dfrac{81a^4 + 1}{9a^2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \dfrac{81a^4}{9a^2} + \dfrac{1}{9a^2} = 9a^2 + \dfrac{1}{9a^2} \)
\( 3a + \dfrac{1}{3a} = 12 \) ifadesinin karesini alalım.
\( 9a^2 + 2 \cdot 3a \cdot \dfrac{1}{3a} + \dfrac{1}{9a^2} = 144 \)
\( 9a^2 + 2 + \dfrac{1}{9a^2} = 144 \)
\( 9a^2 + \dfrac{1}{9a^2} = 142 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 11:
\( x + \dfrac{1}{x} + 1 = 0 \) olduğuna göre,
\( x^{22} + \dfrac{1}{x^{43}} + 10 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( x + \dfrac{1}{x} + 1 = 0 \) eşitliğinin her iki tarafını \( x \) ile çarpalım.
\( x^2 + 1 + x = 0 \)
Bu eşitliğin her iki tarafını \( (x - 1) \) ile çarpalım.
\( x \ne 1 \) olmak üzere,
\( (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 \)
\( x^3 - 1 = 0 \)
\( x^3 = 1 \)
Sorudaki ifadeyi düzenleyelim.
\( x^{22} + \dfrac{1}{x^{43} + 10} \)
\( = (x^3)^7 \cdot x + \dfrac{1}{(x^3)^{14} \cdot x} + 10 \)
\( = 1^7 \cdot x + \dfrac{1}{1^{14} \cdot x} + 10 \)
\( = x + \dfrac{1}{x} + 10 \)
\( x + \dfrac{1}{x} + 1 = 0 \Longrightarrow x + \dfrac{1}{x} = -1 \) değerini yerine koyalım.
\( = -1 + 10 = 9 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 12:
\( 5y - 3x = 4 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{8^x}{32^y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterSorudaki ifadenin payını ve paydasını 2 tabanına çevirelim.
\( \dfrac{8^x}{32^y} = \dfrac{(2^3)^x}{(2^5)^y} = \dfrac{2^{3x}}{2^{5y}} \)
\( = 2^{3x - 5y} = 2^{-(5y - 3x)} \)
Üste parantez içindeki ifadenin değeri 4 olarak verilmiştir.
\( = 2^{-4} = \dfrac{1}{16} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 13:
\( \dfrac{-2^{18} - 2^{19} - 2^{20}}{2^{14} - 2^{18} + 2^{17}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterPayı \( 2^{18} \) parantezine, paydayı \(2^{14} \) parantezine alalım.
\( \dfrac{2^{18} \cdot (-1 - 2^1 - 2^2)}{2^{14} \cdot (1 - 2^4 + 2^3)} \)
\( = \dfrac{2^{18} \cdot (-7)}{2^{14} \cdot (-7)} \)
\( = 2^{18 - 14} = 2^4 = 16 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 14:
\( \dfrac{(-x^2)^5 \cdot (-x^5)^2 \cdot (-x^{-2})^5}{(-x^2)^4 \cdot (-x^5)^{-3}} \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterBir üslü ifadede çift sayı üs tabandaki negatif işaretini yutar.
\( \dfrac{-x^{10} \cdot x^{10} \cdot (-x^{-10})}{x^8 \cdot (-x^{-15})} \)
Negatif işaretlerini parantezden çıkarırsak tüm ifadenin işareti negatif olur.
\( = -\dfrac{x^{10} \cdot x^{10} \cdot x^{-10}}{x^8 \cdot x^{-15}} \)
\( = -\dfrac{x^{10 + 10 - 10}}{x^{8 - 15}} = -\dfrac{x^{10}}{x^{-7}} \)
\( = -x^{10-(-7)} = -x^{17} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 15:
\( \dfrac{3^{n + 2} + 3^{n + 1} - 3^n}{3^n - 3^{n - 1}} \) ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözümü GösterPayı \( 3^n \), paydayı \( 3^{n - 1} \) parantezine alalım.
\( \dfrac{3^n \cdot (3^2 + 3 - 1)}{3^{n - 1} \cdot (3 - 1)} \)
\( = \dfrac{3^n \cdot 11}{3^{n - 1} \cdot 2} \)
\( = \dfrac{3^{n - (n - 1)} \cdot 11}{2} \)
\( = \dfrac{3 \cdot 11}{2} = \dfrac{33}{2} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 16:
\( a = 5^{-3}, \quad b = 10^{-4}, \quad c = (-2)^{-3} \)
olduğuna göre, \( \dfrac{a \cdot c}{b} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterSayıları yerlerine yazalım.
\( \dfrac{5^{-3} \cdot (-2)^{-3}}{10^{-4}} \)
Paydaki negatif üslü ifadeler paydaya, paydadaki negatif üslü ifadeler paya pozitif üslü olarak geçer.
\( = \dfrac{10^4}{5^3 \cdot (-2)^3} \)
\( = \dfrac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)} \)
\( = -10 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 17:
\( a \) ve \( b \) sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,
\( 2^a = 7^b \) olduğuna göre, \( 32^{\frac{2a}{5b}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 32^{\frac{2a}{5b}} = (2^5)^{\frac{2a}{5b}} \)
\( = 2^{5 \cdot \frac{2a}{5b}} = 2^{\frac{2a}{b}} \)
\( = (2^a)^{\frac{2}{b}} \)
\( 2^a \) yerine \( 7^b \) yazalım.
\( = (7^b)^{\frac{2}{b}} = 7^{b \cdot \frac{2}{b}} \)
\( = 7^2 = 49 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 18:
\( 3^{a + 1} = 6^a, \quad 3^b = 4 \)
olduğuna göre, \( (2^{b + 1})^a \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 6^a = 3^a \cdot 2^a \) yazalım.
\( 3^a \cdot 3 = 3^a \cdot 2^a \)
\( 2^a = 3 \)
\( (2^{b + 1})^a \) ifadesinde üslerin yerlerini değiştirelim.
\( (2^{b + 1})^a = (2^a)^{b + 1} \)
\( = 3^{b + 1} = 3^b \cdot 3 \)
\( = 4 \cdot 3 = 12 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 19:
\( \dfrac{2^a + 1}{3} = x \) olduğuna göre, \( 2^a \cdot (2^{-a} + 1) \) ifadesinin \( x \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü Göster\( 2^a \) değerini \( x \) cinsinden yazalım.
\( 2^a + 1 = 3x \Longrightarrow 2^a = 3x - 1 \)
Değeri sorulan ifadede \( 2^a \)'yı parantez içine dağıtalım.
\( 2^a \cdot 2^{-a} + 2^a = 2^0 + 2^{a} \)
\( = 1 + 3x - 1 = 3x \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 20:
\( 14^{a + 2} = 2^{a - 1} \) olduğuna göre, \( 7^a \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 14 \) tabanını \( 2 \cdot 7 \) olarak ayıralım.
\( 2^{a + 2} \cdot 7^{a + 2} = 2^{a - 1} \)
\( 2^{a} \cdot 2^2 \cdot 7^a \cdot 7^2 = 2^{a} \cdot 2^{-1} \)
\( 2^{a} \) çarpanları sadeleşir.
\( 2^2 \cdot 7^a \cdot 7^2 = \dfrac{1}{2} \)
\( 7^a = \dfrac{1}{8 \cdot 49} = \dfrac{1}{392} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 21:
Anıl yerde duran topu havaya atıyor. Top \( 2^{10} \) cm yükseldikten sonra yere düşüyor ve yere her çarpışından sonra önceki yüksekliğinin \( \frac{1}{4} \) katı kadar yükseliyor.
Buna göre top yere kaçıncı çarpışında toplam \( 21 \cdot 2^7 \) cm mesafe katetmiştir?
Çözümü GösterTopun yükselirken ve düşerken aldığı mesafeler aynıdır.
İlk yükseklik \( 2^{10} \), ikinci yükseklik \( \frac{2^{10}}{4} = 2^8 \), üçüncü yükseklik \( \frac{2^{8}}{4} = 2^6 \) olur ve 4'e bölünerek devam eder.
Topun yere 1. çarpışında toplam mesafe:
\( 2^{10} + 2^{10} = 2^{11} \)
Topun yere 2. çarpışında toplam mesafe:
\( 2^{11} + 2^8 + 2^8 = 2^8 \cdot (8 + 1 + 1) \)
\( = 10 \cdot 2^8 = 5 \cdot 2^9 \)
Topun yere 3. çarpışında toplam mesafe:
\( 5 \cdot 2^9 + 2^6 + 2^6 = 2^6 \cdot (40 + 1 + 1) \)
\( = 42 \cdot 2^6 = 21 \cdot 2^7 \)
Buna göre top yere 3. çarpışında toplam \( 2^7 \cdot 21 \) cm mesafe katetmiştir.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 22:
\( 3^{a} = 5^b \) olduğuna göre, \( 3^{\frac{a + b}{b}} + 5^{\frac{a + b}{a}} \) toplamının değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 3^{\frac{a + b}{b}} + 5^{\frac{a + b}{a}} = 3^{\frac{a}{b} + \frac{b}{b}} + 5^{\frac{a}{a} + \frac{b}{a}} \)
\( = 3^{\frac{a}{b} + 1} + 5^{1 + \frac{b}{a}} \)
\( = 3^{\frac{a}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot 5^{\frac{b}{a}} \)
\( = (3^a)^{\frac{1}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot (5^b)^{\frac{1}{a}} \)
\( 3^{a} = 5^b \) eşitliğini kullanalım.
\( = (5^b)^{\frac{1}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot (3^a)^{\frac{1}{a}} \)
\( = 5^{\frac{b}{b}} \cdot 3 + 5 \cdot 3^{\frac{a}{a}} \)
\( = 5 \cdot 3 + 5 \cdot 3 = 30 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 23:
\( 9^x \cdot 8^y = 648^y \) olduğuna göre,
\( \dfrac{x - y}{x + y} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 9^x = \dfrac{648^y}{8^y} = (\dfrac{648}{8})^y \)
\( 9^x = 81^y \)
\( 3^{2x} = 3^{4y} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( 2x = 4y \Longrightarrow x = 2y \)
Verilen ifadede \( x = 2y \) yazalım.
\( \dfrac{x - y}{x + y} = \dfrac{2y - y}{2y + y} \)
\( = \dfrac{y}{3y}= \dfrac{1}{3} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 24:
\( 5^a = 7^b, \quad x = \dfrac{a^2 + ab}{ab} \)
olduğuna göre, \( 5^x \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( x = \dfrac{a^2}{ab} + \dfrac{ab}{ab} \)
\( = \dfrac{a}{b} + 1 \)
\( \dfrac{a}{b} = x - 1 \)
Birinci eşitliğin iki tarafının \( \frac{1}{b} \). kuvvetini alalım.
\( (5^a)^{\frac{1}{b}} = (7^b)^{\frac{1}{b}} \)
\( 5^{\frac{a}{b}} = 7 \)
\( 5^{x - 1} = 7 \)
\( \dfrac{5^x}{5} = 7 \)
\( 5^x = 35 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 25:
\( 3a + 2b = 22 \)
\( (0,0016)^a = (0,2)^b \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterOndalık gösterimdeki sayıları kesre çevirelim.
\( 0,0016 = \dfrac{16}{10000} = \dfrac{1}{625} = 5^{-4} \)
\( 0,2 = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} = 5^{-1} \)
\( 5^{-4a} = 5^{-b} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( -4a = -b \Longrightarrow 4a = b \)
Soruda verilen birinci eşitlikte \( b = 4a \) yazalım.
\( 3a + 2b = 3a + 8a = 22 \)
\( a = 2 \)
\( b = 4a = 8 \)
Buna göre \( a + b = 2 + 8 = 10 \) olur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 26:
\( x = 3^a - 4 \)
\( y = 9^a - 15 \)
olduğuna göre \( y \)'nin \( x \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( 3^a \)'yı birinci ifadede yalnız bırakalım.
\( 3^a = x + 4 \)
\( 3^a \)'yı ikinci ifadede yerine yazalım.
\( y = 9^a - 15 = 3^{2a} - 15 \)
\( = (x + 4)^2 - 15 \)
\( = x^2 + 8x + 16 - 15 \)
\( = x^2 + 8x + 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 27:
\( X = 32^{0,4} + 81^{0,25} \)
\( Y = 49^{0,5} - 25^0 \)
olduğuna göre, \( X \cdot Y \) kaçtır?
Çözümü Göster\( X = (2^5)^{0,4} + (3^4)^{0,25} \)
\( = 2^{5 \cdot 0,4} + 3^{4 \cdot 0,25} \)
\( = 2^2 + 3^1 = 7 \)
\( Y = (7^2)^{0,5} - 25^0 \)
\( = 7^{2 \cdot 0,5} - 1 \)
\( = 7^1 - 1 = 6 \)
\( X \cdot Y = 7 \cdot 6 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 28:
\( 4^x + 2 = a \)
\( 2^{x + 1} - 3 = b \)
olduğuna göre, \( a \)'nın \( b \) cinsinden eşiti kaçtır?
Çözümü Göster\( 2^x \)'i ikinci ifadede yalnız bırakalım.
\( 2^x \cdot 2 - 3 = b \)
\( 2^x = \dfrac{b + 3}{2} \)
\( 2^x \)'i birinci ifadede yerine yazalım.
\( 4^x + 2 = (2^2)^x + 2 = a \)
\( (2^x)^2 + 2 = a \)
\( (\dfrac{b + 3}{2})^2 + 2 = a \)
\( a = \dfrac{b^2 + 6b + 9}{4} + 2 \)
\( = \dfrac{b^2 + 6b + 17}{4} \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 29:
2008 yılının başında bahçesine \( 4^4 \) cm boyunda bir ağaç diken Ayla 2022 yılının sonunda ağacın boyunu \( 16^3 \) cm olarak ölçüyor.
Buna göre, ağacın 2008-2022 yılları arasındaki yıllık ortalama uzama miktarı kaçtır?
Çözümü Göster2008 yılı başındaki boy: \( 4^4 = 2^8 \)
2022 yılı sonundaki boy: \( 16^3 = 2^{12} \)
2008 yılının başından 2022 yılının sonuna kadar 15 tam yıl süre geçmiştir.
Yıllık ortalama uzama miktarını bulmak için boydaki toplam değişimi yıl sayısına bölelim.
\( \dfrac{2^{12} - 2^8}{15} \)
\( = \dfrac{2^8 \cdot (2^4 - 1)}{15} \)
\( = 2^8 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 30:
\( \dfrac{1}{3 \cdot 17^{x - y} + 1} + \dfrac{3}{17^{y - x} + 3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( 17^{x - y} = a \) diyelim.
\( 17^{y - x} = 17^{-(x - y)} = \dfrac{1}{a} \) olur.
\( \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3}{\frac{1}{a} + 3} \)
\( = \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3}{\frac{1 + 3a}{a}} \)
\( = \dfrac{1}{3a + 1} + \dfrac{3a}{1 + 3a} \)
\( = \dfrac{1 + 3a}{3a + 1} = 1 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 31:
\( 49^a = 36^b = 42 \) olduğuna göre,
\( \dfrac{4ab}{a + b} \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 49^a = 42 \)
\( 7^{2a} = 7 \cdot 6 \)
\( \dfrac{7^{2a}}{7} = 7^{2a - 1} = 6 \)
\( 36^b = 42 \)
\( 6^{2b} = 7 \cdot 6 \)
\( \dfrac{6^{2b}}{6} = 6^{2b - 1} = 7 \)
6 yerine \( 7^{2a - 1} \) yazalım.
\( (7^{2a - 1})^{2b - 1} = 7 \)
\( 7^{(2a - 1)(2b - 1)} = 7^1 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( (2a - 1)(2b - 1) = 1 \)
\( 4ab - 2a - 2b + 1 = 1 \)
\( 4ab = 2a + 2b \)
\( 2ab = a + b \)
Soruda istenen ifadede yerine yazalım.
\( \dfrac{4ab}{a + b} = \dfrac{2(a + b)}{a + b} = 2 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 32:
\( a^{x + 2} = 4^2, \quad b^{x + 3} = 2^4 \)
olduğuna göre, \( (\frac{a}{b})^{x^2 + 5x + 6} \) kaçtır?
Çözümü GösterDeğeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( (\dfrac{a}{b})^{x^2 + 5x + 6} = \dfrac{a^{x^2 + 5x + 6}}{b^{x^2 + 5x + 6}} \)
\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)
\( = \dfrac{a^{(x + 2)(x + 3)}}{b^{(x + 2)(x + 3)}} = \dfrac{(a^{x + 2})^{x + 3}}{(b^{x + 3})^{x + 2}} \)
Soruda verilen değerleri yerlerine yazalım.
\( = \dfrac{(4^2)^{x + 3}}{(2^4)^{x + 2}} = \dfrac{2^{4(x + 3)}}{2^{4(x + 2)}} \)
\( = 2^{4x + 12 - 4x - 8} \)
\( = 2^4 = 16 \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 33:
\( 10^a = 2 \)
\( 10^b = 3 \)
\( 10^x = 45 \)
olduğuna göre, \( x \)'in \( a \) ve \( b \) cinsinden değeri kaçtır?
Çözümü Göster45 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
\( 45 = 3^2 \cdot 5 \)
Soruda 3'ün eşiti verilmiş olsa da 5 için bir değer verilmediğini görüyoruz.
Bu durumda 5'i 10 ve 2 cinsinden yazalım.
\( 45 = \dfrac{3^2 \cdot 10}{2} \)
Tüm sayıların soruda verilen karşılıklarını yazalım.
\( 10^x = \dfrac{(10^b)^2 \cdot 10}{10^a} \)
\( 10^x = \dfrac{10^{2b} \cdot 10}{10^a} \)
\( 10^x = 10^{2b + 1 - a} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifade birbirine eşitse üsler birbirine eşittir.
\( x = 2b + 1 - a \) bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
SORU 34:
\( a^4 - a^2 - 4 = 0 \) olduğuna göre, \( a^6 - 2a^4 - 3a^2 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen denklem üzerinde işlemler yaparak soruda istenen ifadeye ulaşmaya çalışalım.
Denklemin iki tarafını \( a^2 \) ile çarpalım.
\( a^6 - a^4 - 4a^2 = 0 \)
İstenen ifadeye ulaşmak için \( a^2 - a^4 \) terimine ihtiyacımız var.
Bu terimi elde etmek için ilk denklemi kullanalım.
\( a^4 - a^2 = 4 \)
\( a^2 - a^4 = -4 \)
Bulduğumuz iki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
\( a^6 - 2a^4 - 3a^2 = -4 \) olarak bulunur.
Soru sorun Soruda hata bildirin
Üslü sayılarda a^0=1 olurken 0^0= tanımsız olur.
1 sayısının bütün kuvvetleri ise 1’e eşit olmaktadır.
(a^m)^n=a^m.n olur. Eğer a sayısı 1 sayısından daha büyük ise m ve n olan üsler de yer değiştirebilir.
Bütün pozitif sayıların tüm kuvvetlerinin sonucu pozitiftir.
Negatif sayıların ise çift kuvvetlerinin sonucu pozitif iken, tek kuvvetlerinin sonucu ise negatiftir.
a^-m= 1/a^m şeklinde yazılır. Yani negatif kuvvet sayıyı ters çevirir.
Üslü Sayılarda Toplama, Çarpma, Bölme ve Çıkarma İşlemleri Nasıl Yapılır?
Toplama ve Çıkarma
Kuvvetleri ve tabanları aynı olan sayıların her birinde çıkarma işlemi ya da toplama işlemi yapılırken katsayılar ile işlem yapılır ve bulunan sonuç ise üslü kısmın önüne yazılmaktadır.
x.a^n + y.a^n= (x+y).a^n
Çarpma İşlemi
Tabanları aynı olan ifadeler birbiriyle çarpıldığında; üsler toplanarak ortak olan tabana üs şeklinde yazılır.
a^ n . a^ m= an+m
Üsleri eşit sayılar çarpılırken öncelikle tabanlar çarpılır ve üs ise üs çarpımına üs olarak yazılır.
a^n . b^n= (a.b)^n
Bölme İşlemi
Tabanları aynı olan üslü ifadeler birbirlerine bölündüğünde payın kuvvetinden paydanın kuvveti çıkarılmaktadır. Aynı zamanda bulunan sonu ise ortak olan tabanın kuvveti şeklinde yazılır.
a^m/a^n = a^m-n
Kuvvetleri eşit olan üslü sayılarda payın tabanı paydadaki tabana bölünür. Ardından sonuç üzerine ortak üs yazılır.
a^m/b^m= (a/b)^m